数理统计第4章答案资料.docx
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数理统计第4章答案资料
数理统计第四章习题答案
1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值玄作变换打其中b、c是
常数，且bHO。
试用凡表示组内离差和组间离差，并用它们表示F的值。
解:
母体
子样
子样平均
X]],Xl2,•••,x州
X2
xX—X八21，A22，＞八2旳
•••
•••
X
心.X"：
X"
_]叫1%一
儿=—工bg_c）=_丫b%_bc=b（Xj_c）nij-inij-i
_i’①&rn'—
y=-工Rg—c）=一工力州-bc=b（X-c）nr-ij-1,lr-i;-l
—1-—1-
Xi=c+-V/X=c+—ybH0
b•b*
/•_yi_i_
）2
S厂工竹（疋-X）~》q（c+沙-c-汀r-1r-IDD
令s；=i＞庙-弼"S
1-1
令S£=l±（y厂亦"理
J-!
电=b£
n-rn一r
—17T—
F=—=^=Ff
Se右石S；
2、有四个厂生产1.5伏的3号干电池。
现从每个工厂产品中各取一子样，测量苴寿命得到数值如下：
生产厂
干电池寿命（小时）
A
24.7,24.3,21.6,193,20.3
B
30.&19.038.8,29.7
C
17.9,30.434.9,34.1J5.9
D
23.1,33023.0,264,18.1,25.1
问四个厂干电池寿命有无显著差异（Q=5%）?
解：
假设丹0：
M=“2=“3=“4
H\：
m“2血从不全为零
生产厂
干电池寿命
A
24.7.24.3,21.6J9.3,20.
3
22.04
B
30.8J9.0J&8,29.7
24.575
C
17.930.434.934.1,15.
9
26.64
D
23.133.023.026.418.1
25.1
24.783
r=4nx=5n2=4®=5n4=6n=20X=24.52
经il•算可得下列反差分析表：
来源
离差平方和
自由度
均方离差
组间
53.6511
3
17.8837
组内
603.0198
16
37.6887
总和
656.6709
19
査表得九os（3,16）=3.24
I如"4745＜耘（3,⑹
故接受即可认为四个干电池寿命无显箸差异。
3、抽查某地区三所小学五年级男学生的身髙，得数拯如下:
小学
身髙数据（厘米）
第一小学
128.1,134.1,133.1,13&9J40.&127.4
第二小学
150.3J479136.8,126.0,150.7,155.8
第三小学
140.6,143.1,144.5,143.7,148.5,146.4
试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（a=5%）?
解：
假设H°：
“=“2=“3
H\：
丛“2“3不全相等
小学
身高数据（厘米）
X
第一小学
128.1,134.1,133丄138.9,140.&127.4
133.733
第二小学
150.3,1479136・&126.0J50.7,155.8
144.583
第三小学
140.6J43.1,144.5,143.7,148.5,146.4
144.467
r=3nA=n2=n3=6X=140.9278
经计算可得下列方差分析表：
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
组间
465.886
2
232.943
4.372
组内
799.25
15
53.385
总和
7265.136
17
仏（2」5）=3・68
F=4.373>3.68=^（2,15）
二拒绝H（）故可认为该地区三所小学五年级男生平均身髙有显著差异。
4、一实验室里有一批伏特计，他们经常被轮流用来测量电压。
现在取4只，每只夫特讣用来测量电压为100伏的恒左电动势各5次，得下列结果：
伏特计
测定值
A
100.9J01.1J00.8J00.9J00.4
B
100.2J00.9J01.0,100.6,100.3
C100.&100.7,100.7,100・4,100・0
D100.4,100.1J003J060.2J00.0
问这几只伏特计之间有无显著差异（«=5%）?
解：
假设Ho:
“=“2=“3=“4
比从心从从不全相等
伏特计
测定值
X
A
100.9J01.1J00.8J00.9J00.4
100.82
B
100.2J00.9,101.0,100.6,100.3
100.6
C
100.&100.7,100.7,100.4,100.0
100.52
D
100.4J00.L100.3J060.2J00.0
100.2
r=4nA=n2=n3=nA=5X=100.535
经计算可得下列方差分析表：
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
组间
0.9895
3
0.3298
4.0716
组内
1.296
16
0.081
总和
2.2855
休05（3,16）=3.24
F>行05（3，16）=3・24
・・・拒绝H（）故可认为这几支伏特计之间有显著差异。
5、为考察温度对某一化工产品得率的影响，选了五种不同的温度，在同一温度下个做三次试验，测得结果如下：
温度（°C）
60
65
70
75
80
得率（％）
90
97
96
84
84
92
93
96
83
86
88
92
93
88
82
试问温度对得率有无显著影响（a=5%）?
