徐汇高考物理补习班第六周关于功能关系在电学中的应用精讲.docx
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徐汇高考物理补习班第六周关于功能关系在电学中的应用精讲
专题五功能关系在电学中的应用
知识要点
1．静电力做功与路径无关．若电场为匀强电场，则W＝Flcosα＝Eqlcosα；若是非匀强电场，则一般利用W＝qU来求．
2．安培力可以做正功、负功，还可以不做功．
3．电流做功的实质是电场对移动电荷做功．即W＝UIt＝Uq.
4．导体棒在磁场中切割磁感线时，棒中感应电流受到的安培力对导体棒做负功，使机械能转化为电能．
5．静电力做的功等于电势能的变化，即WAB＝－ΔEp.
规律方法
1．功能关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解．
2．动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍然是首选的方法.
题型1 几个重要的功能关系在电学中的应用
例1：
如图1所示，在竖直平面内有一匀强电场，其方向与水平方向成α＝30°斜向上，在电场中有一质量为m、电量为q的带电小球，用长为L的不可伸长的绝缘细线挂于O点，当小球静止于M点时，细线恰好水平．现用外力将小球拉到最低点P，然后无初速度释放，则以下判断正确的是（ ）
A．小球再次到达M点时，速度刚好为零
B．小球从P到M过程中，合外力对它做了
mgL的功
C．小球从P到M过程中，小球的机械能增加了
mgL
D．如果小球运动到M点时，细线突然断裂，小球以后将做匀变速曲线运动
例2：
如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，一质量为m的带正电小球在外力F的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处于压缩状态．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧弹力对小球做的功分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则上述过程中（ ）
A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球重力势能的变化为W1
C．小球动能的变化为W1＋W2＋W3
D．小球机械能的变化为W1＋W2＋W3
例3：
如图所示，空间中存在竖直向上的匀强电场，一个质量为m的小球沿虚线作直线运动，轨迹上A、B两点的竖直高度差为H，重力加速度为g，则在小球从B到A的过程中（）
A、电场力对小球做功－mgH
B、小球的动能保持不变
C、小球的机械能增加mgH
D、小球的重力势能和电势能的和增加mgH
例4：
电量分别为+q、+q和-q的三个小球，质量均为m，固定在水平放置的边长均为
的绝缘轻质三角形框架的三个顶点处，并处于场强为E且方向水平的匀强电场中，如图所示．三角形框架在未知力F作用下绕框架中心O由静止开始沿逆时针转动，当转过120０时角速度为ω．则此过程中，带电小球系统总的电势能的增量为_____；合外力做的功为______．
例5：
（14分）如图所示，在水平向右、场强为E的匀强电场中，两个带电量均为+q的小球A、B通过两根长度均为L的绝缘细线悬挂．A球质量为B球质量的5倍，两球静止时，两细线与竖直方向的夹角分别为30°、60°．以悬挂点O作为零电势和零重力势能面．
（1）画出B球的受力示意图，并求B球的质量mB；
（2）用一个外力作用在A球上，把A球缓慢拉到最低点A’，两球电势能改变了多少？
（3）根据最小势能原理，当一个系统的势能
最小时，系统会处于稳定平衡状态．撤去
（2）问中的外力，直至两球在空气阻力作用下再次静止，此过程中，A、B两球最小势能（包括电势能和重力势能）为多大？
（本小题忽略两电荷之间的电势能）
题型2 应用动能定理分析带电体在电场中的运动
例1：
如图4所示，在光滑绝缘水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B.A球的带电量为＋2q，B球的带电量为－3q，两球组成一带电系统．虚线MN与PQ平行且相距3L，开始时A和B分别静止于虚线MN的两侧，虚线MN恰为AB两球连线的垂直平分线．若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MN、PQ间加上水平向右的电场强度为E的匀强电场后，系统开始运动．试求：
（1）B球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
（2）带电系统向右运动的最大距离和此过程中B球电势能的变化量；
（3）A球从开始运动至刚离开电场所用的时间．
例2：
如图所示，电源电动势为ε，内阻为r，滑动变阻器总阻值为3r，间距为d的两平行金属板AB、CD竖直放置，闭合电键S时，板间电场可视为匀强电场。
板间有一长为L的绝缘细轻杆，能绕水平固定转轴O在竖直面内无摩擦转动，杆上端固定质量为m、带电量为＋q的金属小球a，下端固定质量为2m、带电量为－q的金属小球b，已知Ob＝2Oa，并且q＝
，两带电小球可视为点电荷，不影响匀强电场的分布，两电荷间相互作用力不计，重力加速度为g。
现调节滑片P使其位于滑动变阻器的中点，闭合电键S，待电场稳定后：
