离散数学结构 第十二章 环与域.docx
《离散数学结构 第十二章 环与域.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学结构 第十二章 环与域.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
离散数学结构第十二章环与域
第十二章环与域
12.1环的定义与性质
一、环的定义
1．环的定义
定义12.1设是代数系统,+和·是二元运算。
如果满足以下条件:
（1）构成交换群，
（2）构成半群，
（3）·运算关于+运算适合分配律，
则称是一个环。
为了区别环中的两个运算,通常称+运算为环中的加法,·运算为环中的乘法。
2．环的实例
例12.1
（1）整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数Q,实数环R和复数环C.
（2）n（n≥2）阶实矩阵的集合Mn（R）关于矩阵的加法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环。
（3）集合的幂集P（B）关于集合的对称差运算和交运算构成环。
（4）设Zn＝{0,1,...,n－1},
和
分别表示模n的加法和乘法,则>构成环,称为模n的整数环。
二．环的运算性质
为了今后叙述上的方便,将环中加法的单位元记作0,乘法的单位元记作1（对于某些环中的乘法不存在单位元）。
对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.类似地,针对环中的加法,用x-y表示x+（-y）,nx表示
即x的n次加法幂,并且用-xy表示xy的负元。
定理12.1设是环,则
（1）
a∈R, a0=0a=0
（2）
a,b∈R,（-a）b=a（-b）=-ab
（3）
a,b,c∈R, a（b-c）=ab-ac,（b-c）a=ba-ca
（4）
a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R（n,m≥2）
证只证
（1）,
（2）和（4）.（3）留作练习。
（1）
a∈R有
a0=a（0+0）=a0+a0
由环中加法的消去律得a0=0.同理可证0a=0.
（2）
a,b∈R,有
（-a）b+ab=（-a+a）b=0b=0
ab+（-a）b=（a+（-a））b=0b=0
因此（-a）b是ab的负元.由负元的唯一性可知（-a）b=-ab,同理可证a（-b）=-ab.
（4）先证
a1，a2，...，an有
对n进行归纳。
当n=2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。
假设
，则有
由归纳法命题得证。
同理可证，
b1，b2，...，bm有
于是
例12.2在环中计算（a+b）3，（a-b）2
解（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）
=（a2+ba+ab+b2）（a+b）
=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3
（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ba-ab+b2
三．子环
1．子环的定义
定义12.2设R是环,S是R的非空子集。
若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环.若S是R的子环,且S
R,则称S是R的真子环。
例如整数环Z,有理数环Q都是实数环R的真子环。
{0}和R也是实数环R的子环,称为平凡子环。
2.子环的判定定理
根据子群和子半群的判定定理可以直接得到子环的判定定理。
定理12.2（子环判定定理）
设R是环,S是R的非空子集,若
（1）
a,b∈S,a-b∈S
（2）
a,b∈S,ab∈S
则S是R的子环。
证由
（1）S关于环R中的加法构成群。
由
（2）S关于环R中的乘法构成半群。
显然R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在S中也是成立的。
因此S是R的子环。
例12.3
（1）考虑整数环,对于任意给定的自然数n,nZ={nz|z∈Z}是Z的非空子集,且
nk1,nk2∈nZ有
nk1-nk2=n（k1-k2）∈nZ
nk1·nk2=n（k1nk2）∈nZ
根据判定定理,nZ是整数环的子环。
（2）考虑模6整数环>,不难验证{0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环。
其中{0}和Z6是平凡的,其余的都是非平凡的真子环。
四．环的同态
定义12.3设R1和R2是环。
：
R1→R2,若对于任意的x,y∈R1有
（x+y）=
（x）+
（y），
（xy）=
（x）
（y）
成立,则称
是环R1到R2的同态映射,简称环同态。
类似于群同态,也可以定义环的单同态,满同态和同构等。
例12.4设R1=是整数环,R2=>是模n的整数环。
令
：
Z→Zn,
（x）=（x）modn
则
x,y∈Z有
（x+y）=（x+y）modn=（x）modn
（y）modn=
（x）
（y）
（xy）=（xy）modn=（x）modn
（y）modn=
（x）
（y）
所以
是R1到R2的同态,不难看出
是满同态。
主要内容
1．
代数系统构成环的条件：
构成Abel群；构成半群；·对于+满足分配律。
2.
环中运算性质：
a0=0a=0；a（-b）=（-a）b=-（ab）；乘法对加法的广义分配律。
3.
