人教版八年级数学上《三角形的外角》拓展练习.docx
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人教版八年级数学上《三角形的外角》拓展练习
《三角形的外角》拓展练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，把一个含30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝20°，那么∠2的度数为（ ）
A．20°B．50°C．60°D．70°
2．（5分）下列图形中能够说明∠1＞∠2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定
4．（5分）如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（ ）
A．α+β+γB．α+β﹣γC．β+γ﹣αD．α﹣β+γ
5．（5分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，D是线段AC上一点，连BD，用不等号“＜”表示∠A，∠1的大小关系为 ．
7．（5分）如图，若∠A＝75°，∠ABD＝120°，则∠ACE＝ ．
8．（5分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点，则AP的长为 ．
9．（5分）如图，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝48°，∠B＝64，则∠ACP＝ ．
10．（5分）△ABC的一个内角大小是40°，∠A＝∠B，那么∠C外角大小是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
12．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？
若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？
若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝ ．
13．（10分）已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数．
14．（10分）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝75°，∠C＝45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
15．（10分）已知△ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝x°，∠PCA＝y°，∠BPC＝m°，∠BAC＝n°．
（1）如图，当点P在△ABC内时，
①若n＝80，x＝10，y＝20，则m＝ ；
②探究x、y、m、n之间的数量关系，并证明你得到的结论．
（2）当点P在△ABC外时，直接写出x、y、m、n之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．
《三角形的外角》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，把一个含30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝20°，那么∠2的度数为（ ）
A．20°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据三角形的外角性质得出∠2＝∠A+∠1，代入求出即可．
【解答】解：
∠2＝∠A+∠1＝30°+20°＝50°，
故选：
B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出∠2＝∠A+∠1是解此题的关键．
2．（5分）下列图形中能够说明∠1＞∠2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形外角的性质逐个判断即可．
【解答】解：
A、∠1＝∠2，故本选项不符合题意；
B、∠1＞∠2，故本选项符合题意；
C、∠1和∠2的大小不能确定，故本选项不符合题意；
D、∠1和∠2的大小不能确定，故本选项不符合题意；
故选：
B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质的内容是解此题的关键，注意：
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角．
3．（5分）三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定
【分析】三角形的一个外角是锐角，根据邻补角的定义可得它相邻的内角为钝角，即可判断三角形的形状是钝角三角形．
【解答】解：
∵三角形的一个外角是锐角，
∴与它相邻的内角为钝角，
∴三角形的形状是钝角三角形．
故选：
B．
【点评】本题考查了三角形的一个内角与它相邻的外角互补．
4．（5分）如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（ ）
A．α+β+γB．α+β﹣γC．β+γ﹣αD．α﹣β+γ
【分析】本题考查三角形内角与外角的关系，根据平行线的性质得知，内错角相等，同旁内角互补，可以计算出α+β﹣γ的值为180°．
【解答】解：
由题可知α＝180°﹣β+γ，所以有180°﹣α+γ+180°﹣β＝180°，即α+β﹣γ＝180°．故选B．
【点评】本题考查三角形内角与外角的关系，平行线的性质．
5．（5分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC的度数为（ ）
A．60°B．75°C．80°D．85°
【分析】根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解答】解：
∵∠GFA＝90°，∠A＝45°，
∴∠CGD＝45°，
∴∠BDC＝∠CGD+∠C＝75°，
故选：
B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，D是线段AC上一点，连BD，用不等号“＜”表示∠A，∠1的大小关系为 ∠A＜∠1 ．
【分析】根据三角形外角的性质得出即可．
【解答】解：
∵∠1是△ABD的一个外角，
∴∠A＜∠1，
故答案为：
∠A＜∠1．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，能熟记三角形外角的性质的内容是解此题的关键，注意：
三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角．
7．（5分）如图，若∠A＝75°，∠ABD＝120°，则∠ACE＝ 135° ．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠ACB，再求出∠ACE即可．
【解答】解：
∵∠A＝75°，∠ABD＝120°，
∴∠ACD＝∠ABD﹣∠A＝45°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，
故答案为：
135°．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，能熟记三角形外角的性质的内容是解此题的关键，注意：
三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角．
8．（5分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点，则AP的长为 3
．
【分析】作PD⊥AC于D，PH⊥AB于H，PE⊥CB于E，如图，先计算出AB＝5，设AD＝x，BE＝y，利用角平分线的性质得PD＝PH，PE＝PH，所以PD＝PE，则可判定四边形PECD为正方形，利用CD＝CE得到y＝x﹣1，接着利用易得AD＝AH＝x，BH＝BE＝y得到x+y＝5，然后求出x后利用勾股定理计算PA的长．
【解答】解：
作PD⊥AC于D，PH⊥AB于H，PE⊥CB于E，如图，
在Rt△ABC中，AB＝
＝5，
设AD＝x，BE＝y，
∵P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点，
∴PD＝PH，PE＝PH，
∴PD＝PE，
∴四边形PECD为正方形，
∴CD＝CE，即3+x＝4+y，
∴y＝x﹣1，
易得AD＝AH＝x，BH＝BE＝y，
∴x+y＝5，
∴x+x﹣1＝5，解得x＝3，
∴DP＝DC＝3+3＝6，
在Rt△PAD中，PA＝
＝3
．
故答案为3
．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，灵活运用利用角平分线的性质是解决本题的关键．
9．（5分）如图，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝48°，∠B＝64，则∠ACP＝ 112° ．
【分析】利用三角形外角与内角的关系解答即可．
【解答】解：
∵∠A＝48°，∠B＝64°，
∵∠ACP＝∠A+∠B＝48°+64°＝112°，
故答案为：
112°
【点评】本题解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
10．（5分）△ABC的一个内角大小是40°，∠A＝∠B，那么∠C外角大小是 80°或140° ．
【分析】分两种情况进行分析，从而确定∠C的外角的大小．
【解答】解：
①若∠A＝40°，则∠B＝40°，∠C＝100°，∠C的外角为80°．
②若∠C＝40°，则∠C的外角为140°．
故答案为80°或140°．
