第1章引言题解1 用定义验证下列各集合是凸集 1 SX1.docx
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第1章引言题解1用定义验证下列各集合是凸集1SX1
第1章引言题解
1.用定义验证下列各集合是凸集：
（1）S={（x1,x2）|x1+2x2≥1,x1-x2≥1}；
（2）S={（x1,x2）|x2≥|x1|}；
（3）S={（x1,x2）|x21+x22≤10}.
证
（1）对集合S中任意两点x
（1）=x
（1）1x
（1）2,x
（2）=x
（2）1x
（2）2及每个数λ∈［0，1］，有
λx
（1）+（1-λ）x
（2）=
λx
（1）1+（1-λ）x
（2）1
λx
（1）2+（1-λ）x
（2）2
.
由题设，有
［λx
（1）1+（1-λ）x
（2）1］+2［λx
（1）2+（1-λ）x
（2）2］
=λ（x
（1）1+2x
（1）2）+（1-λ）（x
（2）1+2x
（2）2）≥λ+（1-λ）=1，
［λx
（1）1+（1-λ）x
（2）1］-［λx
（1）2+（1-λ）x
（2）2］
=λ（x
（1）1-x
（1）2）+（1-λ）（x
（2）1-x
（2）2）≥λ+（1-λ）=1，
因此，λx
（1）+（1-λ）x
（2）∈S,故S是凸集.
（2）对集合S中任意两点x
（1）=x
（1）1x
（1）2和x
（2）=x
（2）1x
（2）2及每个数λ∈［0，1］，有
λx
（1）+（1-λ）x
（2）=
λx
（1）1+（1-λ）x
（2）1
λx
（1）2+（1-λ）x
（2）2
.
由题设，有
λx
（1）2+
（1-λ）x
（2）2
≥λ|x
（1）1|+
（1-λ）|x
（2）1|
≥|λx
（1）1+
（1-λ）x
（2）1|,
因此λx
（1）+（1-λ）x
（2）∈S,故S是凸集.
（3）对集合S中任意两点x
（1）=x
（1）1x
（1）2和x
（2）=x
（2）1x
（2）2及每个数λ∈［0，1］，有
λx
（1）+（1-λ）x
（2）=
λx
（1）1+（1-λ）x
（2）1
λx
（1）2+（1-λ）x
（2）2
.
由题设，有
［λx
（1）1+（1-λ）x
（2）1］2+［λx
（1）2+（1-λ）x
（2）2］2
=λ2x
（1）21+2λ（1-λ）x
（1）1x
（2）1+（1-λ）2x
（2）21+λ2x
（1）22+2λ（1-λ）x
（1）2x
（2）2
+（1-λ）2x
（2）22=λ2［x
（1）21+x
（1）22］+（1-λ）2［x
（2）21+x
（2）22］+λ（1-λ）［2x
（1）1x
（2）1
+2x
（1）2x
（2）2］≤10λ2+10（1-λ）2+λ（1-λ）［x
（1）21+x
（2）21+x
（1）22+x
（2）22］
≤10λ2+10（1-λ）2+20λ（1-λ）=10,
因此λx
（1）+（1-λ）x
（2）∈S,故S是凸集.
2.设CRp是一个凸集，p是正整数.证明下列集合S是Rn中的凸集：
S={x|x∈Rn,x=Aρ,ρ∈C},
其中A是给定的n×p实矩阵.
证对任意两点x
（1）,x
（2）∈S及每个数λ∈［0,1］,根据集合S的定义，存在ρ1,ρ2∈C,使x
（1）=Aρ1，x
（2）=
Aρ2，因此必有λ
x
（1）+（1-λ）
x
（2）=λ
Aρ1
+（1-λ）Aρ2
=A
［λρ1+（1-λ）ρ2］.由于C是凸集，必有λρ1+（1-λ）ρ2
∈C,因此λx
（1）+（1-λ）
x
（2）∈S，故S是凸集.
3.证明下列集合S是凸集：
S={x|x=Ay,y≥0},
其中A是n×m矩阵,x∈Rn,y∈Rm.
证对任意的x
（1）,x
（2）∈S及每个数λ∈［0,1］,
存在y1,y2≥0,使x
（1）=Ay1,x
（2）=Ay2,因此有λx
（1）+（1-λ）x
（2）=
A
［λy1+（1-λ）y2］,而
λy1+（1-λ）y2≥0，故
λx
（1）+
（1-λ）
x
（2）
∈S,即S是凸集.
4.设S是Rn中一个非空凸集.证明对每一个整数k≥2,若x
（1）,x
（2）,…，x（k）∈
S,则
∑ki=1λix（i）∈S,
其中λ1+λ2+…+λk=1（λi≥0,i=1,2，…,k）.
