直线上的相遇及追及问题.docx

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直线上的相遇及追及问题

第一讲直线上的相遇与追及问题

教学目的：

1、学会行程的中，速度、时间、路程三个量的关系

2、掌握相向、背向、同向等概念

3、会运用追及和相遇解决简单行程问题

基本知识点

行程三个量的关系公式：

路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

三个概念：

相向而行：

面对面而行（如图）。

同向而行：

面朝的方向相同而行（如图）

背向而行：

背靠背方向，方向相反而行（如图）。

相遇和追及问题

1、相遇问题

含义 ：

  两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

数量关系：

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间   

相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

（甲速＋乙速）=总路程÷相遇时间   

2、追及问题

含义：

   两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

数量关系：

  追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

（快速－慢速）＝追及路程÷追及时间

3、注意点：

①在处理相遇与追及问题的时候，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻时候所处的状态。

②在行程问题里面所用的时间都是时间段，不是时间点（非常重要）。

③无论在哪一类行程问题里面，只要是相遇，就与速度和有关，只要是追及，就与速度差有关。

相遇例题：

例1   到的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从开出的船每小时行28千米，从开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

解   392÷（28＋21）＝8（小时）

答：

经过8小时两船相遇。

例2   小和小在周长为400米的环形跑道上跑步，小每秒钟跑5米，小每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

解  “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。

因此总路程为400×2

相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：

二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3   甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。

从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，

相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：

两地距离是84千米。

追及例题：

例1   好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解 

（1）劣马先走12天能走多少千米？

 75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马？

  900÷（120－75）＝20（天）

列成综合算式  75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：

好马20天能追上劣马。

例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速

度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。

又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是   （500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）

答：

小亮的速度是每秒3米。

例3   我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。

由此推知

追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小时）

答：

解放军在11小时后可以追上敌人。

例4   一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。

从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

这个时间为               16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以两站间的距离为         （48＋40）×4＝352（千米）

列成综合算式  （48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）

答：

甲乙两站的距离是352千米。

例5   兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远？

解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。

从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为

180×2÷（90－60）＝12（分钟）

家离学校的距离为     90×12－180＝900（米）

答：

家离学校有900米远。

例6   亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。

后来算了一下，如果亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。

求亮跑步的速度。

解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。

如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。

所以

步行1千米所用时间为   1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）

跑步1千米所用时间为   15－［9－（10－5）］＝11（分钟）

跑步速度为每小时       1÷11／60＝1×60／11＝5.5（千米）

答：

亮跑步速度为每小时5.5千米。

第二讲环形跑道的相遇与追及

教学目的：

1、了解什么是环形跑道问题

2、掌握环形跑道上相遇与追及的特点

基本知识点

1、环形跑道相遇问题：

如上图，我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇，相遇的时候他们刚好走过一个圆周的周长，如果在进行多次相遇的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次相遇。

重点：

因此，圆周上的相遇告诉我们，每相遇一次，他们两个人的路程和为一个圆周的周长。

相遇几次，就是几个圆周的周长。

由此，也可以建立等量关系，来进行解题

公式：

一个圆周的周长=（快速＋慢速）×相遇时间

2、环形跑道上的追及问题

如上图，我们可以看到甲、乙两人同向而行，快的会再一次在圆周上追上慢的，当追上的时候，快的刚好比慢的多走一个圆周的周长，如果在进行多次追及的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次追及。

重点：

因此，圆周上的追及告诉我们，每追及一次，快的就应该比慢的多走一个圆周的周长。

追及几次，就是几个圆周的周长。

由此，也可以建立等量关系，来进行解题

公式：

一个圆周的周长=（快速－慢速）×相遇时间

　1.在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。

甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。

那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？

　　答案：

假设没有休息那么100/（5—4）=100秒钟在100/5=20秒100/20-1=4（次）100+4*10=140秒

　　2.小明在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时间每秒跑4米，为他后半路程用了多少时间？

　　答案：

x÷4=（360-x）÷5×=160（360÷2-160）÷5＋160÷4＝44分

　　3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒

　　答案：

设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2

　　X/2*5+X/2*4=360

　　X=80

　　总共跑了80秒

　　前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米

　　后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米

　　后一半的路程为360/2=180米

　　后一半的路程用的时间为（200-180）/5+40=44秒

　　4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。

已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。

那么小君后一半路程用了多少秒？

　　答案：

设时间X秒5X=360-4X9X=360X=40后一半时间的路程=40*4=160米后一半路程=360/2=180米后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米后一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒后一半路程时间=4+40=44秒答：

后一半路程用了44秒

　　5.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间？

　　答案：

设总用时X秒。

前一半时间和后一半时间都是X/2。

然后前一半跑8*（X/2）米，后一半跑6*（X/2）米，总共加起来等于420米。

所以列下方程8*（X/2）+6*（X/2）=420.解得X=60。

所以后一半跑了30秒。

又因为后一半为6M/S，所以后一半跑了6*30=180M。

　　6.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。

问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？

　　答案：

前10圈甲跑一圈击掌一次，即10下此时已跑了5+5/7圈；后面2人跑了2/7时击掌一次，然后2人共一圈击掌1次耗时（4+2/7）/（1/4+1/7）=30/7*（11/28）=165/98；甲共总走了40+165/98H已走了（40+165/98）*（400/7）M

第三讲多人相遇与追及问题

教学目的：

1、了解多人相遇与追及的解题技巧。

2、会运用一些其他应用题手段来解决问题。

基本知识点

多人相遇与追及问题，与之前我们所接触的行程问题有所不同，因为它是三个人或者三个人以上的行程问题，这样发现多了很多关系，整体处理起来就比较难以入手。

解决技巧：

数学思想就是把复杂问题简单化，因此，我们可以把多人的看成是两个人两个人的行程关系。

对于行程关系，我们前面已经说过了，除了有相遇与追及之外，有时还会出现，超越与背向而行产生距离。

超越的关系：

路程公式：

（快速－慢速）×超越的时间=拉开的距离

会发现，超越与追及的公式一样，因此可以把它们归为一类。

背向而行产生距离：

公式：

（快速＋慢速）×相遇时间=两个人产生的距离

会发现，背向而行产生距离与相遇的公式一样，因此可以把它们归为一类。

例题解析

1、从甲市到乙市有一条公路，它分为三段。

在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米。

已知第一段公路的长恰好是第三段