中考有关《二次函数新定义》题型试.docx
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中考有关《二次函数新定义》题型试
中考有关《二次函数新定义》题
型试
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2
2016 年中考数学二次函数综合题练习
【二次函数中新定义问题】
1、在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y′），给出如下定义：
⎧⎪ y （x≥0）
如果 y ' = ⎨
⎪⎩
，那么称点 Q 为点 P 的“关联点”．
例如：
点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）．
（1）下面哪个点的“关联点”在函数 y = 3 的图象上？
（）
x
A、 0，0）B、 3，－1）A （－1，3）D （－3，1）
（2）如果一次函数 y = x + 3 图象上点 M 的“关联点”是 N（m，2），求点 M 的坐标；
（3）如果点 P 在函数 y = -x2 + 4 （－2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标
y′的取值范围是－4＜y′≤4，求实数 a 的取值范围．
y
Ox
y
Ox
3
2、在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C 三点
y D1D2
D3C
A
都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A，B，C 的外延矩形。
C1 点 A，B，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B，
C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形 A B C D ， A B C D ，
1 1 1 1 2 2 2 2
O
A3 B B3 A B CD 都是点 A，B，C 的外延矩形，矩形 A B CD 是点 A，B，
3 3 3 3 3 3
C 的最佳外延矩形．
（1）如图 1，已知 A（－2，0），B（4，3），C（0， t ）．
①若 t = 2 ，则点 A，B，C 的最佳外延矩形的面积为；
②若点 A，B，C 的最佳外延矩形的面积为 24，则 t 的值为；
（2）如图 2，已知点 M（6，0），N（0，8）．P（ x ， y ）是抛物线 y＝ - x 2 + 4 x + 5 上一点，求
点 M，N，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点 P 的横坐标 x 的取值范围；
（3）如图 3，已知点 D（1，1）．E（ m ， n ）是函数 y = 4 （ x > 0） 的图象上一点，矩形 OFEG 是
x
点 O，D，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形 OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径 r
的取值范围．
4
3、在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为和谐点．例如点（1，1），（ - 1
3
，
1
-），（ - 2 ， - 2 ），…，都是和谐点．
3
（1）分别判断函数 y = -2 x + 1 和 y = x 2 + 1 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐
标；
3
，），且当 0 ≤ x ≤ m
22
时，函数 y = ax 2 + 4 x + c -
3
4
（a ≠ 0） 的最小值为－3，最大值为 1，求 m 的取值范围．
（3）和谐点为 P 的直线 y = kx + 2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y =
n
x
的图象交
于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），若点 P 的横坐标为 1，且 AM + AN < 3 2 ，请直接写出 n 的取
值范围．
y
1
O1x
y
1
O1x
5
4、 北京房山模拟） 探究】如图 1，点 N （m,n ）是抛物线 y =
1
1
4
x2 - 1 上的任意一点， 是过点 （0,-2）
且与 x 轴平行的直线，过点 N 作直线 NH⊥l，垂足为 H.
①计算:
m=0 时，NH=;m=4 时，NO=.
②猜想:
m 取任意值时，NONH（填“＞”、“＝”或“＜”）.
y
N y
y
O
x
N
F O x
A
O B
x
-2
H l M
图图图
【定义】我们定义：
对于平面内一个定点F 和一条不经过点 F 的定直线 l，如果抛物线上任意一点到
点 F 的距离和它到直线 l 的距离都相等，则称点 F 叫做抛物线的“焦点”，直线 l 叫做抛物线的“准线”.
如图 1 中的点 O 即为抛物线 y =
1
“焦点”F 在抛物线的对称轴上.
1
4
x2 - 1 的“焦点”，直线 l:
y = -2 即为抛物线 y 的“准线” 可以发现
1
【应用】
（1）如图 2，“焦点”为 F（-4，-1）、“准线”为 l 的抛物线 y =
2
1 （
4
x+4 ）2 + k 与 y 轴交于
点 N（0，2），点 M 为直线 FN 与抛物线的另一交点，MQ⊥l 于点 Q，直线 l 交 y 轴于点 H.
①直接写出抛物线 y2的“准线”l：
；
1
+
MQNH
（2）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心，半径为 1 的⊙O 与 x 轴分别交于 A、
3
的抛物线 y = ax2 + bx + c 的表达式.
3
6
5、如图 1，抛物线 y = ax 2 + bx + c（a > 0） 的顶点为 M，直线 y=m 与 x 轴平行，且与抛物线交于点 A，
，若AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A、B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该
抛物线对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶，点 M 到线段 AB 的距离称为碟高.
（1）抛物线 y = 1
2
x 2 对应的碟宽为 ；抛物线 y = 4x 2 对应的碟宽为 ；抛物线
y = ax2 （a>0）对应的碟宽为；抛物线 y = a（x - 2）2 + 3（a > 0） 对应的碟宽；
（2）若抛物线 y = ax2 - 4ax -
5
3
（a > 0） 对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值；
（3）将抛物线 yn = a n x 2 + bn x + cn （a n > 0） 的对应准蝶形记为 F （n=1,2,3，…），定义 F1，F2，…..Fn
为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比 若 Fn 与 Fn-1 的相似比为
点，现在将
（2）中求得的抛物线记为 y1，其对应的准蝶形记为 F1.
①求抛物线 y2 的表达式
1
2
，且 Fn 的碟顶是 Fn-1 的碟宽的中
② 若 F1 的碟高为 h1,F2 的碟高为 h2，…Fn 的碟高为 hn。
则 hn=,Fn 的碟宽右端点横坐标
为；F1，F2，….Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上？
若是，直接写出改直线的表达式；若不
是，请说明理由.
7
6、我们常常用符号 f （ x） 表示 x 的函数，例如函数 f （ x） = x2 - 2x + 1 ，则 f （3） = 32 - 2 ⨯ 3 + 1 = 4 .
对于函数 f （ x） ，若存在 a,b， f （ x） 满足以下条件：
① 当 a < x < x 时，随着 x 的增大，函数值 f （ x）
0
增大；② 当 x < x < b 时，随着 x 的增大，函数值 f （ x） 减小，则称 f （ x ） 为 f （ x） 在 a00
（1）判断函数 f （ x） = x + 1 是否具有峰值；
（2）求函数 f （ x） = - x2 + 4x + 1 的峰值；
（3）已知 m 为非零实数，当 x ≤ m 时，函数 y = m（ x - 1）2 + 2m2 的图象记为 T1；当 x > m 时，函数
y = （m2 - 1）x + 2m 的图象记为 T2；图象 T1，T2 组成图象 T. 图象 T 所对应的函数记为 f （ x） . 若 f （ x） 存
在峰值，求实数 m 的取值范围.
7、对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P （m, n ），定义一种变换：
作点 P （m, n ）关于 y 轴对称的点 P ' ，再
将 P ' 向左平移 k （k > 0）个单位得到点 P ' ， P ' 叫做对点 P （m, n ）的 k 阶“ ℜ ”变换．
kk
（1）求 P （3,2 ）的 3 阶“ ℜ ”变换后 P ' 的坐标；
3
求过 A, B, C 三点的抛物线 M 的解析式；
（3）在
（2）的条件下，抛物线 M 的对称轴与 x 轴交于 D ，若在抛物线 M 对称轴上存在一点 E ，
使得以 E , D, B 为顶点的三角 形是等腰三角形，求点 E 的坐标．
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