湖北省武汉市华中师大一附中高考冲刺数学押题冲刺文科份.docx
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湖北省武汉市华中师大一附中高考冲刺数学押题冲刺文科份
2019年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷（文科）（5月份）
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只一项是满足题目要求的．
1．（5分）已知复数
，则复数的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
2．（5分）已知集合
，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．（0，1]B．[0，1]C．
D．
3．（5分）已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是（ ）
A．a6B．a8C．a10D．a12
4．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：
如图表
针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）
A．获得A等级的人数减少了
B．获得B等级的人数增加了倍
C．获得D等级的人数减少了一半
D．获得E等级的人数相同
5．（5分）“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如右图所示，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是（ ）
A．a＝6，b＝7B．a＝7，b＝7C．a＝7，b＝6D．a＝8，b＝8
6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为棱A1D1、A1A、A1B1的中点，给出下列四个命題：
①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EPG；④异面直线FG、B1C所成角的大小为．其中正确命题的序号为（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
7．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：
由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD，E为AB边的中点，若在四边形ABCD中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）过点P（3，﹣4）作圆（x﹣1）2+y2＝2的切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（ ）
A．x+2y﹣2＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．x﹣2y﹣2＝0D．x+2y+2＝0
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（ ）
A．B．C．2D．2
11．（5分）已知函数f（x）＝2sinωxsin2（
）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[﹣
]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）
A．[
）B．[
]C．[
）D．[
]
12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），当x≠1时，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0）和点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a，a﹣2）作曲线y＝f（x）的切线，则可作切线的条数为（ ）
A．.3B．.2C．1D．.0
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分
13．（5分）若向量＝（，1），＝（1，﹣3），则在方向上的投影为 ．
14．（5分）若实数x，y满足约束条件
，则z＝3x+5y的最大值为 ．
15．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn＝3•2n（n∈N+），数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn．若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝ ．
16．（5分）已知F1、F2分别是双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（
）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|≥|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b．
（1）求角C的大小
（2）若△ABC的面积等于，求ab的最小值
18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，点H为DC边中点，现以线段AH为折痕将△DAH折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点
（1）求证：
平面PBC∥平面EFH
（2）若三棱锥P﹣EFH的体积等于，求a的值
19．（12分）已知A（0，1），B（0，1），M（﹣1，0），动点P为曲线C上任意一点，直线PA，PB的斜率之积为，动直线与曲线C相交于不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0，且满足＝
．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与x轴相交于一点N，求N点坐标
20．（12分）武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．
（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）
（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：
元/件）和相应销量y（单位：
件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）
参考公式及数据：
＝40，＝660，
xiyi＝206630，
x＝12968，
，
，
（3）公司策划部选＝﹣1200lnx+5000和═﹣x3+1200两个模型对销量与售价的关系行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）；
＝﹣x3+1200
（yi﹣i）2
（yi﹣）2
124650
相关指数
R
R
相关指数：
R2＝1﹣
．
（i）试比较R12，R22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；
（ii）根据
（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润x可以达到最大？
21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx（a∈R），g（x）＝（1﹣x）ex
（1）讨论函数f（x）的单调性
（2）若对任意给定的x0∈[﹣1，1]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i＝1，2），使得f（xi）＝g（x0）成立，求a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（
）＝．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
[选修4-5；不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若不等式f（x）＞4﹣2x对任意的x∈[﹣3，﹣1]恒成立，求a的取值范围．
2019年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷（文科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只一项是满足题目要求的．