并求60C与80C市平均得率之差的置信区间，以及70C与75C时平均得率之差的置信区间（l—a=0.95）。
解：
假设Hq：
丛=“2=“3=“4=ZZ5
H\：
从“2“3“4“5不全相等
温度（°C）
得率（％）
元
60
90
92
88
90
65
97
93
92
94
7（）
96
96
93
95
75
84
83
88
85
80
84
86
82
84
r=577,=n2=n3=n4=禺=3X=89.6
经计算可得下列方差分析表：
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
组间
303.6
4
75.9
15.18
组内
50
1（）
5
总和
353.6
14
佗“（4」0）=3・48
F=15・18>心“IO）
・・・拒绝H。
故可认为温度对得率有显著影响
一一11
X]-“5~N（“一“5，（—+—）b?
）由T检验法知：
Vq%
•••给左的置信概率为l-刊"<心0255-门｝=0.95
故“厂“5的置信概率为0.95的宜信区间为
ZOO25（1O）=2.2281
由上而的数据代入汁算可得:
由T检验法知:
X]-XsfO）、
屛.=90-84-2.2281x2.236x^|=l.9322
X]-X5+^25（10）、
/|s£=10.0678
故“一心的置信区间为（1.9322,10.0678）
从-“4的置信区间为:
（X3-X4-f0025（口-/•）J—+丄X3-X4+G.O25+丄Sg）
Vl34Vh4
代入数据计算得：
X?
-X?
-l075（10）丄+丄Sp=10-2.228lx2.236xj-=5.9327
v$ft4y3
石-百+也25（10）J-+-5£=l4.0678
Vfk心
故“3-“4的置信区间为（5.9322,14.0678）
6、在一元方差分析中，Xy=“+乞+勾（丿=1,2,・・・皿汀=1,2,・・・"），而工qq=0,试r-l
求匕的无偏估计量及英方差。
解：
•••Xj〜"（“&）EX,=A
—1叫
・・•又矩估计法知“=%,=-
4篙
1rI丿4_
//=-Zn>/<=-ZExo=xU$■】r-1j-1
・•.at=/<_“=X厂X
且
_141rn>l几1rn,
Ea严EX厂EX=—工E%—宾Ex厂一工（S--ZZ（Sq；-]Hi川耳/-]”；-i
=〃+y-（“+0）=y
Da,=E（Xl-X-a,）2=E[（Xi-/<）-（X-A）]2
一一1旺一]叫一
=乙£厂“）2_2耳（乙一“）_工耳（/一"）]+耳—工气（/-“）]2
注意到
E[（X,-H）（疋一円）]=E（疋-“）（眄-巴）=0（•・・工~N（“,壬））
91r
・・・上式=E（X厂—nlE（Xl—“J?
+r2>；E（X『-/<）2一2—1r—
=DXj__nlDXi+—Yn；DXr
c22a2]62b】pcr2
cr22.1.z11.
=——_—b+—b=（—__）b
n；nnn
7、为了对二元方差分析表（非重复试验）作简化计算.作变换y..=Z7（x..-c）o这里b与c
是常数，而bH0。
试用片表示由因子A.B分别引起的离差以及误差，并用儿表示F,
与Fr的值。
解：
•E
b2
•••
B,
X.
4
Xi2
•••
x“
X"
X22
•••
X"
•
•
■
•
•
■
•
•
•
■
•
•
•
•
•
•
•
•
X”
Xj
•••
X”
X.
令则S；沁
$_s1—1_
Sb=厂工（Xj-X）・=r^（c+-y,j-c--y）2j-ij-ibb
fi一_
J-l°
令s；异S’则S；=b%
7-1
rs_r11_1一_
SE=工工（x»_X匚_Xj+X）2=^^（c+-yr>-c--y.+c+y）2
/-]j-Ir-lj-1ODD
irv_一_j
=戸工》（儿一儿一儿+刃~
°i-i;-1
令s?