环R的非空子集S构成R的子环的条件：
任取a,b属于S,有a-b属于S；ab属于S。
5.
环同态映射的定义、判别法及其实例。
学习要求
1.
能判别给定代数系统是环。
2.
了解环的运算性质，能进行环中的运算。
3.
能判别环的子集是子环。
4.
能判别映射
是环R1到R2的同态映射。
1.
在整数环中定义*和◇两个运算，
a,b∈Z有a*b=a+b-1,a◇b=a+b-ab。
证明构成环。
提示根据定义进行验证，见定义12.1。
答案证明：
a,b∈Z有a*b,a◇b∈Z,两个运算封闭。
任取a,b,c
（a*b）*c=（a+b-1）*c=（a+b-1）+c-1=a+b+c-2
a*（b*c）=a*（b+c-1）=a+（b+c-1）-1=a+b+c-2
（a◇b）◇c=（a+b-ab）◇c=（a+b-ab）+c-（a+b-ab）c=a+b+c-（ab+ac+bc）+abc
a◇（b◇c）=a◇（b+c-bc）=a+（b+c-bc）-a（b+c-bc）=a+b+c-（ab+ac+bc）+abc
两个运算都满足结合律。
a*1=a+1-1=a，1*a=1+a-1=a
1为*运算的单位元。
a*（2-a）=a+（2-a）-1=1，（2-a）*a=（2-a）+a-1=1
2-a为a关于*运算的逆元。
由于*运算满足交换律，所以Z关于*运算构成交换群，关于◇运算构成半群。
a◇（b*c）=a◇（b+c-1）=a+（b+c-1）-a（b+c-1）=2a+b+c-ab-ac-1
（a◇b）*（a◇c）=（a+b-ab）+（a+c-ac）-1=a+b+a+c-ab-ac-1=2a+b+c-ab-ac-1
◇运算关于*运算满足分配律，从而构成环。
2.
设是环，a,b为环中任意元素，计算（a+b）2（b-a）。
提示根据环的性质进行计算。
注意乘法没有交换律。
答案
（a+b）2（b-a）=（a2+ab+ba+b2）（b-a）=a2b+ab2+bab+b3-a3-aba-ba2-b2a
3.
设A=
A关于矩阵加法和乘法构成环。
证明B=
是A的子环。
给出A到B的一个同态映射f。
提示根据子环判断定理加以证明，见定理12.2。
答案证明：
∈B，B非空。
任取B中元素
易见
根据子环判断定理，B是A的子环。
令f:
A→B,
则f是A到B的同态映射。
12.2整环与域
一、整环
1．交换环、含幺环、无零因子环、整环的定义
定义12.4设是环,
（1）若环中乘法·适合交换律,则称R是交换环。
（2）若环中乘法·存在单位元,则称R是含幺环。
（3）若
a,b∈R,ab=0
a=0∨b=0,则称R是无零因子环。
（4）若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环,则称R是整环。
2．交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例
例12.5
（1）整数环Z,有理数环Q,实数环R,复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。
（2）令2Z={2z|z∈Z},则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。
但不是含幺环和整环,因为1
2Z.
（3）设n是大于或等于2的正整数,则n阶实矩阵的集合Mn（R）关于矩阵加法和乘法构成环,它是含幺环,但不是交换环和无零因子环,也不是整环。
（4）Z6关于模6加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环。
因为2
3=0,但2和3都不是0.称2为Z6中的左零因子,3为右零因子。
类似地,又有3
2=0,所以3也是左零因子,2也是右零因子,它们都是零因子。
一般说来,对于模n整数环Zn.若n不是素数,则存在正整数s,t（s,t≥2）,使得st=n.这样就得到s
t=0,s,t是Zn中的零因子,因此Zn不是整环。
反之,若Zn不是整环,则Zn一定不是无零因子环。
这就意味着存在a,b∈Zn,使得a
b=0,但a≠0且b≠0.根据模n乘法定义得n整除ab,从而推出n不是素数。
若不然必有n整除a或n整除b,与a≠0且b≠0矛盾.通过上面的分析可以得到下面的结论：
Zn是整环当且仅当n是素数。
下面的定理给出了一个环是无零因子环的充分必要条件。
定理12.3设R是环,R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律。
即
a,b,c∈R,a≠0,有
ab=ac
b=c 和ba=ca
b=c
证充分性。
任取a,b∈R,ab=0且a≠0.则由 ab=0=a0和消去律得b=0.这就证明了R是无零因子环。
必要性。
任取a,b,c∈R,a≠0,由ab=ac得a（b-c）=0，由于R是无零因子环,a≠0,必有b-c=0,即b=c.这就证明了左消去律成立。
同理可证右消去律也成立。
例12.6设R1,R2是环,
,∈R1×R2,令
+=
·=
不难验证R1×R2关于+和·运算构成一个环,称为环R1和R2的直积,记作R1×R2.
