数学建模货物配送问题课程设计.docx

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数学建模货物配送问题课程设计

安徽工业大学

—数学建模论文

货

物

运

送

问

题

组员:

班级：

指导教师：

侯为根

2013-7-30

1、问题重述

一公司有二厂，分处A、B两市，另外还有4间具有存贮机构的库房，分别在P、Q、R和S市。

公司出售产品给6家客户C1,C2,…,C6，由各库房或直接由工厂向客户供货。

配送货物的费用由公司负担，单价见下表：

表一

受货者

供货者

A市厂

B市厂

P库房

Q库房

R库房

S库房

P库房

0.5

----

Q库房

0.5

0.3

R库房

1.0

0.5

S库房

0.2

客户C1

1.0

2.0

----

1.0

----

客户C2

----

1.5

0.5

1.5

----

客户C3

1.5

----

0.5

2.0

0.2

客户C4

2.0

----

1.5

1.0

----

1.5

客户C5

----

0.5

客户C6

1.0

----

1.0

----

1.5

受货者

表1：

单位运输费用（千元/吨）

A基地

B基地

P库房

Q库房

R库房

S库房

P库房

0.5

Q库房

——

R库房

0.2

S库房

0.6

0.4

客户甲

——

1.2

客户乙

——

1.5

0.5

0.2

0.6

客户丙

1.5

——

1.5

——

客户丁

——

1.5

0.5

注:

单位元/吨;划“----”表示无供货关系.

某些客户表示喜欢由某厂或某库房供货.计有:

C1--------A市厂

C2--------P库房

C5--------Q库房

C6--------R库房或S库房

A市厂月供货量不能超过150千吨，B市厂月供货量不能超过200千吨。

各库房的月最大流通量千吨数为

表二

库房

流通量

100

表5：

库房容量（吨）

库房

流量

各客户每月所必须满足的供货量为（单位：

千吨）

表三

客户

要求货量

表3：

客户需求关系（吨）

客户

甲

乙

丙

丁

需求货量

现假设可以在T市和V市建新库房，和扩大Q市的库房，而库房的个数又不能多于4个，必要时可关闭P市和S市的库房。

建新库房和扩建Q市库房的费用（计入利息）摊至每月为下表所列值（万元），它们的潜在的月流通量（千吨）也列于表中

表四

库房

月费用

流通量

Q（扩建）

1.2

0.4

0.3

关闭P市库房月省费用1万元；关闭S市库房月省0.5万元。

涉及新库房的配送费用单价（元/吨）见下表

表五

供货

受货

0.6

0.4

0.3

1.2

----

0.6

0.4

0.5

----

0.5

0.3

0.6

0.8

0.9

2、问题分析

随着经济的发展、交通网络的不断健全以及各项科技的进步。

使得各个行业竞争激烈，生产商要在满足客户要求与尽量减少生产成本之间面临更复杂决策。

在整个配送问题中，所有的对象有三种，一种就是厂房，它是货物的产源地分别地处Ａ、Ｂ两个市，它所生产的货物，可以直接运给客户，也可以放到库房里存放；第二种就是库房，用于存放来自于Ａ、Ｂ两个厂房的生产物以及将货物配送给它的顾客，这种库房分别位于Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ市；第三种就是客户，接收由工厂或库房提供的货物；

问题一、在配送过程中，我们需要建立一个数学模型来计算如何配货公司的运输费用最低，如何配送货物，既能满足客户的要求，又能为公司节约足够的资金。

当然还要考虑到增加工厂和库房的生产能力对配送费用的影响，费用单价、客户对供应货物的最低要求以及工厂和库房生产能力各微小变化对配货方案的影响等因素来进行方案设计。

设计出来的方案还要能体现出公司在什么样的改进下能获得更高的经济效益。

可以用数学模型来建立最优解，进而解决设计方案的建立。

问题二、在问题一得基础上几乎没什么变化，A，B俩市供货量限制和客户需求量都没发生变化；改变的是库房，在T、V市新建库房，扩建Q库房，即改变了流通量，必要时刻关闭P、S库房；也就是说到底对库房做出怎样的变化，这就引进了应否关闭P，S和应否新建T，V以及应否扩大Q库房，引进零、一变量解决好此问题公司与兴建新的库房，根据实际问题条件分析下应建那些新库房？