【点评】此题主要考查三角形的外角性质及三角形内角和定理的综合运用．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 50 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】
（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由
（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由
（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝
（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C＝
（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：
（1）如图
（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由
（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：
50．
②由
（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴
（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝
（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝
（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴
（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣
x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
12．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？
若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？
若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝ 60°或45° ．
【分析】
（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB＝90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE＝
∠OAB，∠ABE＝
∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD＝
∠BAP，∠ABC＝
∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO＝
∠BAO，∠EOQ＝
∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【解答】解：
（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝
∠OAB，∠ABE＝
∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝
（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠MBA＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD＝
∠BAP，∠ABC＝
∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC＝
（∠PAB+∠ABM）＝135°，
∴∠F＝45°，
∴∠FDC+∠FCD＝135°，
∴∠CDA+∠DCB＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴∠E＝67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO＝
∠BAO，∠EOQ＝
∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝
（∠BOQ﹣∠BAO）＝
∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°；
③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；
④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°．
∴∠ABO为60°或45°．
故答案为：
60°或45°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
13．（10分）已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数．
【分析】首先在△ABD中，由三角形的外角性质得到∠EDC+∠1＝∠B+40°，同理可得到∠2＝∠EDC+∠C，联立两个式子，结合∠B＝∠C，∠1＝∠2的已知条件，即可求出∠EDC的度数．
【解答】解：
△ABD中，由三角形的外角性质知：
∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠EDC+∠1＝∠B+40°；①
同理，得：
∠2＝∠EDC+∠C，
已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴∠1＝∠EDC+∠B，②
②代入①得：
2∠EDC+∠B＝∠B+40°，即∠EDC＝20°．
【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质，理清图形中各角之间的关系是解题的关键．
14．（10分）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝75°，∠C＝45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
【分析】由∠B＝75°，∠C＝45°，利用三角形内角和求出∠BAC．又AE平分∠BAC，求出∠BAE、∠CAE．再利用AD是BC上的高在△ABD中求出∠BAD，此时就可以求出∠DAE．最后利用三角形的外角和内角的关系可以求出∠AEC．
【解答】解：
方法1：
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝75°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝
∠BAC＝
×60°＝30°，
∵AD是BC上的高，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝30°﹣15°＝15°，
在△AEC中，∠AEC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°；
方法2：
同方法1，得出∠BAC＝60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝
∠BAC＝
×60°＝30°．
∵AD是BC上的高，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°．
∵∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠AEC+30°+45°＝180°，
∴∠AEC＝105°．
答：
∠DAE＝15°，∠AEC＝105°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角，外角以及和它们相关的一些结论，图形比较复杂，对于学生的视图能力要求比较高．
15．（10分）已知△ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝x°，∠PCA＝y°，∠BPC＝m°，∠BAC＝n°．
（1）如图，当点P在△ABC内时，
①若n＝80，x＝10，y＝20，则m＝ 110 ；
②探究x、y、m、n之间的数量关系，并证明你得到的结论．
（2）当点P在△ABC外时，直接写出x、y、m、n之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．
【分析】
（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；
②结论：
m＝n+x+y．利用三角形内角和定理即可证明；
（2）分6种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：
（1）①∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵∠PBA＝10°，∠PCA＝20°，
∴∠PBC+∠PCB＝70°，
∴∠BPC＝110°，
∴m＝110，
故答案为110．
②结论：
m＝n+x+y．
理由：
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB＝180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC＝180°，
∴∠A+∠PBA+∠PCA＝∠BPC，
∴m＝n+x+y．
（2）x、y、m、n之间所有可能的数量关系：
①如图1中，m+x＝n+y；
②如图2中，n＝x+m+y；
③如图3中，n+x＝m+y；
④如图4中，x＝m+n+y；
⑤如图5中，y＝m+n+x；
⑥如图6中，x+y+m+n＝360°
【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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