勾股定理的逆定理一含习题及答案1doc.docx
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勾股定理的逆定理一含习题及答案1doc
勾股定理的逆定理
（一）
一、教学目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理．
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法．
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．
二、重点、难点
1．重点：
掌握勾股定理的逆定理及证明．
2．难点：
勾股定理的逆定理的证明．
3．难点的突破方法：
先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法．充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受．
为学生搭好台阶，扫清障碍．
⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角．
⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决．
⑶先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证．
三、课堂引入
创设情境：
⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？
和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想．
四、例习题分析
例1、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行．
⑵如果两个实数相等，那么两个实数平方相等．
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分析：
⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用．
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．
解略．
本题意图在于使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系．
例2、证明：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
分析：
⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证．
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角．
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决．
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证．
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法．充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受．
证明略．
通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维．
例3、已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：
∠C=90°．
分析：
⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：
①先判断那条边最大．②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值．③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可．
⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证．
本题目的在于使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：
①先判断那条边最大．②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值．③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
勾股定理的逆定理
（二）
一、教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识．
二、重点、难点
1．重点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
2．难点：
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．
3．难点的突破方法：
三、课堂引入
创设情境：
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法．
四、例习题分析
例1、[书中例2]
分析：
⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR−∠QPS=45°．
小结：
让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识．
例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状．
分析：
⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．
解略．
本题帮助培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实
典型例题
例题：
1．ΔABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，在下列条件中，能够判定ΔABC是直角三角形的个数是（ ）
①a2+c2=b2
②∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3
③a：
b：
c=
：
1：
1
④∠A：
∠B：
∠C=3：
4：
5
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：
B
说明：
利用勾股定理逆定理很容易得出①正确；当∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3时，由三角形内角和为180º，不难得出∠C为90º，ΔABC是直角三角形，②正确；当a：
b：
c=
：
1：
1，可设b=c=k，则a=
k，此时b2+c2=2k2=a2，ΔABC为直角三角形，③正确；当∠A：
∠B：
∠C=3：
4：
5时，不难计算出∠A=45º，∠B=60º，∠C=75º，此时ΔABC不是直角三角形，④错；所以答案为B．
2．分别以下列a、b、c为边的三角形是直角三角形的有（ ）
①a=
，b=
，c=
②a=
，b=25，c=24
③a：
b：
c=4：
5：
3
④a=m2−n2（m>n），b=2mn，c=m2+n2
⑤a=
，b=
，c=
A．①②③④ B．①③⑤ C．②③④ D．①③④⑤
答案：
D
说明：
①满足b2+c2=a2，是直角三角形；②a2=7，b2=625，c2=576，b边最长，但不满足a2+c2=b2，所以不是直角三角形；③可设a=4k，b=5k，c=3k，则有a2+c2=25k2=b2，是直角三角形；④a2=m4−2m2n2+n4，b2=4m2n2，c2=m4+2m2n2+n4，满足a2+b2=c2，是直角三角形；⑤a2=
，b2=
，c2=
，满足a2+b2=c2，是直角三角形；所以答案为D．
3．如图，已知ΔABC中，∠C=90º，CD⊥AB于点D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h；求证：
①c+h>a+b；②以a+b、h、c+h为边的三角形是直角三角形．
证明：
要证c+h>a+b．根据“要证A>B即证A−B>0”．在Rt△ACB中有c>a、c>b的不等关系，因此考虑将h用含a、b、c的代数式表示，由S△ABC=
ab=
ch得h=
．即证（c+
）−（a+b）>0．利用代数中的相关知识及c>a、c>b加以证明．
①∵∠C=90º，CD⊥AB
∴S△ABC=
ab=
ch
∴h=
（利用三角形面积公式得出等量关系）
∴（c+h）−（a+b）
=（c+
）−（a+b）
=
=
（利用因式分解中的分组分解法，将式子转化为积的形式）
=
∵c>a>0，c>b>0（直角三角形的斜边大于直角边）
∴
>0
∴（c+h）−（a+b）>0
∴c+h>a+b
②∵c+h>a+b，c+h>h，a2+b2=c2，ab=ch
∴（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2=c2+2ch+h2=（c+h）2
∴以a+b，h，c+h为边的△是直角三角形，且c+h是斜边．
4．如图，已知等腰ΔABC底边BC=20，D是AB上一点，且CD=16，BD=12；求ΔABC
的周长．
解：
由△BDC的三边的长12、16、20是一组勾股数，得出∠BDC=90º，则△ADC是Rt△．设AC的长为x，则AD=x−12，由勾股定理得（x−12）2+162=x2解出x的值，从而求解．
∵BD=12，CD=16，BC=20，
∴BD2+CD2=122+162=400，BC2=400，
∴BD2+CD2=BC2
∴∠BDC=90º，∴△ADC为Rt△，
∴AD2+CD2=AC2
设AC=x，由AB=AC，BD=12，则AD=x−12，
∴（x−12）2+162=x2
∴x=
，∴AC=AB=
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=
+
+20=
习题精选
1．判断题
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．
⑵命题：
“在一个三角形中，有一个角是30º，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．
⑶勾股定理的逆定理是：
如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
⑷△ABC的三边之比是1：
1：
，则△ABC是直角三角形．
答案：
对，错，错，对；
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形．
B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形．
D．如果∠A：
∠B：
∠C=5：
2：
3，则△ABC是直角三角形．
答案：
D
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a=
，b=
，c=
D．a：
b：
c=2：
3：
4
答案：
D
4．已知：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？
并指出那一个角是直角？
⑴a=
，b=
，c=
； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b=
，c=
； ⑷a=5，b=
，c=1．
答案：
⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A．
5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确．
⑴如果a3＞0，那么a2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等．
答案：
⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题．
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题．
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题．
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题．
6．填空题．
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 ．
⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是 ．
⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是 ．
⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是 三角形．
答案：
⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．
⑸小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 ．
答案：
向正南或正北．
7．若三角形的三边是 ⑴1、
、2； ⑵
； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；
⑸（m+n）2－1，2（m+n），（m+n）2+1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 Ｃ．4个 Ｄ．5个
答案：
B
8．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形；
B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
D．等腰直角三角形．
答案：
C
9．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿CD，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？
为什么？
答案：
能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2
10．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行
50海里，航向为北偏西40°，问：
甲巡逻艇的航向？
答案：
由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°．
11．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90º．
提示：
连结AC．AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90º，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米．
12．已知：
在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD．求证：
△ABC中是直角三角形．
提示：
∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=
AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°．
13．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm．求证：
△ABC是等腰三角形．
提示：
因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC．
14．已知：
如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2．求证：
AB2=AE2+CE2．
提示：
有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2．
15．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=
，试判定△ABC的形状．
提示：
直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14．又因为c2=14，所以a2+b2=c2．
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