届河南省师大附中高三上学期开学考试数学理试题Word版含答案.docx
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届河南省师大附中高三上学期开学考试数学理试题Word版含答案
2019届河南省师大附中高三上学期开学考试
数学（理）试题
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知复数
（其中
是虚数单位），那么
的共轭复数是（）
A．
B．
C．
D．
3.
展开式中第3项的二项式系数为（）
A．6B．-6C．24D．-24
4.命题“
，
”的否定是（）
A．
B．
C.
D．
5.某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）
A．9,18,3B．10,15,5C.10,17,3D．9,16,5
6.把边长为1的正方形
沿对角线
折起，使得平面
平面
，形成三棱锥
的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）
A．
B．
C.
D．
7.已知平面上的单位向量
与
的起点均为坐标原点
，它们的夹角为
，平面区域
由所有满足
的点
组成，其中
，那么平面区域
的面积为（）
A．
B．
C.
D．
8.函数
，给出下列四个命题：
①在区间
上是减函数；②直线
是函数图像的一条对称轴；③函数
的图像可由函数
的图像向左平移
个单位得到；④若
，则
的值域是
，其中，正确的命题的序号是（）
A．①②B．②③C.①④D．③④
9.已知
，则
的值为（）
A．
B．
C.
D．
10.若圆
与双曲线
的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（）
A．
B．
C.2D．
11.对于使
成立的所有常数
中，我们把
的最小值叫做
的上确界，若正数
且
，则
的上确界为（）
A．
B．
C.
D．-4
12.对于函数
和
，设
，
，若存在
，使得
，则称
和
互为“零点相邻函数”，若函数
与
互为“零点相邻函数”，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.椭圆
：
的左焦点为
，若
关于直线
的对称点
是椭圆
上的点，则椭圆
的离心率为．
14.连掷两次骰子得到的点数分别为
和
，若记向量
与向量
的夹角为
，则
为锐角的概率是．
15.某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：
货物
体积（升/件）
重量（公斤/件）
利润（元/件）
甲
20
10
8
乙
10
20
10
运输限制
110
100
在最合理的安排下，获得的最大利润的值为．
16.已知
分别为内角
的对边，
，且
，则
面积的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列
的前
项和为
，
，
.
（1）求数列
的通项公式
；
（2）是否存在正整数
，使得
？
若存在，求出
值；若不存在，说明理由.
18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：
克），重量分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.
（1）求
的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在
内的小球个数为
，求
的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）
19.如图，已知斜三棱柱
，
，
，
在底面
上的射影恰为
的中点
，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）求
到平面
的距离；
（3）求二面角
的平面角的余弦值.
20.已知抛物线
：
，焦点
，
为坐标原点，直线
（不垂直
轴）过点
且与抛物线
交于
两点，直线
与
的斜率之积为
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）若
为线段
的中点，射线
交抛物线
于点
，求证：
.
21.设
，
.
（1）若
，求
的单调区间；
（2）讨论
在区间
上的极值点个数；
（3）是否存在
，使得
在区间
上与
轴相切？
若存在，求出所有
的值；若不存在，说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在极坐标系
中，已知曲线
：
，
：
，
：
，设
与
交于点
.
（1）求点
的极坐标；
（2）若直线
过点
，且与曲线
交于两不同的点
，求
的最小值.
23.选修4-5：
不等式选讲
设函数
.
（1）当
时，求函数
的定义域；
（2）若函数
的定义域为
，试求
的取值范围.
2019届河南省师大附中高三上学期开学考试
数学（理）试题答案
一、选择题CAABADDADAAD
二、填空题13.
14.
15.6216.
三、解答题
17．
（1）
，
，
所以
时，
两式相减得：
即
，也即
，
所以
是等差数列，
所以
．
（2）
，
所以
，
，
所以
所以
，所以
即当
时，
．
18．【解】（Ⅰ）由题意，得
，解得
；
又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），
而
个样本小球重量的平均值为：
（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为
克；
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在
内的概率为
，
则
.
的可能取值为
、
、
、
，
，
，
，
.
的分布列为：
.
（或者
）
19．解：
（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A1ACC1⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A1ACC1，
∴BC⊥AC1，
∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，
∴AC1⊥平面A1BC。
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC1⊥平面A1BC，
∴AC1⊥A1C，
∴四边形A1ACC1是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A1AD=60°，
∴A（2，0，0），A1（1，0，
），B（0，2，0），C1（-1，0，
），
∴
=（1，0，
），
=（-2，2，0），
设平面A1AB的法向量
=（x，y，z），
∴
，
令z=1，
∴
=（
，
，1），
∵
=（2，0，0），
∴
，
∴C1到平面A1AB的距离是
（3）平面A1AB的法向量
=（
，
，1），平面A1BC的法向量
=（-3，0，
），
∴
，
设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，
∴
，
∴二面角A-A1B-C的余弦值为
20．I）解：
∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为
．
∴
，
．
∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，
∴
．∴
，得x1x2=4．
由
，化为
，
其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0
∴x1+x2=
，x1x2=
．
∴p=4，抛物线C：
y2=8x．
（Ⅱ）证明：
设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，
∴
，
．
∴直线OD的斜率为
．
直线OD的方程为
代入抛物线C：
y2=8x的方程，
得
．∴
．
∵k2＞0，∴
21.解：
（1）当
时：
，（
）
故
当
时：
，当
时：
，当
时：
．
故
的减区间为：
，增区间为
（2）
令
，故
显然
，又当
时：
．当
时：
．
故
，
，
．
故
在区间
上单调递增，
注意到：
当
时，
，故
在
上的零点个数由
的符号决定．……5分
①当
，即：
或
时：
在区间
上无零点，即
无极值点．
②当
，即：
时：
在区间
上有唯一零点，即
有唯一极值点．
综上：
当
或
时：
在
上无极值点．
当
时：
在
上有唯一极值点．
（3）假设存在
，使得
在区间
上与
轴相切，则
必与
轴相切于极值点处，
由
（2）可知：
．不妨设极值点为
，则有：
…（*）同时成立．
联立得：
，即
代入（*）可得
．
令
，
．
则
，
，当
时
（
2）．
故
在
上单调递减．又
，
．
故
在
上存在唯一零点
．
即当
时
，
单调递增．当
时
，
单调递减．
因为
，
．
故
在
上无零点，在
上有唯一零点．
由观察易得
，故
，即：
．
综上可得：
存在唯一的
使得
在区间
上与
轴相切．
请考上在第22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22．解：
（I）由
解得点
的直角坐标为
因此点
的极坐标为
（II）设直线
的参数方程为
为参数），代入曲线
的直角坐标方程并整理得
设点
对应的参数分别为
则
当
时，
，
有最小值
23.
（1）当
时,
.由
可得,
或
或
解得
或
即函数
的定义域为
（2）依题可知
恒成立,即
恒成立,
而
当且仅当
即
时取等号,所以
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