八面体和四面体间隙半径的计算.docx
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八面体和四面体间隙半径的计算
八面体和四面体间隙半径的计算
一、面心立方结构的间隙
面心立方晶胞示意图：
图1面心立方晶胞示意图
每个晶胞内含有4个原子（8个顶角的原子各含1/8,6个面上的原子各含1/2）o
面心立方晶胞中有2种间隙。
在一个晶胞内有4个八面体间隙，它们的中心位置是［（1/2,1/2,1/2）］及其等效位置（即晶胞各个棱的中点），如图2（a）o
四面体间隙是4个原子组成的四面体所围成的间隙。
每个晶胞内有8个四面体间隙，中心位置是［（1/4,1/4,1/4）］及其等效位置，即体对角线离顶点的1/4处。
如图2（b）o
面心立方单胞由于各个棱边长度相等，各个原子中心至间隙中心的距离也相等，所以它们属于正八面体间隙和正四面体间隙。
图2面心立方结构的间隙
分别以点阵常数a和原子半径R计算面心立方晶体的八面体间隙半径和四
面体间隙半径。
1、八面体间隙半径「8
半径为R的圆球（相当于原子半径）堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点
的距离即是八面体间隙的半径。
E
（a）（b）（c）
图3正八面体间隙示意图
正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。
空隙的实际体积小于八面体体积。
图3中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。
由图3（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：
OC=-AC=-yf2AB=-^x2R=y/2R
222
（1）
而八面体空隙中心到球面的最短距离为：
r8=OC-R=V2R-R«0.414R
（2）
此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径0.414Ro
图4面心立方密排面的示意图
如图4,面心立方最紧密排面是{111},密排方向为<110>,原子直径是
a/2<110>的长度，即R=aV2/4o
故a=4R/V2=2V2/?
：
".146a（3）
式（3）也可以直接看出：
八面体间隙的原子至间隙中心的距离为乎,原
—a-a-—a^0A46a
子半径为4,所以间隙半径为24。
2、四面体间隙半径
4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图5（a）和（b）,图5（c）示出堆积所形成
IHJ
边长AB=2R
3[7
中心到顶点的距离：
OA=—AM=」Ral.2247R
42
中心到球面的最短距离=OA-RQ0.2247R
故四面体间隙半径
q=0.2247R（4）
又a=4R/V2=2V27?
r4=0.0794a（5）
小结：
面心立方结构中八面体间隙和四面体间隙参数见下表:
单胞中间隙个数
间隙半径
以原子半径R表示
以面心立方单胞点阵常数a表示
四面体间隙
8
0.2247R
0.0794a
八面体间隙
4
0.414R
0.146a
半径大小之比
r8:
r4
1.84
1.84
可见，在面心立方结构中，四面体间隙比八面体间隙小的多。
二、体心立方结构
体心立方单胞示意图:
图6面心立方晶胞示意图
每个晶胞内含有2个原子（8个顶角的原子各含1/8,中心一个原子）。
体心立方晶胞中有2种间隙。
一种是扁八面体间隙，如图7（a）所示，在一个晶胞内有6个八面体间隙，它的中心在晶胞（001）面的中心，距（001）面4个角点的距离是aV2/2，但是距上下两个原子中心的距离为a/2,所以这个八面体不是正八面体而是扁八面体。
八面体间隙的坐标位置是［（1/2,1/2,0）］,晶胞的每个棱边中心及晶胞立方体6个面的中心都是其等效位置。
四面体间隙是由［100］和［001］方向各两个原子组成，因此四面体这两个方向的棱长是a,其他四条棱的长度为aV3/2o所以它也不是一个正四面体。
每个晶
胞内有12个四面体间隙，中心位置是［（1/2,1/4,0）］及其等效位置，如图7（b）o
0间隙位置
八面体间隙
（b）四面体间隙
图7体心立方结构的八面体间隙和四面体间隙
分别以点阵常数a和原子半径R计算面心立方晶体的八面体间隙半径和四面体间隙半径。
1、八面体间隙
体心立方结构等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图8（a）和（b）o由图8（a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。
因此，每个
（\\\
晶胞中6个八面体空隙6x—+12x—o而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球"24；
平均摊到3个八面体空隙。
这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为短轴为。
（。
是晶胞点阵常数）。
（•圆球，。
八面体空隙中心，■四面体空隙中心）
图8体心立方结构中的间隙
八面体空隙所能容纳的小球的最大半径尸8即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该距离为|-/?
o体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上
互相接触，因而a=%R。
代入--R，得
或者
a»。
八
冬=2~R=2=。
・°67&（7）
2、四面体间隙
由图8（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个
所以每个球平均摊到6个四面体空隙。
这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为“，4条短棱皆为aV3/2o
四面体空隙所能容纳的小球的最大半径,4等于从四面体空隙中心到顶点的
2
距离减去球的半径R。
而从空隙中心到顶点的距离为［凹Jj=虫加所以小球的最大半径为:
V5DV54
%=甘〃_&=甘又苫/?
_/?
=0.291人（8）
_4
又，。
=R,（8）式可表达为
%=0.126a（9）
小结：
体心立方结构中八面体间隙和四面体间隙参数见下表:
单胞中
间隙个数
间隙半径
以原子半径R表示
以体心立方单胞点阵常数a表示
四面体间隙
12
0.291R
0.126a
八面体间隙
6
0.154R
0.067a
半径大小之比r8:
r4
0.529
0.531
可见，在体心立方结构中，四面体间隙比八面体间隙大的多。
U!
三、体心立方结构和面心立方结构间隙大小的比较
将以上的计算归纳如下表:
晶体结构
间隙类型
单胞中间隙个数
间隙半径
以原子半径R表示
以单胞点阵常数a表示
面心立方
四面体间隙
8
0.2247R
0.0794a
八面体间隙
4
0.414R
0.146a
半径大小之比
r8:
r4
1.84
1.84
体心立方
四面体间隙
12
0.291R
0.126a
八面体间隙
6
0.154R
0.067a
半径大小之比
r8:
r4
0.529
0.531
可见，面心立方金属中的八面体间隙大于四面体间隙，故金属中的间隙元素
的原子位于八面体间隙。
体心立方金属中的四面体间隙大于八面体间隙，故金属
中的间隙元素的原子位于四面体间隙，，由于间隙的不对称性，也可能位于八面
体间隙。
面心立方金属中八面体间隙远大于体心立方中的间隙，故间隙元素的原子在
面心中的溶解度比在体心立方中大的多。
Fe晶体中间隙的计算结果如下表：
点阵常数nm
八面体间隙nm
四面体间隙nm
5-Fe
0.29315（1390°C）
0.01964
0.03694
y-Fe
0.36508（950°C）
0.05330
0.02899
a-Fe
0.28665（20°C）
0.01921
0.03612
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