高考数学二轮复习专题15立体几何与向量方法教学案.docx

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高考数学二轮复习专题15立体几何与向量方法教学案

2019-2020年高考数学二轮复习专题1.5立体几何与向量方法教学案

考点

最新考纲

5年统计

1.空间几何体的结构及其三视图和直观图

1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征。

2．理解简单空间图形（柱、锥、台、球的简易组合）的含义，了解中心投影的含义，

掌握平行投影的含义。

3．理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体。

会用斜二测法画出它们的直观图。

xx•浙江文5,20；理10,12,20;

xx•浙江文3,20；理3,20;

xx•浙江文2,18；理2,13,17；

xx•浙江文9,18；理11,17;

xx•浙江3,9,19.

2.空间几何体的表面积与体积

会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.

xx•浙江文5；理12;

xx•浙江文3；理3；

xx•浙江文2；理2；;

xx•浙江文9；理11,14;

xx•浙江3.

3.空间点、线、面的位置关系

①了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；

②了解两点间距离、点到平面的距离的含义。

③理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念。

xx•浙江文20；理10;

xx•浙江文6；理20;

xx•浙江文4,7；理8,13;

xx•浙江文2,14；理2;

xx•浙江9,19.

4.直线、平面平行的判定与性质

掌握公理、判定定理和性质定理.

xx•浙江理10,20;

xx•浙江文4;

xx•浙江文2；理2;

xx•浙江19.

5.直线、平面垂直的判定与性质

掌握公理、判定定理和性质定理.

xx•浙江文20；理10;

xx•浙江文6,20；理20;

xx•浙江文4，18；理17;

xx•浙江文2.18；理2,17;

xx•浙江19.

6.空间直角坐标系、空间向量及其运算

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置

2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算。

4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题。

xx•浙江文18；理17.

7.立体几何中的向量方法

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量.

（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

xx•浙江文18；理17；

xx•浙江理17;

【典例1】【xx浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的体积（单位：

cm3）是

A．B．C．D．

【答案】A

【对点训练】【xx课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

【典例2】【xx课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

【对点训练】【xx届河南省洛阳市高三期中】在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：

则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为

，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.

【典例3】【xx天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.

【答案】

【对点训练】【xx课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为_______.

【答案】

【解析】

【考点】简单几何体的体积

【考向预测】通过对近几年高考试题的分析可看出,空间几何体的命题形式比较稳定,多为选择题或填空题,有时也出现在解答题的某一问中,题目难度常为中低档题.考查的重点是直观图、三视图、面积与体积等知识,此类问题多为考查三视图的还原问题,且常与空间几何体的表面积、体积等问题交汇,是每年必考的内容.

对空间几何体的三视图的考查目标是考查考生的空间想象能力;对表面积和体积的考查,常见形式为蕴涵在两个几何体的“切”或“接”形态中,或以三视图为载体进行综合考查,此内容还要注意强化几何体的核心——截面以及补形、切割等数学思想方法的训练.

热点二空间平行、垂直等位置关系

【典例4】【xx江苏，15】如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.

求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

【答案】

（1）见解析

（2）见解析

【对点训练】如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE内.

（1）求证:

CO⊥平面ABED;

（2）求∠CEO（记为θ）多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?

最大值为多少?

【答案】

（1）见解析；

（2）的最大值为.

（2）解：

由

（1）知CO⊥平面ABED,

知三棱锥C-AOE的体积V=S△AOE·OC=×OE×AD×OC.

由直角梯形ABCD中,CD=2AB=4,AD=,CE=2,

得三棱锥C-AOE中,OE=CE·cosθ=2cosθ,

OC=CE·sinθ=2sinθ,V=sin2θ≤,

当且仅当sin2θ=1,θ∈,即θ=时取等号

（此时OE=

故当θ=时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为.

【典例5】【xx届云南省师范大学附属中学高三月考二】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.

（1）求证：

平面平面；

（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）见解析

（2）线段上存在一点，使得平面．

（Ⅱ）线段上存在一点，使得平面．

证明：

在线段上取一点，使，连接

∵，∴，且，

又∵，且，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，∴，

又平面，平面，∴平面．

∴

．

【对点训练】【xx届南宁市高三摸底】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.

