上海市十校学年度高三第二学期考试试题及答案数学理试题.docx
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上海市十校学年度高三第二学期考试试题及答案数学理试题
上海市十校2011_2012学年度高三第二学期考试试题及答案[数学理试题]
导读：
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上海市十校2011—2012学年度高三第二学期考试试题及答案
上海市十校2011—2012学年度高三第二学期考试
数学试题（理）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若函数f（x）的反函数为f
−1
（x）=log3x，则f（x）=
．
2．若复数（1+bi）（3−i）是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=_________．
3．已知不等式
x+a2≤0的解集为[−1,b]，则实数a+b的值为__________．1x
46，若该线性方程组解为，则实数a=___．22
114．已知线性方程组的增广矩阵为1a
5．若向量a、b满足|a|=1,|b|=2，且a与b的夹角为
r
r
r
r
r
r
π
3
，则a⋅（a+b）=________．
rrr
6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为__________．．7．在∆ABC中,已知sinA:
sinB:
sinC=2:
3:
4,则cosC=
4x=4+5t8．已知直线l的参数方程是（t∈R），则l在y轴上的截距为________．y=−3+3t5
9．若实数m、n∈{−2，−1，1，2，3}，且m≠n，则方程轴上的双曲线的概率是__________．10．已知f（x）=a−
x2y2+=1表示焦点在ymn
1是奇函数,则f（x）的值域为3−1
x
*
．
11．数列{an}中，a1=2，对于任意m、n∈N，都有am+n=am+an+2，Sn是{an}的前n项和，则lim
nan=________．n→∞S+1n
12．已知双曲线
x2y2−2=1的两个焦点分别为F1、F2，该双曲线与抛物线y2=8x有一个2ab
1
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公共的焦点F1，且两曲线的一个交点为P，F1P|=5，∠F1PF2的大小为______．|则（结果用反三角函数表示）13．毛毛的计算器中的“开根号”键最近“感冒”了，输出的结果千奇百怪．细心的毛毛在复习资料上发现有一个真命题：
已知对于任意正数
aaa+3b≠3，则3一定在和之间；并bba+ba+3ba比更接近3．毛毛自己编制了一个算法来且a+bba、b，
求3的近似值（如图）请你在①中填上适当赋值语句：
．
开始
输入x=1
y←_______．．
14、下图展示了一个区间（0，k）是一个给定的正实数）（k到实数集R的对应过程：
区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB弯成半圆弧，圆心为H，如图2；再将这个半圆置于直角坐标系中，使得圆心H坐标为（0，1），直径AB平行x轴，如图3；在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的圆弧AM的长度，直线HM与直线y
=−1相交与点N（n,−1），则与实数
m
①
x←y
|y−x|0.001
否是
输出y
对应的实数就是n，记作
结束
n=f（m）．给出下列命题：
（1）f（）=6；
（2）函数n=f（m）是奇函数；（3）n=f（m）是定义域上的单调递增函数；（4）n=f（m）的图象关于点（,0）对称；（5）方程f（m）=2的解是m=其中正确命题序号为_______．y
k4
k2
3k．4
AmAMBM图1图2AHBM
H
B
O
x
y=-1
图3二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay−1=0与直线ax+2y−2=0平行”的
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（（A）充要条件（C）必要不充分条件16．设事件A，B，已知P（A）=（）．（A）互斥事件；事件；
）（B）充分不必要条件（D）既不充分也不必要条件
117，P（B）=,P（AUB）=，则A，B之间的关系一定为4312
（C）非互斥事件；（D）对立
（B）两个任意事件；
17．M为∆ABC所在平面内一点，若且满足MB−MC⋅MB+MC−2MA=0，∆ABC则的形状为（（A）正三角形角形）（B）直角三角形
（
）（
）
（C）等腰三角形
（D）等腰直角三
18．在平面直角坐标系中，设点P（x,y），定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点．对于下列结论：
（1）符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
（2）设点P是直线：
5x+2y−2=0上任意一点，则[OP]min=
25；5
（3）设点P是直线：
y=kx+1（k∈R）上任意一点，则“使得[OP]最小的点P有无；数个”的充要条件是“k=±1”（4）设点P是椭圆
x2+y2=1上任意一点，则[OP]max=5．4
其中正确的结论序号为（）（A）
（1）
（2）、、（3）（B）
（1）（3）、、（4）（C）
（2）（3）（4）、、（D）
（1）
（2）（4）、、三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．AA19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分；PBB第2小题满分4分；第3小题满分4分．
11
如图所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B,C在线
C
Q
C1
段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1//
AA1，分别交
DD1
AD1，AD1于点B1，P，CC1//AA1，作分别交AD，AD1111
图1
于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示
3
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的
三棱柱ABC−A1B1C1．http
（1）求证：
AB⊥平面BCC1B1；
（2）求四棱锥A−BCQP的体积；（3）求二面角A−PQ−C的大小．
AA1
PBCQC1B1
图2
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分7分，第
（2）小题满分7分．如图,有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其QCD,设照射角∠PAQ始终为45（其中点P，分别在边BC，上）∠PAB=θ,tanθ=t．
o
（1）用t表示出PQ的长度,并探求∆CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的面积S最大为多少（平方百米）?