证
用数学归纳法.当k=2时，由凸集的定义知上式显然成立.设k=m时结论成立，当k=m+1时，有
∑m+1i=1λi
x（i）=
∑mi=1λi
x（i）+
λm+1x（m+1）
=∑mi=1λi
∑mi=1
λi∑mi=1λi
x（i）+
λm+1x（m+1）,
其中∑m+1i=1λi=1.根据归纳法假设，
x^=
∑mi=1
λi∑mi=1λi
x（i）
∈S.
由于∑mi=1
λi+λm+1=1,因此∑mi=1λix^+λm+1
x（m+1）∈S,即
∑m+1i=1λix（i）∈S.于是当k=m+1时结论也成立.从而得证.
5.设A是m×n矩阵，B是l×n矩阵，c∈Rn,证明下列两个系统恰有一个有解：
系统1Ax≤0,Bx=0,cTx＞0,对某些x∈Rn.
系统2ATy+BTz=c,y≥0,对某些y∈Rm和z∈Rl.
证由于Bx=0等价于
Bx≤0,
Bx≥0.
因此系统1有解，即
A
B
-B
x≤0,cTx＞0有解.
根据Farkas定理，得
（ATBT-BT）
y
u
v
=
c,
y
u
v
≥0
无解.记u-v=z,即得
ATy+
BTz=c,y≥0
无解.反之亦然.
6.设A是m×n矩阵，c∈Rn,则下列两个系统恰有一个有解：
系统1Ax≤0,x≥0,cTx＞0,对某些x∈Rn.
系统2ATy≥c,y≥0,对某些y∈Rm.
证若系统1有解，即
A
-I
x
≤0,cTx＞0
有解，则根据Farkas定理，有
（AT-I）
y
u
=c，
y
u
≥0
无解，即ATy-u=c,y≥0,u≥0无解，亦即
ATy
≥c,y≥0
无解.
反之，若
ATy
≥c,y≥0有解，即
ATy
-u=c,
y≥0,u≥0
有解，亦即
（AT-I）
y
u
=c，
y
u
≥0
有解.根据Farkas定理，有
A
-I
x
≤0,cTx＞0
无解，即
Ax≤0,x≥0,cTx＞0
无解.
7.证明Ax≤0,cTx＞0有解.其中
A=1-21
-111，c=2
1
0.
证根据Farkas定理，只需证明
ATy=c,y≥0
无解.事实上，ATy=c,即
1-1
-21
11
y1
y2
=
2
1
0
.
对此线性方程组的增广矩阵做初等行变换：
1-12
-211
110
1-12
0-15
02-2
1-12
01-5
008
.
此线性方程组ATy=c的系数矩阵与增广矩阵的秩不等，因此无解，即ATy=c，y≥0无解.根据Farkas定理，Ax
≤0,cTx＞0有解.
8.证明下列不等式组无解：
x1+3x2＜0,
3x1-x2＜0,
17x1+11x2＞0.
证将不等式组写作
Ax
＜0,其中A=
13
3-1
-17-11
.
根据Gordan定理，只需证明ATy=0，y≥0,y≠0有解.对系数矩阵AT做初等行变换：
13-17
3-1-11
13-17
0-1040
10-5
01-4
.
ATy=0
的同解线性方程组为
y1=5y3,
y2=4y3,y3任意.
显然ATy=0，y≥0,y≠0有解.根据Gordan定理，原来的不等式组无解.
9.判别下列函数是否为凸函数：
（1）f（x1,x2）=x21-2x1x2+x22+x1+x2；
（2）f（x1,x2）=x21-4x1x2+x22+x1+x2；
（3）f（x1,x2）=（x1-x2）2+4x1x2+ex1+x2；
（4）f（x1,x2）=x1e-（x1+x2）；
（5）f（x1,x2,x3）=x1x2+2x21+x22+2x23-6x1x3.
解
（1）2f（x）=
2-2
-22
为半正定矩阵，故f（x1,x2）是凸函数.
（2）2f（x）=
2-4
-42
为不定矩阵，故f（x1,x2）不是凸函数.
（3）fx1=2（x1-x2）+4x2+ex1+x2,
fx2=-2（x1-x2）+4x1+ex1+x2,
2fx21=
2+ex1+x2，
2fx1x2=
2fx2x1=
2+ex1+x2，
2fx22=
2+ex1+x2，
因此Hesse矩阵
2f（x）=
2+ex1+x22+ex1+x2
2+ex1+x22+ex1+x2
=（2+ex1+x2）
11
11
为半正定矩阵，因此f（x）是凸函数.
（4）fx1=e-（x1+x2）-x1e-（x1+x2）=（1-x1）
e-（x1+x2）,fx2=-x1e-（x1+x2）,
2fx21=（x1-2）e-（x1+x2）
2fx1x2=2fx2x1=（x1-1）e-（x1+x2）
2fx22=x1e-（x1+x2）,
于是Hesse矩阵
2f（x）=
e-（x1+x2）
x1-2x1-1
x1-1x1
为不定矩阵，故f（x）不是凸函数.
