电磁场与电磁波答案.docx

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电磁场与电磁波答案

西安电子科技大学

考试时间120分钟

题号

-一一

二二

三三

四

五

六

七

总分

分数

任课教师

1.考试形式：

闭卷；2.本试卷共7大题，满分100分.3全部答案写在试题纸上。

班级学号姓名

一、（15分）已知a是常矢，矢径R=（x-X）?

xa+（y-0a+（z'?

Z,a

R=J（x—X）2+（y_y）2+（z—z）2，求

（1）可R，

（2）队R,（3）亦R，（4）队^R），⑸亦（Mr），⑹可（R/r），⑺若A=a；xy-ayyz+azxz，矢量A是否满足库

伦规范。

PRR（x-x垃+（y-y）&+（z-z）aRJ（x-x）2+（y-y）2+（z-z）

（2分）

（2分）

（2分）

（2分）

（2分）

可（战我=（可XR）aR—厂aR）』=_（可甘,

dRd

a）4=-（R>^a）A=0（2分）

R

II

_II

■严严严—

P4=1?

一+y?

一+Z一）（XXy-yyz+ZXz）=y-z+xH0，矢量A不满足库伦&zy&

规。

（3分）

二、（25分）

1.写出麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式及边界条件的矢量形式，并指出

麦克斯韦方程组中独立的方程。

［解］

麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式

H=J中念D可XE=-j⑷B可*B=0

I

—D=P

（2分）

边界条件的矢量形式

ffx（E2-Et）=0

巾诩2—Hi尸Js

I

R（D2-Di）=巴I?

（B^B1）=0

独立方程有三个:

did可XH=J+j«D_*i

E

—D=P

或者

独立方程有三个:

■」4

可XH=J+2D_■4

VxE=-pBVJ=-j©P

（2分）

（1分）

（1分）

2.在真空中有一个静止的点电荷q放置于直角坐标系的坐标原点处，写出空间

任一点（x,y,z）处的电场强度、电位与等位面方程。

222o

4兀s0（x+y+z）2

申==

4兀名0丘2+y2^z2

（2分）

X2+y2+z2=c（c>0）为等位面方程

（1分）

3.若一均匀平面电磁波在良导体银中传播，若电磁波的波长为

-6

7.3514X10m,

银的电导率b=6.15xl07S/m，求银的集肤深度与表面电阻。

=*=△=1.17x10-m

（3分）

Rs=丄-

"6.15咒107心.17咒10-"0.0139°

（2分）

4.对于非磁性介质，写出斜入射时均匀平面波产生全反射的条件。

坷>总2

（2分）

arcsin<9

（3分）

5.计算自由空间中电流强度为10mA，长度为dl=0.仏的电基本振子的辐射电

阻与辐射功率。

2dl22

Rr=80兀2（—）2=0.8兀2=7.896

（2分）

2_22-4

Rr=0.5X（10）X7.896=3.948X10W

（2分）

三、（8分）推导无源区域，均匀、线性、各向同性、无耗媒质中时变电磁场的

波动方程。

对于无源区域，均匀、线性、各向同性、

无耗媒质中的时变

Maxwell

VxH

/E

〜ct

（1）

VxE

⑵

VH

=Q

（3）

—E

=0

⑷

［解］

方程组为

（2分）

对

（1）两边去旋度，可得

■

„cE

7xVxH=E可咒——=7（7.H）—

dt

■e）（5）

（2分）

将（3）和

（2）代入⑸中，可得

网Y=0

（1分）

类似地，将

（2）两边去旋度，可得

VxVxE=-4亦—7^.E）-可2社-pgVx联a

亠H）（7）

（2分）

将（4）和

（1）代入⑺中，可得

（8）（1分）

四、（10分）同心球电容器的内导体半径为a，外导体内半径为

b，其间填充两

种均匀线性各向同性的电介质，上半部分的介电常数为^1，下半部分的介电常

数为^2，如图1所示。

设内外导体带电分别为q和-q,求上半部分与下半部分

的电场强度E和电位移矢量D，以及该电容器的电容C。

b

图1（第四题用图）

［解］为了满足介质分界面上电场强度切向分量连续的条件，上下两部分的电场强度满足

Ei見=E（r）ar

（2分）

则对应的电位移矢量分别为

D1=E1E1=5E（r）＜?

rD2=EE2=EE2（r）?

r

在半径为r的球面上应用高斯定理，有

2兀®r2E+2兀sJe=q

（2分）

于是

E"2兀r2^乜）

（1分）

上下部分的电场强度与电位移矢量分别为

I

Ei

昆"（；+J

D_2兀r2（名1+名2）

D2

2兀r2（d+%）

a?