（1）求两极板间电场强度E的表达式；
（2）将轻杆从如图位置顺时针转过θ时（θ＜360°）由静止释放，轻杆恰能静止，求θ；
（3）若将轻杆从如图位置由静止释放，轻杆将绕轴O顺时针转动，求小球a运动的最大速度。
例3：
如图所示，在光滑绝缘水平面上，质量为m的均匀绝缘棒AB长为L、带有正电，电量为Q且均匀分布。
在水平面上O点右侧有匀强电场，场强大小为E，其方向为水平向左，BO距离为x0，若棒在水平向右的大小为Q
E/4的恒力作用下由静止开始运动。
求：
（1）棒的B端进入电场L/8时的加速度大小和方向；
（2）棒在运动过程中的最大动能。
（3）棒的最大电势能。
（设O点处电势为零）
例4：
如图所示，粗糙绝缘的水平面附近存在一个与x轴平行的水平电场，其在x轴上的电势φ与坐标x的关系用图中曲线表示，图中斜线为该曲线过点（0.15，3）的切线。
现有一质量为0.20kg，电荷量为＋2.0×10－8C的滑块P（可视为质点），从x＝0.10m处由静止释放，其与水平面的动摩擦因数为0.02。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2。
问：
（1）滑块的加速度如何变化？
请简要说明理由。
（2）滑块运动的最大速度为多大？
（3）滑块离出发点的最远距离为多大？
题型3 应用能量守恒分析带电体在电场中的运动
例1：
静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线，图中φ0和d为已知量。
一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动。
已知该粒子质量为m、电量为-q，其动能与电势能之和为－A（0忽略重力。
求：
（1）粒子所受电场力的大小；
（2）粒子的运动区间；
（3）粒子的运动周期。
例2：
两个完全相同的小金属块A、B，A固定在倾角
=300的绝缘斜面上，带电量q=+2×10－5C，以A所在的高度为零势能面。
B原来不带电，质量m=1kg，A、B相距3m且将A、B视作点电荷。
B由静止起沿斜面下滑。
斜面动摩擦系数μ=
，静电力常量k=9.0×109N·m2/C2，重力加速度g=10m/s2。
求：
（1）B碰撞A时的速度大小；
（2）B在离A多少距离时，所具有的动能和重力势能相等；
（3）B碰A后，速度方向反向，沿斜面上滑，至最高点后再次下滑，分别求出上滑过程中和下滑过程中动能最大的位置距A点的距离；
（4）如果选定两个点电荷在相距无穷远的电势能为0，则相距为r时，两点电荷具有的电势能可表示为EP=
。
则计算B从上滑过程的动能最大位置到再次下滑过程的动能最大位置的总势能变化量。
例3：
如图，在电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中，有两个质量均为m的小球A、B（可被视为质点），被固定在一根绝缘轻杆的两端，轻杆可绕与电场方向垂直的固定转动轴O无摩擦转动，小球A、B与轴O间的距离分别为
、
，其中小球B上带有电量为
的正电荷，小球A不带电．将轻杆转动到水平方向后，无初速释放，若已知
，求：
（1）轻杆转动到何位置时，小球A、B的速度达到最大；并分别求出A、B两球的最大动能．
（2）A、B两球从静止到获得最大速度的过程中系统的机械能和电势能如何变？
变化了多少？
例4：
如图所示，在光滑绝缘水平面放置一带正电的长直细棒，其周围产生垂直于带电细棒的辐射状电场，场强大小E与距细棒的垂直距离r成反比，即
。
在带电长直细棒右侧，有一长为l的绝缘细线连接了两个质量均为m的带电小球A和B，小球A、B所带电荷量分别为+q和+4q，A球距直棒的距离也为l，两个球在外力F=2mg的作用下处于静止状态。
不计两小球之间的静电力作用。
（1）求k的值；
（2）若撤去外力F，求在撤去外力瞬时A、B小球的加速度和A、B小球间绝缘细线的拉力；
（3）若剪断A、B间的绝缘细线，保持外力F=2mg不变，A球向左运动的最大速度为vm，求从剪断绝缘细线到A球向左运动达到最大速度，A球所处位置电势怎样变化？
变化了多少？
题型四、应用动力学和功能观点处理电学综合问题
例1：
如图所示，均可视为质点的三个物体A、B、C在倾角为300的光滑斜面上，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，质量分别为mA=0.43kg，mB=0.20kg，Mc=0.50kg，其中A不带电，B、C的电量分别为
、
且保持不变，开始时三个物体均能保持静止.现给A施加一平行于斜面向上的力F，使A做加速度a=2.0m/s2的匀加速直线运动，经过时间t，力F变为恒力。
已知静电力常量
，
。
求：
（1）开始时BC间的距离L；
（2）F从变力到恒力需要的时间t；
（3）在时间t内，力F做功WF=2.31J，求系统电势能的变化量△EP。
例2：
（14分）如图所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成45°角的绝缘直杆AC，其下端（C端）距地面高度h＝0.8m．有一质量为500g的带电小环套在直杆上，正以某一速度沿杆匀速下滑．小球离杆后正好通过C端的正下方P点处．（g取10m/s2）求：
（1）小环离开直杆后运动的加速度大小和方向；
（2）小环从C运动到P过程中的动能增量；
（3）小环在直杆上匀速运动时速度的大小v0.