（5）f（x）的Hesse矩阵为
2f（x）=
41-6
120
-604
.
做合同变换：
41-6
120
-604
400
07432
032-5
400
070
00-447
.
由此可得2f（x）为不定矩阵，因此f（x）不是凸函数.
10.设f（x1,x2）=10-2（x2-x21）2,
S={（x1,x2）|-11≤x1≤1,-1≤x2≤1},
f（x1,x2）是否为S上的凸函数？
解fx1=8x1（x2-x21）,fx2=-4（x2-x21）,
2fx21=8（x2-3x21）,2fx1x2=
2fx2x1=8x1,2fx22=-4,
函数f（x1,x2）的Hesse矩阵为
2f（x）=
8（x2-3x21）8x1
8x1-4
.
易知2f（x）在集合S上不是半正定矩阵，如在点（0，1）处的Hesse矩阵是
80
0-4
，是不定矩阵.因此f（x1,x2）不是S上的凸函数.
11.证明f（x）=12xTAx+bTx为严格凸函数的充要条件是Hesse矩阵A正定.
证先证必要性.设f（x）=12xTAx+bTx是严格凸函数.根据定理1.4.14，对任意非零向量x及x-=0，必有
f（x）＞f（0）+
f（0）Tx.
（1）
将f（x）在x-=0处展开，有
f（x）=f（0）+f（0）Tx
+12xT
2f（0）x+o（||x||2）.
（2）
由
（1）式和
（2）式知
12xT
2f（0）x+o（||x||2）＞0.
由于f（x）是二次凸函数，2f（0）=A，o（||x||2）=0，因此xTAx＞0，即A正定.
再证充分性.设A正定，对任意两个不同点x和x-，根据中值定理，有
f（x）=f（x-）+
f（x-）T（x-x-）+12（x-x-）T2f（x^）（x-x-）
=f（x-）+
f（x-）T（x-x-）+12（x-x-）TA
（x-x-）
＞f（x-）+f（x-）T（x-x-）.
根据定理1.4.14，f（x）=12xTAx+bTx是严格凸函数.
12.设f是定义在Rn上的凸函数，x
（1）,x
（2）,…,x（k）是Rn中的点，λ1,λ2,…,λk是非负数，且满足λ1+λ2+…+λk=1，证明：
f（λ1x
（1）+λ2x
（2）+…+λkx（k））≤λ1f（x
（1））+λ2f（x
（2））+…+λkf（x（k））.
证用数学归纳法.当k=2时，根据凸函数的定义，必有
f（λ1x
（1）+
λ2x
（2））
≤
λ1f（x
（1））+
λ2f（x
（2））.
设k=m时不等式成立.当k=m+1时，有
f（λ1x
（1）+
λ2x
（2）+
…+λmx（m）+
λm+1x（m+1））
=f
∑
mi=1
λi
λ1∑
mi=1
λi
x
（1）
+
λ2∑
mi=1
λi
x
（2）
+…+
λm∑
mi=1
λi
x（m）
+
λm+1
x（m+1）
.
记
x^=
λ1∑
mi=1
λi
x
（1）
+
λ2∑
mi=1
λi
x
（2）
+…+
λm∑
mi=1
λi
x（m）
.
由于f（x）是凸函数，∑
mi=1λi+λm+1=1,λi≥0,根据凸函数定义，有
f
∑
mi=1
λi
x^+λm+1x（m+1
）
≤
∑
mi=1
λi
f（x^）+λm+1
f（x（m+1））.
根据归纳法假设，有
f（x^）≤
λ1∑
mi=1
λi
f（x
（1））
+
λ2∑
mi=1
λi
f（x
（2））
+…+
λm∑
mi=1
λi
f（x（m））.
代入上式，则有
f（λ1x
（1）+
λ2x
（2）+…+
λm+1x（m+1））
≤
λ1f（x
（1））+
λ2f（x
（2））+…+
λm+1f（x（m+1））,
即k=m+1时，不等式也成立.从而得证.
13.设f是Rn上的凸函数，证明：
如果f在某点x∈Rn处具有全局极大值，则对一切点x∈Rn,f（x）为常数.
证用反证法.设f（x）在点x-处具有全局极大值，且在点x
（1）处有f（x
（1））＜f（x-）.在过点x
（1）和x-的直线上任取一点x
（2），使得
x-
=λx
（1）+
（1-λ）x
（2）,
λ∈（0,1）.
分两种情形讨论：
（1）若f（x
（2））
≤
f（x
（1））,由于f（x）是凸函数，必有
f（x-）
=f（λx
（1）+（1-λ）x
（2））
≤λf（x
（1））+
（1-λ）f（x
（2））
≤λf（x
（1））+（1-λ）f（x
（1））=f（x
（1）），矛盾.