=乞文（为一y>-y.j+y）2f-i;-1
则SfE=b2S£9S^=b2S^
8、在B、、B「B「耳四台不同的纺织机器中，釆用三种不同的加压水平九。
在每种加压水平和每台机器中各取一个试样测量，得纱支强度如下表:
加压
机器
B、
B.
1577
1692
1800
1642
A,
1535
1640
1783
1621
4
1592
1652
1810
1663
问不同加压水平和不同机器之间纱支强度有无显著差异（a=0.01）?
解：
假设H（）i:
a{=a2=a3=0
假设血2：
戸|=02=禹=04=°
加压
机器
X
B2
1677.75
1577
1692
1800
1642
1644.75
a2
1535
1640
1783
1621
1679.25
1592
1652
1810
1663
1667.25
r=3,5=4
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
因子A
3042
2
1521
Fa=6.3436
因子B
82597.64
3
27532.547
误差
1438.61
6
239.7683
-114.8298
总和
87078.25
11
尬（2,6）=10.92尬（3,6）=9・78
“v&s（2,6）Fb>（）1（3,6）
故接受%,拒绝日。
2
即可认为不同加压水平对纱支强度无显著差异；既可认为不同机器对纱支强度有显著差异。
9、下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日产量：
机器
操作工
甲
乙
丙
A
15,15,17
19,19,16
16,18,21
17,17,17
15,15,15
19,22,22
15,17,16
18,17,16
18,18,18
18,20,22
15,617
17,17,17
在显箸水平a=0.05下检验操作工人之间的差异是否显著？
机器之间的差异是否显著？
交互作用的影响是否显著？
解：
假设Hy.a{=a2=a3=a4=0
假设H°2：
A=02=03=0
假设H小=0i=l,2,3,4;丿=1,2,3
机器
操作工
Xi..
甲
乙
丙
A
15,15,17
（15.67）
17,17,17
（17）
15,17,16
（16）
18,20,22
（20）
19,19,16
（18）
15,15,15
（15）
18,17,16
（17）
15,617
（16）
618,21
（1&33）
19,22,22
（21）
18,18,18
（18）
17,17,17
（17）
173
A,
17.67
17
17.67
X.j.
17.167
16.5
18.583
17.417
r=4s=3k=3J,Fr和坊的值
可按入夏二元方差分析表来引进
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
机器A
2.8386
3
0.9462
Fa-0.5488
机器B
27.155
2
13.5775
交互作用
73.3698
6
12.2283
5T.8756
误差
42.3866
2斗
1.724
总和
144.75
35
F,=7.093
佗os（3,24）=3.01Fom（2,24）=3.40厲“（6,24）=2.51
耳<佗o5（3,24）Fb>^.05（2.24）叫>^.05（6,24）
故接受血,拒绝
即可认为机器之间的差异不显著，操作工之间的差异显著，交互作用的影响也显著。
10、下表给出某种化工过程在三种浓度、四中温度水平下得率的数据：
试在显著水平0.05下.检验各因子的效应与交互作用对得率的影响是否显著？
浓度
（%）
温度（°C）
10
24
38
52
2
14,10
11,11
13,9
10,12
4
9,7
10,8
7,11
6,10
6
5,11
13,14
12,13
14,10
解：
假设:
a,=a2=a3=0
:
/.=0/=1,2,3,;j=1,2,3,4
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
浓度A
4丄3
2
22.176
F、-4.092
温度B
11.5602
3
3.8534
交互作用
26.943
6
4.4905
心-0.7114
误差
64.9998
12
5.4167
总和
147.833
23
F,=0.829
耳os（2,12）=3.89Fqm（3,12）=3.49张（6,12）=3.00
Fa>厲.05（2，12）Fb<花.O5（3,12）Fi<耳肋（6,⑵
故拒绝丹⑴，接受%,%
即可认为浓度对得率的影响显著，而温度和交互作用对得率的影响不显著。
11、以化工厂生产某种产品，需要找出影响收率的因素。
根据经验和分析，认为反应温度的高低，加碱量的多少和催化剂种类的不同，可能是造成收率波动的较主要原因。
对这三个因素各取三种水平，列于下表：