例3：
关于点电荷周围电势大小的公式为U＝kQ/r，式中常量k＞0，Q为点电荷所带的电量，r为电场中某点距点电荷的距离．如图所示，两个带电量均为+q的小球B、C，由一根长为L的绝缘细杆连接，并被一根轻质绝缘细线静止地悬挂在固定的小球A上，C球离地的竖直高度也为L．开始时小球A不带电，此时细线内的张力为T0；当小球A带Q1的电量时，细线内的张力减小为T1；当小球A带Q2的电量时，细线内的张力大于T0．
（1）分别指出小球A带Q1、Q2的电荷时电量的正负；
（2）求小球A分别带Q1、Q2的电荷时，两小球B、C整体受到小球A的库仑力F1与F2大小之比；
（3）当小球A带Q3的电量时细线恰好断裂，在此瞬间B、C两带电小球的加速度大小为a，求Q3；
（4）在小球A带Q3（视为已知）电量情况下，若B球最初离A球的距离为L，在细线断裂到C球着地的过程中，小球A的电场力对B、C两小球整体做功为多少？
（设B、C两小球在运动过程中没有发生转动）
例4：
如图，绝缘平板S放在水平地面上，S与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4。
两足够大的平行金属板P、Q通过绝缘撑架相连，Q板固定在平板S上，P、Q间存在竖直向上的匀强电场，整个装置总质量M＝0.48kg，P、Q间距为d＝1m，P板的中央有一小孔。
给装置某一初速度，装置向右运动。
现有一质量m＝0.04kg、电量q＝110-4C的小球，从离P板高h＝1.25m处静止下落，恰好能进入孔内。
小球进入电场时，装置的速度为v1＝5m/s。
小球进入电场后，恰能运动到Q板且不与Q板接触。
假设小球进入电场后，装置始终保持初始的运动方向，不计空气阻力，g取10m/s2。
求：
（1）小球刚释放时，小球与小孔的水平距离x；
（2）匀强电场的场强大小E；
（3）小球从P板到Q板的下落过程中，总势能的变化量；
（4）当小球返回到P板时，装置的速度vt。
例5：
如图所示，一绝缘轻绳绕过无摩擦的两轻质小定滑轮O1、O2，一端与质量m=0.2kg的带正电小环P连接，且小环套在绝缘的均匀光滑直杆上（环的直径略大于杆的截面直径），已知小环P带电q=4×10-5C，另一端加一恒定的力F=4N。
已知直杆下端有一固定转动轴O，上端靠在光滑竖直墙上的A处，其质量M=1kg，长度L=1m，杆与水平面的夹角为θ
=53
0，直杆上C点与定滑轮在同一高度，杆上CO=0.8m，滑轮O1在杆中点的正上方，整个装置在同一竖直平面内，处于竖直向下的大小E
=5×104N/C的匀强电场中。
现将小环P从C点由静止释放，求：
（取g＝10m／s2）
（1）刚释放小环时，竖直墙A处对杆的弹力大小；
（2）下滑过程中小环能达到的最大速度；
（3）若仅把电场方向反向，其他条件都不变，则环运动过程中电势能变化的最大值。
例6：
两个带电量均为+q的小球，质量均为m，固定在轻质绝缘等腰直角三角形框架OAB的两个端点A、B上，另一端点用光滑铰链固定在O点，整个装置可以绕垂直于纸面的水平轴在竖直平面内自由转动。
直角三角形的直角边长为L。
（1）若施加竖直向上的匀强电场E1，恰能使框架OB边水平、OA边竖直并保持静止状态，则电场强度E1
多大？
在此电场中，框架能否停止在竖直平面内其它位置？
（2）若改变匀强电场的大小和方向（电场仍与框架平行），为使框架的OB边水平，A在O点的正下方，则所需施加匀强电场的场强E2至少多大？
方向如何？
（3）若施加竖直向上的匀强电场E3=
，小球带电量分别变为qA=+2q，qB=+
q，其余条件不变。
将框架从图示位置由静止释放，不计一切摩擦阻力，框架转动多少角度两个小球速度最大？
并求出最大速度。
例7：
质量m=2.0×10-4kg、电荷量q=1.0×10-6C的带正电微粒静止在空间范围足够大的匀强电场中，电场强度大小为E1．在t=0时刻，电场强度突然增加到E2=4.0×103N/C，场强方向保持不变．到t=0.20s时刻再把电场方向改为水平向右，场强大小保持不变．取g=10m/s2．求：
（1）原来电场强度E1的大小？
（2）t=0.20s时刻带电微粒的速度大小？
（3）带电微粒运动速度水平向右时刻的动能？
一、单项选择题
1．一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d，极板分别与电池两极相连，上极板中心有一小孔（小孔对电场的影响可忽略不计）．小孔正上方
处的P点有一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处（未与极板接触）返回．若将下极板向上平移
，则从P点开始下落的相同粒子将（ ）