Q市库房是否扩建？

P市和S市库房应否关闭？

配运费用最小的配货方案是什么？

根据实际情况为公司减少运费提高利润，设计出合理的配货方案。

3、符号说明

问题一、A、B为生产厂，P、Q、R、S为库房，C1、C2、C3、C4、C5、C6为客户。

工厂向各库房和客户的供货量以及库房向客户的供货量如下两表（单位:

千吨）

工厂向各库房的供应量：

受货者供货者

Ｑ

Ｒ

Ｓ

Ａ

X11

X12

X13

X14

Ｂ

X21

X22

X23

X24

工厂和各库房向客户的供应量：

受货者供货者

X011

X012

X013

X014

X015

X016

X021

X022

X023

X024

X025

X026

X031

X032

X033

X034

X035

X036

X041

X042

X043

X044

X045

X046

X051

X052

X053

X054

X055

X056

X061

X062

X063

X064

X065

X066

模型要求公司在配货时的最小运输费用,即：

min

问题二、

A、B给库房P、Q、R、S、T、V的货物量为：

X11、X12、X13、X14、X15、X16；

X21、X22、X23、X24、X25、X26；

由A、B供给客户C1、C2、C3、C4、C5、C6的货物量为：

y11、y12、y13、y14、y15、y16;

y21、y22、y23、y24、y25、y26;

由库房P、Q、R、S、T、V供给客户C1、C2、C3、C4、C5、C6的货物量为：

z11、z12、z13、z14、z15、z16;

z21、z22、z23、z24、z25、z26;

z31、z32、z33、z34、z35、z36;

z41、z42、z43、z44、z45、z46;

z51、z52、z53、z53、z55、z56;

z61、z62、z63、z64、z65、z66;

由于最多只能用四个客房，故要确定选哪四个，即对P、Q、R、S、T、V五个库房定一个零、五变量：

a1、a2、a3、a4、a5表示库房P、Q、S、T、V的0-1变量：

a1为0表示关闭P库房，为1表示未关闭P库房；

a2为0表示未扩建Q库房，为1表示未关闭P库房；

a3为0表示关闭R库房，为1表示未关闭R库房；

a4为0表示未新建T库房，为1表示扩建T库房；

a5为0表示新建V库房，为1表示扩建V库房；

4、模型假设

（1）公司出售产品给6家客户C1,C2,…,C6，由各库房或直接由工厂向客户供货。

（2）A市厂月供货量不能超过150千吨，B市厂月供货量不能超过200千吨。

库房的月最大流通量保持不变，即在库房有货物剩余的情况下，月最大流通量不因此而加大。

（3）某些客户表示喜欢由某厂或某库房供货.计有:

C1--------A市厂

C2--------P库房

C5--------Q库房

C6--------R库房或S库房

假设顾客与库房之间不存在喜好关系。

（4）在问题的解决过程中，由于这个问题只提及运输费用的问题，而不考虑公司在货物卖出时的收益问题，所以我们只对运输上的经济情况进行讨论，不管运输时各个运输路线的单价如何变化，我们的模型都能将最好的方案给出来。

（5）假设可以在T市和V市建新库房，和扩大Q市的库房，而库房的个数又不能多于4个，必要时可关闭P市和S市的库房。

5、模型建立

在配货过程中,可以由A市厂和B市厂直接向客户直接供货,也可以把两厂的货物运到P、Q、R、S四个仓库之后再向客户供货，所以在这个模型中，我们首先把A，B看成生产地，同时又把它们作为与P、Q、R、S一样的库房来看待，并规定产地A、B不向库房A、B运送货物，在处理的时候，如果相互之间没有配送关系，我们可以认为配送货物的费用为“无穷大”，在具体运算时，我们再对“无穷大”赋予一个比较大的具体值。

配送货物的费用由公司负担，单价见下表：

受货者

供货者

A市厂

B市厂

P库房

Q库房

R库房

S库房

P库房

0.5

----

Q库房

0.5

0.3

R库房

1.0

0.5

S库房

0.2

客户C1

1.0

2.0

----

1.0

----

客户C2

----

1.5

0.5

1.5

----

客户C3

1.5

----

0.5

2.0

0.2

客户C4

2.0

----

1.5

1.0

----

1.5

客户C5

----

0.5

客户C6

1.0

----

1.0

----

1.5

注:

单位元/吨;划“----”表示无供货关系.