因素
温度（°C）
加碱量
（公斤）
催化剂种类
1水平
8（）
35
屮
2水平
85
4X
乙
3水平
9（）
55
用厶（3，）表安排9次试验，试验结果如下:
、^号试劇、
1
温度
2
加碱量
3
催化剂种类
收率
（%）
1
1
1
1
51
2
1
2
2
71
3
1
3
3
58
4
2
2
82
5
2
2
3
69
6
2
3
1
59
7
3
1
3
77
8
3
2
1
85
9
3
3
2
84
假左没有交互作用。
在a=0.05下检验各个因素对收率有无显箸影响？
解：
由题意：
设温度为因子A,加碱量为因子3,催化剂种类为因子C
假设=“2=6=0
HO2：
hl=b2=h3=O
Hz：
®=c2=c3=0
则可列下表：
51
2
I
2
2
71
5041
3
I
3
3
58
3364
4
2
2
82
6724
5
2
2
3
69
4761
6
2
3
1
59
3481
7
3
1
3
77
5929
8
3
2
1
85
7225
9
3
3
2
84
7056
180
210
195
k、
■
210
225
237
k=636,
w=46182
%
246
201
204
It
45672
45042
45270
P=44944
Q
728
98
326
得方差分析表如下:
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
A
728
2
364
-8.465
B
98
2
49
C
326
2
163
F=1.139
误差
86
2
43
总和
1238
8
Fc=3.79
给立a=0・05,查表花。
5（2,2）=19
心=&465<厲。
5（2,2）
^=1.139<19=^o5（2,2）
Fc=3.79<19=7^05（2,2）
因素
退火温度
（°C）
退伙时间
（小时）
原料产地
轧程分配
（亳米）
1水平
800
10
甲地
0.3
2水平
1000
13
乙地
0.35
假左任意两个因素没有交互作用。
现用厶（，）表安排试验，且把退伙温度、退伙时间、
原料产地、轧程分配分别放在第1、2、4、7列，经试验所的结果如下：
列号
1
2
4
7
铁损
试验号
退火温度
退火时间
原料产地
轧程
（%）
I
1
1
1
1
0.82
2
1
1
2
2
0.85
3
1
2
1
2
0.70
4
1
2
2
1
0.75
5
2
1
1
2
0.74
6
2
1
2
1
0.79
7
2
2
1
1
0.80
s
2
2
2
2
0.87
给定Q=0.05,是检验每一个因素对铁损有无显著影响？
解：
由题意，设退伙温度为因素A,退伙时间为因子B,原料产地为因子C,轧程分配为因子
假设H01:
«,=«2=0
Hg:
1入=b、=0
%:
Cl=C2=0
:
〃］=〃2=0
则可列表如下:
试验号
A
B
C
D
试验值
平方
1
1
1
1
1
0.82
0.6724
2
1
1
2
2
0.85
0.7225
3
1
2
1
2
0.70
0.49
4
1
2
2
1
0.75
0.5676
5
2
1
1
2
0.74
0.5476
6
7
8
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
0.79
0.80
0.87
0.6241
0.64
0.7569
&
3」2
3.2
3.06
3.16
k=6.32
w=5.016
k2
3.2
3.12
3.26
3,16
11
4.9936
4.9936
4.9978
4.9928
DAOOM
Q
0.0008
0.0008
0,005
0
可得方差分析表为:
来源
离差平方和
自由度
均方离差
F值
A
0.0008
1
0.0008
=0.145
B
0.0008
1
0.0008
C
0.005
1
0.005
=0.145
D
0
1
0
E=0.909
误差
0.0166
3
0.0055
总和
0.0232
7
F°=0
a=0.05,查表佗05（h3）=10」3
=0.145<10.13=^（1,3）
Fc=0.909<10」3=®u5（1，3）
Fd=0<10.13=/;）05（1,3）
故接受%,%，%,认为四种因素均对铁损没有显著影响。
13、作水稻栽培试验，考虑三个因素：
秧龄、插植基本苗数、肥料。
为了检验它们对产量的影响，每个因素取两种水平，具体水平见下表：
因素
秧龄
苗数
氮肥
1水平
小苗
15万株/亩
8斤/亩
2水平
25万株/亩
12斤/亩
用厶（2?
）表安排8次试验。
试验结果如下:
列号
1
2
4
亩产量
试验号
秧龄
苗数
氮肥
（斤）
1
I
1
1
600
2
1
1
2
613.3
3
1
2
1
600.6
4
1
2
2
606.6
5
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