D
Q
C
P
45o
A
θ
B
21．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知数列{an}的前n项和Sn=
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N，有k⋅an≥4n+1成立，求实数k的取值范围．
*
3（an−1），n∈N*．2
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22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知过点A（−1,0）的动直线l与圆C:
x2+（y−3）2=4相交于P,Q两点，M是PQ中点，l与直线m:
x+3y+6=0相交于N．
（1）求证：
当l与m垂直时，l必过圆心C;
（2）当PQ=23时，求直线l的方程;（3）探索AM•AN是否与直线l的倾斜角有关?
若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
uuuuuuurr
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数f（x）=mx+3,g（x）=x2+2x+m，设函数G（x）=f（x）−g（x）−1．
（1）求证：
函数f（x）−g（x）必有零点
（2）若G（x）在[−1,0]上是减函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在整数a,b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a,b]，若存在，求出a,b的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若函数f（x）的反函数为f
−1
（x）=log3x，则f（x）=
3x
．
2．若复数（1+bi）（3−i）是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=____−3_____．
3．已知不等式
x+a2≤0的解集为[−1,b]，则实数a+b的值为_____1_____．1x
46若该线性方程组解为，则实数a=_−1__．，22
114．已知线性方程组的
增广矩阵为1a
5．若向量a、b满足|a|=1,|b|=2，且a与b的夹角为
r
r
r
r
r
r
π
3
，则a⋅（a+b）=___2______．
rrr
6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为___12π_______．7．在∆ABC中,已知sinA:
sinB:
sinC=2:
3:
4,则cosC=
−
14
．
4x=4+5t8．已知直线l的参数方程是（t∈R），则l在y轴上的截距为___−6______．3y=−3+t5
x2y2+=1表示焦点在ymn
9．若实数m、n∈{−2，−1，1，2，3}，且m≠n，则方程
轴上的双曲线的概率是___
3_______．10
．
10．已知f（x）=a−
111是奇函数,则f（x）的值域为（−∞，）（，+∞）−U3−122
x
*
11．数列{an}中，a1=2，对于任意m、n∈N，都有am+n=am+an+2，Sn是{an}的前n项和，则lim
n→∞
nan=___2_____．Sn+1
12．已知双曲线
x2y2−2=1的两个焦点分别为F1、F2，该双曲线与抛物线y2=8x有一个2ab
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公共的焦点F1，且两曲线的一个交点为P，|F1P|=5，则∠F1PF2的大小为_arccos
29_____．（结果用反三角函数表示）35
13．毛毛的计算器中的“开根号”键最近“感冒”了，输出的结果千奇百怪．细心的毛毛在复习资料上发现有一个真命题：
已知对于任意正数
a、b，
aaa+3ba+3b≠3，3一定在和则之间；并且比bba+ba+b
开始
a更接近3．毛毛自己编制了一个算法来求3的近似值（如bx+3图）．请你在①中填上适当赋值语句：
y←_______．．x+1
14、下图展示了一个区间（0，k）是一个给定的正实数）到实数集（kR的对应过程：
区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB弯成半圆弧，圆心为H，如图2；再将这个半圆置于直角坐标系中，使得圆心H坐标为（0，1），直径AB平行x轴，如图3；在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的圆弧AM的长度，直线HM与直线y=−1相交与点N（n,−1），则与实数m对应的实数就是n，记作n=f（m）．给出下列命题：
输入x=1
①
x←y
|y−x|0.001
否是
输出y
结束
k
（1）f（）=6；
（2）函数n=f（m）是奇函数；（3）n=f（m）是4
定义域上的单调递增函数；（4）n=f（m）的图象关于点（,0）对称；（5）方程f（m）=2的解是m=k．2y4其中正确命题序号为_（3）（5）______．（4）AmAMBM图1图2图3y=-1AHBMOxHB
k
3
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须
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2011—2012学年度高三第二学期考试试题及答案
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay−1=0与直线ax+2y−2=0平行”的（B）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件16．设事件A，B，已知P（A）=（A）．（A）互斥事件；立事件；
117，P（B）=,P（AUB）=，则A，B之间的关系一定为4312
（C）非互斥事件；（D）对
（B）两个任意事件；