工厂向各库房的供应量：

受货者供货者

Ａ

X11

X12

X13

X14

Ｂ

X21

X22

X23

X24

可以得出以下结果：

位于A地的厂向P、Q、R、S地库房供应货物所需运费：

位于B地的厂向P、Q、R、S地库房供应货物所需运费：

各库房货物的月流通量：

库房

流通量

100

则得之，X11<=70,X12+X22<=50,X13+X23<=100,X14+X24<=40;

各客户每月所必须满足的供货量为（单位：

千吨）

客户

要求货量

工厂和各库房向客户的供应量：

受货者供货者

X011

X012

X013

X014

X015

X016

X021

X022

X023

X024

X025

X026

X031

X032

X033

X034

X035

X036

X041

X042

X043

X044

X045

X046

X051

X052

X053

X054

X055

X056

X061

X062

X063

X064

X065

X066

问题一、可以得到以下线性方程：

客户C1可分别由工厂A、B以及库房Q三方供应货物，且配货所需单价分别为1.0、2.0、1.0，则得为C1配货的花费为：

C1客户的月需求为：

;

客户C2可分别库房P、Q、R三方供应货物，且配货所需单价分别为1.5、0.5、1.5，则得为C配货的花费为：

C2客户的月需求量为：

;

客户C3可分别由工厂A以及库房P、Q、R、S五方供应货物，且配货所需单价分别为1.5、0.5、0.5、2.0、0.2，则得为C3配货的花费为：

C3客户的月需求量为：

；

客户C4可分别由工厂A以及库房P、Q、S四方供应货物，且配货所需单价分别为2.0、1.5、1.0、1.5，则得为C4配货的花费为：

C4客户的月需求量为：

；

客户C5可分别由库房Q、R、S三方供应货物，且配货所需单价分别为0.5、0.5、0。

5，则得为C5配货的花费为：

C5客户的月需求量为：

；

客户C6可分别由工厂A以及库房P、R、S四方供应货物，且配货所需单价分别为1.0、1.0、1.5、1.5，则得为C6配货的花费为：

客户C6的月需求量为：

;

根据上面式子中的所有变量以及题给意思可知：

A厂的每月最大供应量为：

;

B厂的每月最大供应量为：

;

从问题考虑，使费用最小，即为库房的存储量供完货后为0是最好的。

P库房的货物量有A厂，运出的货物量为客户C2、C3、C4、C6，由约束条件如下：

；

Q库房的货物量有A、B厂，运出的货物量为客户C1、C2、C3、C4、C5，由约束条件如下：

；

R库房的货物量有A、B厂，运出的货物量为客户C2、C3、C5、C6，由约束条件如下：

；

S库房的货物量有A、B厂，运出的货物量为客户C3、C4、C5、C6，由约束条件如下：

；

总结以上的模型,可得配货的最小运输费用问题实际上为一个线性规划模型:

目标函数：

min=0.5*X11+0.5*X12+1.0X13+0.2*X14+0.3*X22+0.5*X23+0.2*X24+X011+2.0*X012+X014+1.5*X023+0.5*X024+1.5*X025+1.5*X031+0.5*X033+0.5*X034+2.0*X035+0.5*X036+2.0*X041+1.5*X043+X044+1.5*X046+0.5*X054+0.5*X055+0.5*X056+X061+X063+1.5*X065+1.5*X066;

约束条件：

X11<=70;

X12+X22<=50;

X13+X23<=100;

X14+X24<=40;

X011+X012+X014=50;

X023+X024+X025=10;

X031+X033+X034+X035+X036=40;

X041+X043+X044+X046=35;

X054+X055+X056=60;

X061+X063+X065+X066=20;

X11+X12+X13+X14+X011+X031+X041+X061<=150;

X22+X23+X24+X012<=200;

X023+X033+X043+X063-X11=0；

X014+X024+X034+X044+X054-X12-X22=0；

X025+X035+X055+X065-X13-X23=0；

X036+X046+X056+X066-X14-X24=0；

则建立模型如下：

X11<=70;

X12+X22<=50;

X13+X23<=100;

X14+X24<=40;

X011+X012+X014=50;

X023+X024+X025=10;

X031+X033+X034+X035+X036=40;

X041+X043+X044+X046=35;

X054+X055+X056=60;

X061+X063+X065+X066=20;

X11+X12+X13+X14+X011+X031+X041+X061<=150;

X22+X23+X24+X012<=200;