A．打到下极板上 B．在下极板处返回
C．在距上极板
处返回 D．在距上极板
d处返回
2．将带正电的甲球放在乙球的左侧，两球在空间形成了如图所示的稳定的静电场，实线为电场线，虚线为等势线．A、B两点与两球球心的连线位于同一直线上，C、D两点关于直线AB对称，则（ ）
A．乙球一定带负电
B．C点和D点的电场强度相同
C．正电荷在A点具有的电势能比其在B点具有的电势能小
D．把负电荷从C点移至D点，电场力做的总功为零
3．如图所示，在一个点电荷形成的电场中，M、N、L是三个间距相等的等势面．一重力不计的带电粒子从p点无初速度释放后，沿图中直线依次经过q、k两点，且p、q、k三点是带电粒子的运动轨迹与等势面的交点．设带电粒子从p点到q点电场力做的功为Wpq，从q点到k点电场力做的功为Wqk，则（ ）
A．Wpq＝Wqk
B．WpqC．粒子从p点到q点做匀加速直线运动
D．粒子从p点到q点其电势能逐渐减小
4．如图3所示，质量为m的物块（可视为质点），带正电Q，开始时让它静止在倾角α＝60°的固定光滑绝缘斜面顶端，整个装置放在水平方向向左、大小为E＝
mg/Q的匀强电场中（设斜面顶端处电势为零），斜面高为H.释放后，物块落地时的电势能为ε，物块落地时的速度大小为v，则（ ）
A．ε＝
mgHB．ε＝－
mgH
C．v＝2
D．v＝2gH
二、多项选择题
5．如图4所示，绝缘轻弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q（可视为质点）固定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上．现把与Q大小相同、电性相同的小球P，从N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到压缩至最短的过程中（弹簧始终在弹性限度内），以下说法正确的是（ ）
A．小球P和弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球P和弹簧刚接触时其速度最大
C．小球P的动能与弹簧弹性势能的总和增大
D．小球P的加速度先减小后增大
7．如图（甲）所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上距离为L的两点，其中Q1带正电，位于原点o，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点的坐标为3L。
现有一带正电的粒子+q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向x轴正方向运动。
设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，粒子只受电场力作用，其速度随坐标x变化的图象如图（乙）所示，则以下判断正确的是（）
（A）Q2带负电且电荷量小于Q1
（B）b点的场强为零
（C）a点电势高于b点电势
（D）粒子在a点具有的电势能小于b点电势能
三、非选择题
8．如图7所示，一长为h2内壁光滑的绝缘细管竖直放置．管的底部固定一电荷量为Q（Q>0）的点电荷M.现在管口A处无初速释放一电荷量为q（q>0）、质量为m的点电荷N，N在距离底部点电荷为h1的B处速度恰好为零．再次从A处无初速度地释放电荷量为q、质量为3m的点电荷P（已知静电常数为k，重力加速度为g）．求：
（1）电荷P运动过程中速度最大处与底部点电荷间的距离；
（2）电荷P运动到B处时的速度大小．
9．如图所示，A、B为半径R＝1m的四分之一光滑绝缘竖直圆弧轨道，在四分之一圆弧区域内存在着E＝1×106V/m、竖直向上的匀强电场，有一质量m＝1kg、带电量q＝1.4×10－5C正电荷的物体（可视为质点），从A点的正上方距离A点H处由静止开始自由下落（不计空气阻力），BC段为长L＝2m、与物体间动摩擦因数为μ＝0.2的粗糙绝缘水平面，CD段为倾角θ＝53°且离地面DE高h＝0.8m的斜面．
（1）若H＝1m，物体能沿轨道AB到达最低点B，求它到达B点时对轨道的压力大小；
（2）通过你的计算判断：
是否存在某一H值，能使物体沿轨道AB经过最低点B后最终停在距离B点0.8m处；
（3）若高度H满足：
0.85m≤H≤1m，请通过计算表示出物体从C处射出后打到的范围．（已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.不需要计算过程，但要有具体的位置，不讨论物体反弹以后的情况）
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