可以证明,若R1和R2是交换环和含幺环,则R1×R2也是交换环和含幺环。
但是,若R1和R2是无零因子环,那么R1×R2不一定是无零因子环。
例如Z3和Z2是无零因子环,因为消去律在Z3和Z2中都是成立的。
但是Z3×Z2就不是无零因子环。
若不然,由
<2,0>·<0,1>=<0,0>=<2,0>·<0,0>
和<2,0>≠<0,0>,根据消去律就可得到<0,1>=<0,0>。
显然这是不对的。
因此我们可以说整环的直积不一定是整环。
二．域的定义与实例
定义12.5设R是整环,且R中至少含有两个元素。
若
a∈R*=R-{0},都有a－1∈R,则称R是域。
例如有理数集Q,实数集R,复数集C关于普通的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域,实数域和复数域。
但整数环只能构成整环Z,而不是域,因为并不是对于任意的非零整数z∈Z都有
∈Z。
对于模n的整数环Zn,若n是素数,可以证明Zn是域。
例12.7设p为素数,证明Zp是域。
证 p为素数,p≥2,所以|Zp|≥2.
易见Zp关于模p乘法可交换,单位元是1,且对于任意的i,j∈Zp,i≠0有
i
j=0
p整除ij
p|j
j=0
所以Zp中无零因子,Zp为整环。
Zp关于乘法
构成有限半群,且Zp关于
适合消去律。
下面证明每个非零元素都有逆元。
任取i∈Zp,i≠0,令
i
Zp={i
j|j∈Zp}
则i
Zp=Zp,否则必存在j,k∈Zp,使得
i
j=i
k，
由消去律得j=k.这是矛盾的。
由于1∈Zp.这就推出,存在i＇∈Zp,使得i
i＇=1.由于
运算的交换性可知i＇就是i的逆元。
从而证明了Zp是域。
类似于子环,也可以定义子整环和子域。
请读者试给出相关的定义。
主要内容
1．
根据环中乘法的性质定义交换环（交换律）、含幺环（单位元）、无零因子环（消去律）、整环（交换、含幺、消去律）。
2.
整环构成域的条件：
元素数大于1，每个非零元素有逆元。
3.
环的直积仍旧是环，交换（含幺）环的直积仍是交换（含幺）环，无零因子环（整环、域）的直积不一定是无零因子环（整环、域）。
学习要求
1.
能判断给定的环是交换环、含幺环、无零因子环与整环。
2.
能判断给定的环是域。
1.
判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域，如果不构成，说明理由。
（1）A={a+bi|a,b∈Q},其中i2=-1,运算为复数加法和乘法。
窗体顶部
构成环
整环
构成域
不构成环
窗体底部
（2）A={2z+1|z∈Z},运算为实数加法和乘法。
窗体顶部
构成环
整环
构成域
不构成环
窗体底部
（3）A={2z|z∈Z},运算为实数加法和乘法。
窗体顶部
构成环
整环
构成域
不构成环
窗体底部
（4）A={x|x≥0∧x∈Z},运算为实数加法和乘法。
窗体顶部
构成环
整环
构成域
不构成环
窗体底部
（5）A={a+b
|a,b∈Q},运算为实数加法和乘法。
窗体顶部
构成环
整环
构成域
不构成环
窗体底部
提示参看定义12.4，例12.5，例12.6，定义12.5，例12.7。
答案
（1）是环，是整环，也是域。
（2）不是环，因为关于加法不封闭。
（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元。
（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，因此A关于加法不构成群。
（5）不是环，因为关于乘法不封闭。
2.
设R1和R2是整环，说明它们的直积是否为整环，为什么？
是整环
不是整环
不一定
提示考虑直积中是否满足交换律，是否含么元，是否为无零因子环。
答案不一定是整环。
因为对于直积中的乘法可能有
·<0,b>=<0,0>,
其中a和b不是0。
这样和<0,b>分别构成左和右零因子。
升级会员 