X023+X033+X043+X063-X11=0；

X014+X024+X034+X044+X054-X12-X22=0；

X025+X035+X055+X065-X13-X23=0；

X036+X046+X056+X066-X14-X24=0；

问题二

建新库房和扩建Q市库房的费用（计入利息）摊至每月为下表所列值（万元），它们的潜在的月流通量（千吨）也列于表中

库房

月费用

流通量

Q（扩建）

1.2

0.4

0.3

关闭P市库房月省费用1万元；关闭S市库房月省0.5万元。

涉及新库房的配送费用单价（元/吨）见下表

供货

受货

0.6

0.4

0.3

1.2

----

0.6

0.4

0.5

----

0.5

0.3

0.6

0.8

0.9

问题二基于问题一的内容故可得出如下：

a1、a2、a3、a4、a5表示库房P、Q、S、T、V的0-1变量：

a1为0表示关闭P库房，为1表示未关闭P库房；

a2为0表示未扩建Q库房，为1表示未关闭P库房；

a3为0表示关闭R库房，为1表示未关闭R库房；

a4为0表示未新建T库房，为1表示扩建T库房；

a5为0表示新建V库房，为1表示扩建V库房；

则对P库房的调整费用为-1+a1;

则对Q房的调整费用为0.3*a2;

则对R房的调整费用为-0.5+0.5*a3;

则对T房的调整费用为1.2*a4;

则对V房的调整费用为0.4*a5;

由题意可知目标函数为货物配送费用与库房调整费用相加得出：

Min=0.5*X11+0.5*X12+X13+0.2*X14+0.6*X15+0.4*X16+y11+1.5*y13+2*y14+y16+0.3*X22+0.5*X23+0.2*X24+0.4*X25+0.3*X26+2*y21+1.5*z12+0.5*z13+1.5*z14+z16+z21+0.5*z22+0.5*z23+z24+0.5*z25+1.5*z32+2*z33+0.5*z35+1.5*z36+0.2*z43+1.5*z44+0.5*z45+1.5*z46+1.2*z51+0.6*z52+0.5*z53+0.3*z55+0.8*z56+0.4*z62+0.5*z64+0.6*z65+0.9*z66-1+a1+0.3*a2-0.5+0.5*a3+1.2*a4+0.4*a5

约束条件：

有问题一可以轻松得出：

X11+X12+X13+X14+X15+X16+y11+y13+y14+y16<=150;

X22+X23+X24+X25+X26+y21<=200;

最大存储量为70*a1千吨

约束条件为：

X11<=70*a1;

Q库房的存储量约束条件为：

X12+X22<=50+20*a2；

R库房的存储量约束条件为：

X13+X23<=100;

S库房的存储量约束条件为：

X14+X24<=40*a3;

V房的存储量约束条件为：

X16+X26<=25*a5;

C1-C6客户需求量的约束条件：

y11+y2+z21+z51=50;

z12+z22+z32+z52+z62=10;

y13+z13+z23+z33+z43+z53=40;

y14+z14+z24+z44+z64=35;

z25+z35+z45+z55+z65=60;

y16+z16+z36+z46+z56+z66=20;

由问题一可知同理有要求供给平衡

z12+z13+z14+z16-X11=0;

z21+z22+z23+z24-X12-X22=0;

z32+z33+z35+z36-X13-X23=0;

z43+z44+z45+z46-X14-X24=0;

z51+z52+z53+z55+z56-X15-X25=0;

z62+z64+z65+z66-X16-X26=0;

库房的约束条件为：

a1+a3+a4+a5<=2;

综上所述，有以下数学模型：

X11+X12+X13+X14+X15+X16+y11+y13+y14+y16<=150;

X22+X23+X24+X25+X26+y21<=200;

X11<=70*a1;

X12+X22<=50+20*a2；

X13+X23<=100;

X14+X24<=40*a3;

X16+X26<=25*a5;

y11+y2+z21+z51=50;

z12+z22+z32+z52+z62=10;

y13+z13+z23+z33+z43+z53=40;

y14+z14+z24+z44+z64=35;

z25+z35+z45+z55+z65=60;

y16+z16+z36+z46+z56+z66=20;

z12+z13+z14+z16-X11=0;

z21+z22+z23+z24-X12-X22=0;

z32+z33+z35+z36-X13-X23=0;

z43+z44+z45+z46-X14-X24=0;

z51+z52+z53+z55+z56-X15-X25=0;

z62+z64+z65+z66-X16-X26=0;

a1+a3+a4+a5<=2;

6、模型求解：

问题一：

min=0.5*X11+0.5*X12+1.0X13+0.2*X14+0.3*X22+0.5*X2

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