17．M为∆ABC所在平面内一点，若且满足MB−MC⋅MB+MC−2MA=0，∆ABC则的形状为（C）（A）正三角形（B）直角三角形（C）等腰三角形
（
）（
）
（D）等腰直角三角形
18．在平面直角坐标系中，设点P（x,y），定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点．对于下列结论：
（1）符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
（2）设点P是直线：
5x+2y−2=0上任意一点，则[OP]min=
25；5
（3）设点P是直线：
y=kx+1（k∈R）上任意一点，则“使得[OP]最小的点P有无；数个”的充要条件是“k=±1”（4）设点P是椭圆
x2+y2=1上任意一点，则[OP]max=5．4
其中正确的结论序号为（A）（A）
（1）
（2）、、（3）（B）
（1）（3）、、（4）（C）
（2）（3）（4）、、（D）
（1）
（2）（4）、、三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．第3小题满分4分．解．
（1）证明：
在正方形ADD1A1中，因为CD=AD−AB−BC=5，所以三棱柱
ABC−A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB+BC=AC，所以AB⊥BC．----------------------------------2分
222
因为四边形ADD1A1为正方形，AA1
BB1，所以AB⊥BB1，而BCIBB1=B，
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所以AB⊥平面BCC1B1．--------------------------------------------------------4分
（2）解：
因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A−BCQP的高．---------------------------------------5分因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
1（BP+CQ）×BC=20．-----------7分21所以四棱锥A−BCQP的体积VA−BCQP=SBCQP×AB=20．----------8分3
所以梯形BCQP的面积为SBCQP=（3）建系如图所示坐标系，则A（0,0,3）,P（0,3,0）,Q（4,7,0），
uuuruuurAQ=（4,7,−3）,AP=（0,3,−3）
z
AA1
uur
设平面APQ的法向量n1=（x,y,z）,uuuuurruuuuurrn1AQ=0,n1AP=0,
3y−3z=0有x=-1，y=1,z=14x+7y−3z=0
C
PBQC1B1
y
x
图2
uuruurn1=（−1,1,1）,又平面BCQ的法向量n2=（0,0,1）,uuuurruuuurrn1n23设n1与n2的夹角为θ，cosθ=uuuu=,-----------------------------------------10分rr3n1n2
由图可知二面角A−PQ−C的平面角为锐角，------------------------------------11分
所以二面角A−PQ−C的大小为arccos3.---------------------------------12分3
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第
（1）小题满分7分，第
（2）小题满分7分．
解：
（1）设BP=t,0≤t≤1.则CP=1−t
∠DAQ=45°−θ,DQ=tan（45°−θ）=
-----------------------------2分
1−t,1+t
CQ=1−
1−t2t=.--------------------------------------------------------------4分1+t1+t
2t21+t2∴PQ=CP2+CQ2=（1−t）2+（）=---------------------6分1+t1+t
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l=CP+PQ+QC=1−t+
2t1+t2+=2.=定值--------------------------------7分1+t1+t
t11−t
（2）当S=S正方形ABCD−S∆ABP−S∆ADQ=1−−-----------------------10分221+t12=2−（t+1+）≤2−2--------------------------------------------------12分2t+1当且仅当t=2-1时取等号.------------------------------------------------------13分探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少（2−2）为平方百米-----14分
21．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知数列{an}的前n项和Sn=
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N，有k⋅an≥4n+1成立，求实数k的取值范围．解：
（1）因为Sn=
∗
3（an−1），n∈N∗．2
33（an−1），n∈N∗，所以Sn+1=（an+1−1）．2233两式相减，得Sn+1−Sn=（an+1−an），即an+1=（an+1−an），22
∗
∴an+1=3an，n∈N．------------------------------------------------4分又S1=
33（a1−1），即a1=（a1−1），所以a1=3
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