（2分）

内外导体间的电位差为

（2分）

最终两导体间的电容为

（1分）

小q2叮名1+E2）ab

C――

Ub-a

五、（12分）如图2所示，一个半径为a的金属半球壳，其底部连接一个接地

的金属导体版。

若内部填充空气，并在距离球心d处放置一个电量为Q的点电

荷，采用镜像法求半球壳内部的电位*，并说明镜像法的理论基础。

图2（第五题用图）

［解］首先考虑一个半径为a的接地导体球壳，其内部在距球心距离为d处放置一个点电荷Q的等效问题，如下图所示。

相应的等效问题为去掉导体球壳，在距球心距离为b处放置一个镜像点电荷Q'，镜像电荷与原电荷共同作用在球壳位置处产生的电位为零，即

孟［帶士0⑴（2分）

其中ri和「2为球面上一点到Q和Q'的距离。

若选择球面上的P点分别为离原

电荷最远和最近处，则有

41；為+羞為=0⑵（1分）

0（3）（1分）

b—a

求解

（2）和（3）,可得

（1分）

（1分）

Q1丄Q’1

十一

4兀s0a-d4兀s0

由此，图2中的等效问题如下图所示。

（0,0,a2/d）的位置处放置镜像电

为了同时满足球壳和导体平面的电位为零，则在

荷-aQ/d（1分），在（0,0,-d）的位置处放置镜像电荷-Q（1分），以及在（0,0,-a2/d）的

位置处放置镜像电荷aQ/d（1分）。

这三个镜像电荷与原电荷一起在半球壳内部

产生的电位为

__—13分）

4兀务r14兀M「24兀和34兀dr4

其中

「2十忙（z耳2

「3=Jx2+y2+（z+d）2

r4=Jx2+y2+（z+中2

六、（12分），如图3所示，一个右旋圆极化的均匀平面电磁波由空气（ZV0）入

射到一个无限大理想介质交界面（z=0），入射波电场强度的复数表达式为

E=（ax+昭+73?

z）e52（V/m）

已知理想介质区域（z>0）的相对磁导率1=1，若在空气（ZV0）中反射波是个线极化波，求

工作频率f，入射角0i，以及参数b;

理想介质的相对介电常数耳；

透射波的传播矢量kt。

X*

媒质2

媒质1

.入射波

图3（第六题用图）

［解］

（1）入射波的传播矢量为

则传播常数为

（1分）

考虑到在空气中传播，则频率为

2兀10HZ

进一步，传播方向单位矢量为

则与z轴夹角的方向余弦为

A

cosQ=I?

'Oz=—

2

从而入射角为

（1分）

由于（ox中辰）k?

=0，以及a4?

=0，则可将入射波电场矢量分解为两个分量

（1分）

E=［ax+辰*2卸心+斶$2吨2

由于它是圆极化波，则

（1分）

b=43^=2

又因为是右旋圆极化波，并考虑到

（?

+J3?

）xb&=—J^bOx+boz

与I?

平行，则

（1分）

（2）由于反射波是一个线极化波，则入射角应为布儒斯特角

则可得

（3）

由Snell折射定律可知

则折射角为

日t=30°

透射波的传播常数为

则透射波的传播矢量

（1分）

kt=|k|（—axsinq+azcosq）=4^^/3（-ax-+az^）=-ax2^73+az6^I22

七、（18分）如图4所示，区域I（Z<0）为自由空间，区域II（z>0）为理想介质,

其相对介电常数咎=5与相对磁导率巴=20。

区域I中入射波电场强度的瞬时值为

Ei（r,t）=260cos（2兀X108t-kz）+ay60sin（2兀咒108t-kz）

和Ht（z,t）；

（4）判断入射电磁波、反射电磁波和透射电磁波是何种极化波;

入射波

»z

图4（第七题用图）

（1）入射波的频率f=108Hz，考虑到在空气中传播，则传播常数

在I区域中的波长为

（1分）

（2）

将入射电场表示成复数形式可得

由于分界面是在z=0平面，则入射波是垂直入射到分界面上，相应的反射系数

与透射系数为

2^0-0

（1分）

2^1

（1分）

透射波的常数为

20兀

rad/s

则反射电场与透射电场的复数形式为

j空j竺j罢j空

Er（F）=：

r（aX60e3-jc?

y603）=£20e3—）^203

严平j2^Tz严7^

Et（r）=T（aX60eF-jay60h）=ax80eh

（3）

入射波、反射波、透射波磁场强度的复数表达式为

对应的瞬时值为

（1分）

Hi（r,t）=—ax丄sin（2兀>d08t-丝）+玄丄cos（2g108t-=）-3y2兀3

4182兀z182兀z

Hr（r,t）=2——sin（2兀X108t+——）一ay——cos（2兀X108t+——）“3y6兀3

（5）

Sav

r

2口0

Er

（1分）

去Ht*

Sav,t=Re（2

q12800q80

—?

—?

（1分）