三角恒等变换知识点+例题+练习.docx
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三角恒等变换知识点+例题+练习
实用标准文档
两角和与差的正弦、余弦和正切
基础梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α－β）：
cos（α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
（2）C（α＋β）：
cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
（3）S（α＋β）：
sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
（4）S（α－β）：
sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
tanα＋tanβ
（5）T（α＋β）：
tan（α＋β）＝
1－tanαtanβ
；
tanα－tanβ
（6）T（α－β）：
tan（α－β）＝.
1＋tanαtanβ
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：
sin2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：
cos2α＝cos2α－sin
2α－sin
2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
2tanα
（3）T2α：
tan2α＝2α.
1－tan
3．有关公式的逆用、变形等
（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?
tan_αtan_β）；
（2）cos
1＋cos2α
2α＝
2
，sin
1－cos2α
2α＝
2
；
（3）1＋sin2α＝（sinα＋cosα）
2,1－sin2α＝（sinα－cosα）2，
sinα±cosα＝2sinα±
π
4
.
4．函数f（α）＝acosα＋bsinα（a，b为常数），可以化为f（α）＝a
2＋b2
sin（α＋φ）或f（α）＝a
2＋b2cos（α－φ），其中φ可由a，b的值唯一确定．
两个技巧
（1）拆角、拼角技巧：
2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β；β＝
α＋β
2
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－
β
α－βα－β
2；2－
2＝α＋
α
＋β.
2
（2）化简技巧：
切化弦、“1”的代换等．
三个变化
（1）变角：
目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
（2）变名：
通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、
“升幂与降幂”等．
（3）变式：
根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目
标，其手法通常有：
“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、
“配方与平方”等．
双基自测
1．（人教A版教材习题改编）下列各式的值为
1
4
的是（）．
2π
A．2cos
12－1B．1－2sin
275°
C.
2tan22.5°
1－tan222.5°D．sin15°cos15°
222.5°D．sin15°cos15°
2．（2011·福建）若tanα＝3，则
sin2α
2α的值等于（）．
cos
2
3．已知sinα＝，则cos（π－2α）等于（）．
3
4．（2011·辽宁）设sin
π
4
1
＋θ＝，则sin2θ＝（）．
3
5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.
考向一三角函数式的化简
1
2
4x－2cos2x＋
2cos
【例1】?
化简
π2π
－xsin＋x
2tan
44
.
[审题视点]切化弦，合理使用倍角公式．
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三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使
用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
【训练1】化简：
sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1
sin2α
.
考向二三角函数式的求值
π
【例2】?
已知0＜β＜
2
β
＜α＜π，且cosα－
2＝－
1
，sin
9
α
2
－β＝
，
23
求cos（α＋β）的值．
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三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．
【训练2】已知α，β∈0，
π
2
4
，sinα＝，tan（α－β）＝－
5
1
3
，求cosβ
的值．
考向三三角函数的求角问题
【例3】?
已知cosα＝
113
，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜
714
π
，求β.
2
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是0，
π
2，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；
π
若角的范围为－，
2
π
2
，选正弦较好．
ππ
，
【训练3】已知α，β∈－
22
，且tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4
2＋33x＋4
＝0的两个根，求α＋β的值．
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考向四三角函数的综合应用
【例4】?
（2010·北京）已知函数f（x）＝2cos2x＋sin
2x.
（1）求f
π
3
的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值．
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往
往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝
Asin（ωx＋φ）的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、
周期性、对称性等性质．
【训练4】已知函数f（x）＝2sin（π－x）cosx.
（1）求f（x）的最小正周期；
ππ
，
（2）求f（x）在区间－
62
上的最大值和最小值．
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三角函数求值、求角问题策略
面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更
是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：
其一，如何牢固记
忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法．
一、给值求值
一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键
在于“变角”，如α＝（α＋β）－β，2α＝（α＋β）＋（α－β）等，把所求角用
含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．
π
【示例】?
