算法设计与分析第2版王红梅胡明习题答案.docx

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算法设计与分析第2版王红梅胡明习题答案

算法设计与分析（第2版）-王红梅-胡明-习题答案

习题1

1.

图1.7七桥问题

北区

东区

岛区

南区

图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士的伟大数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：

一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：

一个起点

输出：

相同的点

1，一次步行

2，经过七座桥，且每次只经历过一次

3，回到起点

该问题无解：

能一笔画的图形只有两类：

一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法

1.r=m-n

2.循环直到r=0

2.1  m=n

2.2   n=r

2.3  r=m-n

3 输出m

3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法

//对数组先进行快速排序

//在依次比较相邻的差

#include

usingnamespacestd;

intpartions（intb[],intlow,inthigh）

{

intprvotkey=b[low];

b[0]=b[low];

while（low

{

while（low=prvotkey）

--high;

b[low]=b[high];

while（low

++low;

b[high]=b[low];

}

b[low]=b[0];

returnlow;

}

voidqsort（intl[],intlow,inthigh）

{

intprvotloc;

if（low

{

prvotloc=partions（l,low,high）;//将第一次排序的结果作为枢轴

qsort（l,low,prvotloc-1）;//递归调用排序由low到prvotloc-1

qsort（l,prvotloc+1,high）;//递归调用排序由prvotloc+1到high

}

}

voidquicksort（intl[],intn）

{

qsort（l,1,n）;//第一个作为枢轴，从第一个排到第n个

}

intmain（）

{

inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};

intvalue=0;//将最小差的值赋值给value

for（intb=1;b<11;b++）

cout<

cout<

quicksort（a,11）;

for（inti=0;i!

=9;++i）

{

if（（a[i+1]-a[i]）<=（a[i+2]-a[i+1]））

value=a[i+1]-a[i];

else

value=a[i+2]-a[i+1];

}

cout<

return0;

}

4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。

要求分别给出伪代码和C++描述。

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

inta[]={1,2,3,6,4,9,0};

intmid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它

for（inti=0;i!

=4;++i）

{

if（a[i+1]>a[i]&&a[i+1]

{

mid_value=a[i+1];

cout<

break;

}

elseif（a[i+1]a[i+2]）

{

mid_value=a[i+1];

cout<

break;

}

}//for

return0;

}

5.编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

doublevalue=0;

for（intn=1;n<=10000;++n）

{

value=value*10+1;

if（value%2013==0）

{

cout<<"n至少为:

"<

break;

}

}//for

return0;

}

6.计算π值的问题能精确求解吗？

编写程序，求解满足给定精度要求的π值

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

doublea,b;

doublearctan（doublex）;//声明

a=16.0*arctan（1/5.0）;

b=4.0*arctan（1/239）;

cout<<"PI="<

return0；

}

doublearctan（doublex）

{

inti=0;

doubler=0,e,f,sqr;//定义四个变量初

sqr=x*x;

e=x;

while（e/i>1e-15）//定义精度范围

{

f=e/i;//f是每次r需要叠加的方程

r=（i%4==1）?

r+f:

r-f;

e=e*sqr;//e每次乘于x的平方

i+=2;//i每次加2

}//while

returnr;

}

7.圣经上说：

神6天创造天地万有，第7日安歇。

为什么是6天呢？

任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。

例如，6=1+2+3，因此6是完美数。

神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。

设计算法，判断给定的自然数是否是完美数

#include

usingnamespacestd;

intmain（）

{

intvalue,k=1;

cin>>value;

for（inti=2;i!

=value;++i）

{

while（value%i==0）

{

k+=i;//k为该自然数所有因子之和

value=value/i;

}

}//for

if（k==value）

cout<<"该自然数是完美数"<

else

cout<<"该自然数不是完美数"<

return0;

}

8.有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。

他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。

这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。

每个人走路的速度是不同的：

甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成

甲每次分别带着乙丙丁过桥

例如：

第一趟：

甲，乙过桥且甲回来

第二趟：

甲，丙过桥且甲回来

第一趟：

甲，丁过桥

一共用时19小时

9．欧几里德游戏：

开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。

请问，你是选择先行动还是后行动？

为什么？

设最初两个数较大的为a,较小的为b，两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括:

factor,factor*2,factor*3,...,factor*（a/factor）=a.一共a/factor个。

如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题2

1．如果T1（n）=O（f（n）），T2（n）=O（g（n）），解答下列问题：

（1）证明加法定理：

T1（n）＋T2（n）=max{O（f（n））,O（g（n））}；

（2）证明乘法定理：

T1（n）×T2（n）=O（f（n））×O（g（n））；

（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。

（1）

（2）

（3）比如在

for（f（n））

{

for（g（n））

}

中应该用乘法定理

如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理

（1）intStery（intn）

{

intS=0;

for（inti=1;i<=n;i++）

S=S+i*i;

returnS;

}

（2）intQ（intn）

{

if（n==1）

return1;

else

returnQ（n-1）+2*n-1;

}

2．考虑下面的算法，回答下列问题：

算法完成什么功能？

算法的基本语句是什么？

基本语句执行了多少次？

算法的时间复杂性是多少？

（1）完成的是1-n的平方和

基本语句：

s+=i*i，执行了n次

时间复杂度O（n）

（2）

（2）完成的是n的平方

基本语句：

returnQ（n-1）+2*n–1，执行了n次

时间复杂度O（n）

3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。

（1）for（i=1;i<=n;i++）

if（2*i<=n）

for（j=2*i;j<=n;j++）

y=y+i*j；

（2）m=0;

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=2*i;j++）

m=m+1;

（1）基本语句2*i

基本语句y=y+i*j执行了2/n次

一共执行次数=n/2+n/2=O（n）

（2）基本语句m+=1执行了（n/2）*n=O（n*n）

4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式：

（1）

（2）

（1）intT（intn）

{

if（n==1）

return4;

elseif（n>1）

return3*T（n-1）;

}

（2）

intT（intn）

{

if（n==1）

return1;

elseif（n>1）

return2*T（n/3）+n;

}

5.求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。

（1）求数组中的最大元素；

（2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图；

（3）确定数组中的元素是否都是惟一的；

（4）生成一个具有