（2）若f（x
（2））
＞
f（x
（1））,由于f（x）是凸函数，必有
f（x-）
=f（λx
（1）+（1-λ）x
（2））
≤λf（x
（1））+
（1-λ）f（x
（2））
＜λf（x
（2））+（1-λ）f（x
（2））=f（x
（2）），矛盾.
综上，f（x）必为常数.
14.设f是定义在Rn上的函数，如果对每一点x∈Rn及正数t均有f（tx）=tf（x），则称f为正齐次函数.证明Rn上的正齐次函数f为凸函数的充要条件是，对任何x
（1），x
（2）∈Rn,有
f（x
（1）+x
（2））≤f（x
（1））+f（x
（2））.
证
先证必要性.设正齐次函数f（x）是凸函数，则对任意两点x
（1），x
（2）∈Rn,必有
f12x
（1）+12x
（2）
≤
12f（x
（1））+
12f（x
（2））.
由于f（x）是正齐次函数，有
f12x
（1）+12x
（2）
=
12f（x
（1）+
x
（2））.
代入前式得
12f（x
（1）+
x
（2））≤12f（x
（1））+
12f（x
（2）），
即
f（x
（1）+
x
（2））≤
f（x
（1））+
f（x
（2））.
再证充分性.设正齐次函数f（x）对任意的
x
（1），x
（2）∈Rn满足
f（x
（1）+
x
（2））≤
f（x
（1））+
f（x
（2）），
则对任意的x
（1），x
（2）∈Rn及每个数λ∈（0,1），必有
f（λx
（1）+（1-λ）x
（2））≤f（λx
（1））+
f（（1-λ）x
（2））
=λf（x
（1））+（1-λ）f（x
（2））.
因此f（x）是Rn上的凸函数.
15.设S是Rn中非空凸集，f是定义在S上的实函数.若对任意的x
（1），x
（2）∈S及每一个数λ∈（0,1）,均有
f（λx
（1）+（1-λ）x
（2））≤max{f（x
（1））,f（x
（2））},
则称f为拟凸函数.
试证明：
若f（x）是凸集S上的拟凸函数，x-是f（x）在S上的严格局部极小点，则x-也是f（x）在S上的严格全局极小点.
证用反证法.设x-是严格局部极小点，即存在x-的δ邻域Nδ（x-）,对于每个x∈S∩Nδ（x-）且x≠x-，有f（x）＞f（x-）,但x-不是严格全局极小点，即存在点x^∈S,x^≠x-,使得
f（x^）≤
f（x-）.
由于f（x）是凸集S上的拟凸函数，对每个λ∈（0,1）有
f（λx^+（1-λ）x-）≤
f（x-）.
对充分小的λ，λx^+（1-λ）x-∈S∩Nδ（x-）,这与x-是严格局部极小点相矛盾.因此，x-也是严格全局极小点.
16.设S是Rn中一个非空开凸集，f是定义在S上的可微实函数.如果对任意两点x
（1），x
（2）∈S，有（x
（1）-x
（2））Tf（x
（2））≥0蕴含f（x
（1））≥f（x
（2）），则称f（x）是伪凸函数.
试证明：
若f（x）是开凸集S上的伪凸函数，且对某个x-∈S有f（x-）=0,则x-是f（x）在S上的全局极小点.
证设存在x-∈S使得f（x-）=0.由于f（x）是开凸集S上的伪凸函数，按伪凸函数的定义，对任意的x∈S，（x-x-）Tf（x-）=0蕴含f（x）≥f（x-）,因此x-是f（x）在S上的全局极小点.
第2章线性规划的基本性质题解
1.用图解法解下列线性规划问题：
（1）min5x1-6x2
s.t.x1+2x2≤10,
2x1-x2≤5,
x1-4x2≤4,
x1,x2≥0.
（2）min-x1+x2
s.t.3x1-7x2≥8,
x1-x2≤5,
x1,x2≥0.
（3）min13x1+5x2
s.t.7x1+3x2≥19,
10x1+2x2≤11,
x1,x2≥0.
（4）max-20x1+10x2
s.t.x1+x2≥10,
-10x1+x2≤10,
-5x1+5x2≤25,
x1+4x2≥20,
x1,x2≥0.
（5）min-3x1-2x2
s.t.3x1+2x2≤6,
x1-2x2≤1,
x1+x2≥1,
-x1+2x2≤1,
x1,x2≥0.
（6）max5x1+4x2
s.t.-2x1+x2≥-4,
x1+2x2≤6,
5x1+3x2≤15,
x1,x2≥0.
（7）max3x1+x2
s.t.x1-x2≥0,
x1+x2≤5,
6x1+2x2≤21,
x1,x2≥0.
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