二次函数存在性问题专题复习全面典型含答案.docx

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二次函数存在性问题专题复习全面典型含答案

中考数学专题复习——存在性问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：

假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系

中，把抛物线

向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线

.所得抛物线与

轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与

轴交于点C，顶点为D.

（1）写出

的值；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.（2011临沂13分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM

x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、二次函数中面积的存在性问题

3.（2011日照10分）如图，抛物线

与双曲线

相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX

＝4．过点A作直线AC∥

轴，交抛物线于另一点C．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

4.（20XX年深圳，9分）如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）

（3）在第

（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）

（4）自编：

在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，请说明理由。

三、二次函数中直角三角形的存在性问题

5.（2011重庆潼南中考，12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线

经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线

交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下：

①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题

6.（2011湘潭市中考，10分）如图，直线

交

轴于A点，交

轴于B点，过A、B两点的抛物线交

轴于另一点C（3,0）.

⑴求抛物线的解析式;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题

7．（2010山东临沂）如图，二次函数y=x2axb的图像与x轴交于A（

，0）、

B（2，0）两点，且与y轴交于点C；

（1）求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四

点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点

为顶点的四边形是直角梯形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题

8．（2012•辽宁铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？

若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

七、二次函数中与圆有关存在性问题

9.已知：

抛物线

与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）

，它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6，

（1）求m的取值范围；

（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由

定值问题：

1.（2012四川自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？

如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

1、【答案】解：

（1）∵由平移的性质知，

的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），

∴

。

（2）由

（1）得

.

当

时，

．解之，得

　。

∴

.

又当

时，

，

∴C点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标D（－1，－4），

作抛物线的对称轴

交

轴于点E，DF⊥

轴于点F。

易知

在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，

在Rt△CFD中，CD2=12+12=2，∴AC2＋CD2＝AD2。

∴△ACD是直角三角形。

（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。

由

（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC

。

由△AOM∽△ABC，得

。

即

。

过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=

，

OG=AO－AG=3－

。

又点M在第三象限，所以M（－

，－

）。

2、【答案】解：

（1）设抛物线的解析式为

，

∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得

，解得

。

∴抛物线的解析式为

。

（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，

则D在

轴下方不可能，∴D在

轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。

②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。

∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，

由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。

故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。

（3）存在，如图：

∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，

设P（

，

），由题意知

＞0，

＞0，且

，

①若△AMP∽△BOC，则

。

即

+2=3（

2+2

）得：

1=

，

2=﹣2（舍去）．

当

=

时，

=

，即P（

，

）。

②若△PMA∽△BOC，则，

。

即：

2+2

=3（

+2）得：

1=3，

2=﹣2（舍去）

当

=3时，

=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别是P（

，

）或（3，15）。

3、【答案】解：

（1）把点B（－2，－2）的坐标代入

得，

，∴

＝4。

∴双曲线的解析式为：

。

设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn

＝4。

又∵tan∠AOX

＝4，∴

＝4，即m

＝4n。

∴n2

＝1，∴n

＝±1。

∵A点在第一象限，∴n

＝1，m

＝4。

∴A点的坐标为（1，4）。

把A、B点的坐标代入

得，

，

解得，

＝1，

＝3。

∴抛物线的解析式为：

。

（2）∵AC∥

轴，∴点C的纵坐标y

＝4，

代入

得方程，

，解得

1

＝－4，

2

＝1（舍去）。

∴C点的坐标为（－4，4），且AC

＝5。

又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积

＝

×5×6

＝15。

（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。

理由如下：

过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：

AB，等高：

CD和AB的距离）。

∵直线AB相应的一次函数是：

，且CD∥AB，

∴可设直线CD解析式为

，

把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，

。

∴直线CD相应的一次函数是：

。

解方程组

，解

得，

。

∴点D的坐标为（3，18）。

4.

（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程

∴

解之得：

；故

为所求

（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点

设BD的解析式为

，则有

，

，

故BD的解析式为

；令

则

，故

（3）、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由

（2）知，OM=OA=OD=2，

易知BN=MN=1，易求

；设

，

依题意有：

，即：

解之得：

，

，故符合条件的P点有三个：

5.解答：

解：

（1）由已知得：

A（﹣1，0），B（4，5），

∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴

，

解得：

b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：

∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴直线AB的解析式为：

y=x+1，

∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣

）2+

，

∴当t=

时，EF的最大值为

，

∴点E的坐标为（

，

）；

（3）①如图：

顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（

，

），点D的坐标为（1，﹣4）

S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=

×

×（4﹣

）+

×

×（

﹣1）=

；

②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）

则有：

m2﹣2m﹣2=

，

解得：

m1=

，m2=

，

∴P1（

，

），P2（

，

），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）

则有：

n2﹣2n﹣2=﹣

，

解得：

n1=

，