1．（5分）已知复数
，则复数的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：
由
＝
，得
．
则复数的虚部为1．
故选：
A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）已知集合
，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．（0，1]B．[0，1]C．
D．
【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：
∵集合
＝{0＜x≤1}，
B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}＝{x|x＞}，
∴A∩B＝{x|
}＝（
]．
故选：
C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是（ ）
A．a6B．a8C．a10D．a12
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：
设等差数列{an}的公差为d，∵4a3＝3a2，
∴4（a1+2d）＝3（a1+d），可得：
a1+5d＝0，
∴a6＝0，
则{an}中一定为零的项是a6．
故选：
A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：
如图表
针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）
A．获得A等级的人数减少了
B．获得B等级的人数增加了倍
C．获得D等级的人数减少了一半
D．获得E等级的人数相同
【分析】根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．
【解答】解：
由题可知：
设2016年参加选择考的总人数为：
a人；则：
2018年参加选择考的总人数为：
2a人；
2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：
A：
、B：
、C：
、D：
、E：
；
2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：
A：
、B：
、C：
、D：
、E：
；
对各个选项进行比较可得B正确．
故选：
B．
【点评】本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．
5．（5分）“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如右图所示，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是（ ）
A．a＝6，b＝7B．a＝7，b＝7C．a＝7，b＝6D．a＝8，b＝8
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出对应a，b的值，即可得到结论．
【解答】解：
模拟执行程序框图，可得：
a＝35，b＝28，
满足a＞b，a＝35﹣28＝7，
不满足a＞b，b＝28﹣7＝21，
不满足a＞b，b＝21﹣7＝14，
不满足a＞b，b＝14﹣7＝7，
此时，满足a＝b，输出a＝7，b＝7．
故选：
B．
【点评】本题考查了算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和赋值语句的应用问题，是基础题．
6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为棱A1D1、A1A、A1B1的中点，给出下列四个命題：
①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EPG；④异面直线FG、B1C所成角的大小为．其中正确命题的序号为（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
【分析】由题意画出图形，利用空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：
如图，
对于①，连接AD1，则EF∥AD1∥BC1，而BC1⊥B1C，则EF⊥B1C，故①正确；
对于②，∵BC1∥EF，EF⊂平面EFG，BC1⊄平面EFG，∴BC1∥平面EFG，故②正确；
对于③，AC1⊥EF，AC1⊥EG，EF∩EG＝E，∴A1C⊥平面EFG，故③正确；
对于④，FG∥AB1，∴∠AB1C为异面直线FG、B1C所成角，连接AC，可得△AB1C为等边三角形，则∠
，
即异面直线FG、B1C所成角的大小为，故④错误．
∴正确命题的序号为①②③．
故选：
C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系的判定与应用，是中档题．
7．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：
由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD，E为AB边的中点，若在四边形ABCD中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．
【解答】解：
设平行四边形ABCD的面积为4，则阴影等腰三角形的面积为1，
阴影平行四边形的面积为，
则满足条件的概率p＝
，
故选：
C．
【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
8．（5分）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据f（x）的奇偶性、单调性判断．
【解答】解：
当x＞0时，f（x）＝xlnx2＝2xlnx，
∴当x＞1时，f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，
f′（x）＝2lnx+2，故当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
又f（﹣x）＝f（x），故f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，
故选：
B．
【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性的判断，属于中档题．
9．（5分）过点P（3，﹣4）作圆（x﹣1）2+y2＝2的切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（ ）
A．x+2y﹣2＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．x﹣2y﹣2＝0D．x+2y+2＝0
【分析】求出已知圆的圆心坐标，得到以点（3，﹣4）、（1，0）为直径两端点的圆的方程，与已知圆的方程联立求解．
【解答】解：
圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心坐标为（1，0），
则以点（3，﹣4）、（1，0）为直径两端点的圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝5．
联立
，可得直线AB的方程为x﹣2y﹣2＝0．
故选：
C．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题．
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（ ）
A．B．C．2D．2
【分析】首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的球心，最后求出球的半径．
【解答】解：
根据几何体得三视图转换为几何体为：
该几何体为底面为直角三角形，高为2的三棱锥体，
如图所示：
故：
根据图中的长度，
进一步求出外接球的半径为：
．
故选：
B．
【点评】本题考查的知识要点：
三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，这主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
11．（5分）已知函数f（x）＝2sinωxsin2（
）﹣sin2ωx（ω＞0）在区间[﹣