（2011·江苏）已知tanx＋
4
tanx
＝2，则的值为________．
tan2x
二、给值求角
“给值求角”：
实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知
角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
1
【示例】?
（2011·南昌月考）已知tan（α－β）＝，tanβ＝－
2
1
7
，且α，β
∈（0，π），求2α－β的值．
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▲三角恒等变换与向量的综合问题
两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常
在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现
在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．
【示例】?
（2011·温州一模）已知向量a＝（sinθ，－2）与b＝（1，cosθ）
π
互相垂直，其中θ∈0，
2
.
（1）求sinθ和cosθ的值；
π
（2）若5cos（θ－φ）＝35cosφ，0＜φ＜
2
，求cosφ的值．
【课后训练】
A组专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
57分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1
1．（2012·江西）若tanθ＋＝4，则sin2θ等于
tanθ
（）
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A.
1
5
B.
1
4
C.
1
3
1
2
D.
2．（2012·大纲全国）已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝
3
，则cos2α等于
3
（）
A．－
5
3
B．－
5
9
C.
5
9
D.
5
3
3．已知α，β都是锐角，若sinα＝
5
，sinβ＝
5
10
，则α＋β等于
10
（）
A.
π
4
B.
3π
4
C.
π
4
3π
和
4
D．－
π
4
和－
3π
4
4．（2011·福建）若α∈0，
π
2
，且sin
1
2α＋cos2α＝
，则tanα的值等于
4
（）
A.
2
2
B.
3
3
C.2D.3
二、填空题（每小题5分，共15分）
5．cos
2
75°＋cos
2
15°＋cos75°cos15°的值等于________．
6.
3tan12°－3
＝________.
4cos212°－2sin12°
212°－2sin12°
7．sinα＝
3
5
，cosβ＝
3
π
，其中α，β∈0，
52
，则α＋β＝____________.
三、解答题（共22分）
8．（10分）已知
1＋sinα
1－sinα
－
1－sinα
1＋sinα
＝－2tanα，试确定使等式成立的α的取值
集合．
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9．（12分）已知α∈
π
2
，π，且sin
α
＋cos
2
α
＝
2
6
.
2
（1）求cosα的值；
（2）若sin（α－β）＝－
3
5
，β∈
π
，π，求cosβ的值．
2
＝－
3
×
2
41
＋×－
52
3
5
＝－
43＋3
.
10
B组专项能力提升
（时间：
25分钟，满分：
43分）
一、选择题（每小题5分，共15分）
1．（2012·山东）若θ∈
π
4
，
π
2
，sin2θ＝
37
8
，则sinθ等于
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（）
A.
3
5
B.
4
5
C.
7
4
D.
3
4
2．已知tan（α＋β）＝
2π
，tanβ－
54
＝
1π
，那么tanα＋
44
等于
（）
A.
13
18
13
22
B.
C.
3
22
1
6
D.
3．当－
π
≤x≤
2
π
2
时，函数f（x）＝sinx＋3cosx的
（）
A．最大值是1，最小值是－1
B．最大值是1，最小值是－
1
2
C．最大值是2，最小值是－2
D．最大值是2，最小值是－1
二、填空题（每小题5分，共15分）
4．已知锐角α满足cos2α＝cos
π
－α，则sin2α＝_______.
4
5．已知cos
π
4
－α＝
12
13
，α∈0，
π
4
，则
cos2α
sin
π
＋α
4
＝_________.
6．设x∈0，
π
2
2sin2x＋1
2x＋1
，则函数y＝的最小值为________．
sin2x
三、解答题
π
7．（13分）（2012·广东）已知函数f（x）＝2cosωx＋
6
（其中ω>0，x∈R）的最小正周期为
10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈0，
π
2
，f5α＋
5
3
π＝－
6
5
，f5β－
5
6
π
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＝
16
17
，求cos（α＋β）的值．
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