（1）写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°）内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
（2）终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
1．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是（ ）
A．－37°B．143°
C．379°D．－143°
解析：
选D.与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.
2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝（ ）
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：
选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.
3．终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．
解析：
由题意可知，终边在直线y＝－x上的角有两种情况：
①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}；②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}．
综合①②可得，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
答案：
{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
象限角与区间角的表示
（1）如图，终边落在阴影部分的角的集合是（ ）
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
（2）已知角α是第三象限角，则角
是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
【解析】
（1）阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.
（2）因为α是第三象限角，
所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°（k∈Z），
所以k·180°＋90°＜
＜k·180°＋135°（k∈Z）．
当k＝2n（n∈Z）时，n·360°＋90°＜
＜n·360°＋135°（n∈Z），所以
是第二象限角；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，n·360°＋270°＜
＜n·360°＋315°（n∈Z），
所以
是第四象限角．
【答案】
（1）C
（2）D
象限角的判定方法
（1）根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
（2）将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
1．给出下列四个结论：
①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：
选D.①－15°是第四象限角；
②180°＜185°＜270°是第三象限角；
③475°＝360°＋115°，而90°＜115°＜180°，
所以475°是第二象限角；
④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，
所以四个结论都是正确的．
2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（ ）
解析：
选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是（ ）
A．45°B．90°
C．180°D．270°
解析：
选B.根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
2．下列各角中与330°角终边相同的角是（ ）
A．510°B．150°
C．－150°D．－390°
解析：
选D.－390°＝330°－720°，所以与330°角终边相同的角是－390°.
3．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
（1）－150°；
（2）650°.
解：
（1）因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
（2）因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
[A 基础达标]
1．下列角的终边位于第二象限的是（ ）
A．420°B．860°
C．1060°D．1260°
解析：
选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；
860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；
1060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；
1260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.
2．与1303°终边相同的角是（ ）
A．763°B．493°
C．－137°D．－47°
解析：
选C.因为1303°＝4×360°－137°，
所以与1303°终边相同的角是－137°.
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝（ ）
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
解析：
选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）
A．90°－αB．90°＋α
C．360°－αD．180°＋α
解析：
选C.特例法，取α＝30°，可知C正确．故选C.
5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在（ ）
A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上
C．x轴上D．y轴的非负半轴上
解析：
选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．
6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．
解析：
与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k·360°（k∈Z），由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得
≤k＜
，
又k∈Z，
所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.
答案：
240°
7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
解析：
顺时针方向旋转3周转了－（3×360°）＝－1080°，又50°＋（－1080°）＝－1030°，故所得的角为－1030°.
答案：
－1030°
8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．
解析：
因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．
答案：
{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}
9．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
（1）集合M有几类终边不相同的角？
（2）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：
（1）集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．
（2）令－360°<30°＋k·90°<360°，k∈Z，
则－
，k∈Z，
所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.
（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.
10．已知角β的终边在直线
x－y＝0上．
（1）写出角β的集合S；
（2）写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：
（1）因为角β的终边在直线
x－y＝0上，
且直线
x－y＝0的倾斜角为60°，
所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．
（2）在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，
取k＝－2，得β＝－300°，
取k＝－1，得β＝－120°，
取k＝0，得β＝60°，
取k＝1，得β＝240°，
取k＝2，得β＝420°，
取k＝3，得β＝600°.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
[B 能力提升]
11．若α是第二象限角，那么
和2α都不是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
解析：
选B.由α是第二象限角可知
是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以
和2α都不是第二象限角．
12．角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．
解析：
因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k·360°，α＝k·90°.
又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.
答案：
270°
13．已知，如图所示．
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
解：
（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
（2）由题图可知，阴影部分的角的集合是终边与介于[－30°，135°]之间的角的终边相同的角组成的集合，
故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
14．（选做题）已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：
由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.因为α，β都是锐角，
所以－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
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