]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）
A．[
）B．[
]C．[
）D．[
]
【分析】由三角函数恒等变换的应用可得f（x）＝sinωx，可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[﹣
]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．
【解答】解：
∵f（x）＝2sinωx•sin2（
）﹣sin2ωx
＝2sinωx•
﹣sin2ωx
＝sinωx（1+sinωx）﹣sin2ωx
＝sinωx，
即：
f（x）＝sinωx，
∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．
又∵函数在[﹣
]上递增，
∴[﹣，]⊇[﹣
]，
∴得不等式组：
﹣≤﹣
≤，
又∵ω＞0，
∴0＜ω≤，
又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，
根据正弦函数的性质可知ωx＝2kπ+，k∈Z，
即函数在x＝+处取得最大值，可得0≤≤π，
∴ω≥，
综上，可得ω∈[，]．
故选：
D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），当x≠1时，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0）和点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a，a﹣2）作曲线y＝f（x）的切线，则可作切线的条数为（ ）
A．.3B．.2C．1D．.0
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得3x02+2ax0﹣9＝3（2﹣x0）2+2a（2﹣x0）﹣9，求得a＝﹣3，设点（6，﹣5）可作曲线y＝f（x）的切线的切点为（m，m3﹣3m2﹣9m+1），求得切线方程，代入（6，﹣5）可得m的三次方程，构造函数g（m），求得导数和单调性，可得极值，判断极值符号，即可得到方程的解的个数，可得所求切线的条数．
【解答】解：
函数f（x）＝x3+ax2﹣9x+1的导数为f′（x）＝3x2+2ax﹣9，
当x0≠1时，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））与点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，
可得3x02+2ax0﹣9＝3（2﹣x0）2+2a（2﹣x0）﹣9，
化简可得3（4x0﹣4）+2a（2x0﹣2）＝0，
解得a＝﹣3，
设点（6，﹣5）可作曲线y＝f（x）的切线的切点为（m，m3﹣3m2﹣9m+1），
可得切线的斜率为3m2﹣6m﹣9，
即有切线的方程为y﹣m3+3m2+9m﹣1＝（3m2﹣6m﹣9）（x﹣m），
代入（6，﹣5），可得﹣5﹣m3+3m2+9m﹣1＝（3m2﹣6m﹣9）（6﹣m），
化为2m3﹣21m2+36m+48＝0，
设g（m）＝2m3﹣21m2+36m+48，
g′（m）＝6m2﹣42m+36，
由1＜m＜6，可得g′（m）＜0，g（m）递减；
由m＞6或m＜1，可得g′（m）＞0，g（m）递增，
可得g（m）的极小值为g（6）＝﹣60＜0，
极大值为g
（1）＝65＞0，
可得2m3﹣21m2+36m+48＝0有3个实根，
则由点（﹣2a，a﹣2）可作曲线y＝f（x）的切线的条数为3．
故选：
A．
【点评】本题考查导数的运用：
求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分
13．（5分）若向量＝（，1），＝（1，﹣3），则在方向上的投影为 ．
【分析】根据向量的坐标即可求出
，从而得出在方向上的投影为
．
【解答】解：
；
∴在方向上的投影为：
＝
．
故答案为：
．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及投影的计算公式．
14．（5分）若实数x，y满足约束条件
，则z＝3x+5y的最大值为 17 ．
【分析】先画出可行域，由Z＝3x+5y可得y＝
，则z为直线y＝
，在y轴上的截距，结合直线平移时截距的变化关系可求z的最大值
【解答】解：
画出可行域如图所示的△ABC的内部（包括边界）
由Z＝3x+5y可得y＝
，则z为直线y＝
，在y轴上的截距
作直线L：
3x+5y＝0，把直线L向上平移到A时z最大，向下平移到B时z最小
由
可得A（
），此时Z的最大值为17
由
可得B（﹣2，﹣1），此时z的最小值为﹣11
故答案为17
【点评】本题主要考查了利用不等式组所表示的平面区域求解目标函数的最值，解题的关键是准确分析目标函数取得最值的条件，通常借助于直线在y轴上截距的变化规律
15．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn＝3•2n（n∈N+），数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn．若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝ 17或18 ．
【分析】首先利用数列{an}的前n项和为Sn＝3•2n（n∈N+），求出
，
，进一步利用等差数列求出数列的通项公式，最后求出前n项和的最大值．
【解答】解：
数列{an}的前n项和为Sn＝3•2n（n∈N+），
所以：
，
，
设公差为d的数列{bn}为等差数列，首项为b1，且b2＝a5，b10＝S3，
则：
，
解得：
b1＝51，d＝﹣3，
所以：
bn＝51﹣3（n﹣1）＝54﹣3n，
当n＝18时，
b18＝0，
故Tn取最大值时n＝17或18．
故答案为：
17或18
【点评】本题考查的知识要点：
数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
16．（5分）已知F1、F2分别是双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（
）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|≥|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是 （1，1+] ．
【分析】由向量数量积的性质可得|OP|＝c，即有∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及不等式恒成立思想，可得a，c的关系，由离心率公式，可得所求范围．
【解答】解：
（+）•＝0，即为（+）•（﹣）＝0，
即为2＝2，可得|OP|＝c，
即有∠F1PF2＝90°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，
且m2+n2＝4c2，m≥n，
可得4c2≥4n2，即n≤c，
又2a≥（﹣1）n，即n≤（1+）a恒成立，
可得c≤（1+）a，即有1＜e≤1+，
故答案为：
（1，1+]．
【点评】本题考查双曲线的定义和向量数量积的性质，以及直角三角形的勾股定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b．
（1）求角C的大小
（2）若△ABC的面积等于，求ab的最小值
【分析】
（1）利用正弦定理即可求得cosC＝﹣，由C的取值范围，即可求得C；
（2）根据三角形的面积公式，求得c＝ab，利用余弦定理及基本不等式的性质即可求得ab的最小值．
【解答】解：
（1）由正弦定理可知：
＝2R，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
由2ccosB＝2a+b，则2sinCcosB＝2sin（B+C）+sinB，
可得：
2sinBcosC+sinB＝0，
由0＜B＜π，sinB≠0，cosC＝﹣，
0＜C＜π，则C＝；
（2）由S＝absinC＝ab＝，
则c＝3ab，
又：
c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2+ab，
可得：
a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，
可得：
2ab+ab≤9a2b2，即ab≥，
可得：
当a＝b时，ab取得的最小值为．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形
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