①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.

【答案】①③④

【考向预测】近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式,通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质，考查转化思想、空间想象能力、逻辑思维能力及运算能力.空间中的垂直关系是高考命题的重点，客观题、大题都有可能考查，以客观题形式考查命题的真假判断，在解答题中以分层设问或条件形式呈现，以证明问题为主，主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定及性质，以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．浙江卷对垂直关系的考查多于对平行关系的考查.

热点三空间角的计算

【典例6】【xx课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】

【对点训练】【xx浙江，9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则

A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α

【答案】B

【解析】

【典例7】【xx浙江，19】如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：

平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题解析：

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．

设CD=1．

在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，

在Rt△MQH中，QH=，MQ=，

所以sin∠QMH=，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．

【对点训练】【xx课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【典例8】【xx山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.

（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；

（Ⅱ）当，，求二面角的大小.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

思路二：

以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量

计算

即得.

（Ⅱ）解法一：

取的中点，连接，，.

因为，

所以四边形为菱形，

所以

.

取中点，连接，，.

则，，

所以为所求二面角的平面角.

又，所以

.

在中，由于，

由余弦定理得

，

所以，因此为等边三角形，

故所求的角为.

解法二：

以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因此所求的角为.

【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.

【对点训练】.【xx天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证：

平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【考向预测】从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:

（1）有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;

（2）有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;（3）线线角、线面角和二面角是高考的热点,尤其是线面角和二面角,几乎每年必考,题型多为解答题,一般为中低档题,主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.对于求线线角、线面角和二面角的问题,常用方法有两种:

几何法和空间向量法,几何法要理清求角的三部曲,即“一作、二证、三求”,是解答此类问题的关键.

热点四立体几何中的“动态问题”

【典例9】如图,在直二面角A-BD-C中,△ABD,△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形,取AD中点E,将△ABE沿BE翻折到△A1BE,在△ABE的翻折过程中,下列不可能成立的是（　　）

A.BC与平面A1BE内某直线平行B.CD∥平面A1BE

C.BC与平面A1BE内某直线垂直D.BC⊥A1B

【答案】D

【对点训练】如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足=3,点P在棱AC上运动,设EP与平面BCD所成角为θ,则sinθ的最大值为　　　　　.

【答案】

【考向预测】立体几何中的动态问题,由于具有较强的灵活性,而且不易整理出通法,一直都是高考的热点和难点,xx年,xx年选择题最后一题、xx年填空题第14题浙江高考卷都出现了此类问题,xx年、xx年均考查了翻折问题,xx年是立体几何的材料阅读题.将问题进行等价转化是解决这类问题的根本出发点,常见的转化有将立体转化为平面,将立体几何中的最值问题转化为函数最值问题,要注意在动态问题中寻找静态的量,化动为静.

热点五空间向量方法的应用

【典例8】【xx天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：

MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

【答案】

（1）证明见解析

（2）（3）或

（Ⅰ）证明：

=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，

则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.

因为平面BDE，所以MN//平面BDE.

【对点训练】【xx北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求证：

M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析：

（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（III）由题意知，，.

设直线与平面所成角为，则

.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【考向预测】用空间向量解决的主要解决立体几何中平行、垂直、求角、求距离等.纵观近几年浙江卷，此类问题较少，侧重于应用几何法解题.

注意空间向量方法的应用：

1.用向量证明空间中的平行关系:

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2（或l1与l2重合）⇔v1∥v2.

（2）设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.

（3）设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

（4）设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2.

2.用向量证明空间中的垂直关系:

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0.

（2）设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u.

（3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0.

3.两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角;两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补;直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补.

（1）两条异面直线所成的角:

设异面直线a,b所成的角为θ,a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cosθ=|cosφ|=.

（2）直线和平面所成的角:

如图,sinφ=|cosθ|=.

（3）平面α与平面β所成的二面角为θ,两平面的法向量分别为m,n,则|cosθ|=.