中考数学一轮复习第22课平行四边形导学案.docx

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中考数学一轮复习第22课平行四边形导学案

第22课平行四边形

【考点梳理】：

1．正确理解定义

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．

（2）表示方法：

用“”表示平行四边形，例如：

平行四边形ABCD记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．

2．熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．

（1）角：

平行四边形的邻角互补，对角相等；

（2）边：

平行四边形两组对边分别平行且相等；

（3）对角线：

平行四边形的对角线互相平分；

（4）面积：

①

；

（5）平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．

3．平行四边形的判别方法

①定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②方法1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

③方法2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④方法3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤方法4：

一组平行且相等的四边形是平行四边形

【思想方法】

方程思想，分类讨论

【考点一】：

平行四边形的性质

【例题赏析】（2015•本溪，第8题3分）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（　　）

　A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm

考点：

平行四边形的性质．

分析：

根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．

解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BAE，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，

∵▱ABCD的周长为20cm，

∴x+x+2=10，

解得：

x=4，

即AB=4cm，

故选D．

点评：

本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．

【考点二】：

平行四边形的判定

【例题赏析】（2015•乌鲁木齐,第19题10分）如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．

（1）求证：

四边形BEDF是平行四边形；

（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2

，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．

分析：

（1）通过全等三角形△BEC≌△DFA的对应边相等推知BE=DF，则结合已知条件证得结论；

（2）根据矩形的性质计算即可．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAF=∠BCE．

又∵BE∥DF，

∴∠BEC=∠DFA．

在△BEC与△DFA中，

，

∴△BEC≌△DFA（AAS），

∴BE=DF．

又∵BE∥DF，

∴四边形BEDF为平行四边形；

（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图：

∵AB⊥AC，AB=4，BC=2

，

∴AC=6，

∴AO=3，

∴Rt△BAO中，BO=5，

∵四边形BEDF是矩形，

∴OE=OB=5，

∴点E在OA的延长线上，且AE=2．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

【考点三】：

三角形的中位线

【例题赏析】（2015•怀化，第17题8分）已知：

如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：

（1）△CDE≌△DBF；

（2）OA=OD．

考点：

全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

专题：

证明题．

分析：

（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；

（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．

解答：

证明：

（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，

∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．

∵DF∥CE，

∴∠C=∠BDF．

在△CDE和△DBF中

，

∴△CDE≌△DBF（SAS）；

（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，

∴DF=AE，DF∥AE，

∴四边形DEAF是平行四边形，

∵EF与AD交于O点，

∴AO=OD

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，

（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；

（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．

【考点四】：

平行四边形的探索题

【例题赏析】（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

（2）求证：

BE=CD，BE⊥CD．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.

专题：

证明题．

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

解答：

（1）解：

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AB=

BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，

∴BD=

=BC

=2BC，

∵G为BD的中点，

∴BG=BD=BC，

∴△CBG为等腰直角三角形，

∴∠CGB=45°，

∵∠ADB=45°，

AD∥CG，

∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠ACB=180°，

∴AC∥BD，

∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：

∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，

∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△DAC与△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE，

∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∴CE=AB=AD，

在△BCE与△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD，

∴∠CBE=∠ACD，

∵∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠CBE+∠BCD=90°，

∴∠CFB=90°，

即BE⊥CD．

点评：

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．

【真题专练】

1.（2015•营口，第4题3分）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）

　A．61°B．63°C．65°D．67°

2.（2015•四川成都,第14题4分）如图，在▱ABCD中，AB=

，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　　．

3．（2015•湖北,第17题3分）在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为　　．

4.（2015·江苏连云港，第22题10分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证；∠EDB=∠EBD；

（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．

5.（2015年四川省广元市中考，18,7分）求证：

平行四边形的对角线互相平分（要求：

根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．

6.（2015•通辽,第21题5分）如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．

7.（2015•山东泰安,第28题10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

8.（2015•四川遂宁第19题9分）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：

（1）AE=CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

9.（2015•桂林）（第21题）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：

四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：

△ABN≌△CDM．

10.（2015•四川凉山州第24题8分）阅读理解

材料一：

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：

梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．

如图

（1）：

在梯形ABCD中：

AD∥BC

∵E、F是AB、CD的中点

∴EF∥AD∥BC

EF=（AD+BC）

材料二：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

如图

（2）：

在△ABC中：

∵E是AB的中点，EF∥BC

∴F是AC的中点

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．

如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°

（1）求证：

EF=AC；

（2）若OD=3

，OC=5，求MN的长．

【真题演练参考答案】

1.（2015•营口，第4题3分）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）

　A．61°B．63°C．65°D．67°

考点：

平行四边形的性质．

分析：

由平行四边形的性质可知：

AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．

解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA=42°，

∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，

故选C．

点评：

本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．

2.（2015•四川成都,第14题4分）如图，在▱ABCD中，AB=

，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　3　．

考点：

翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．.

分析：

由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．

解答：

解：

∵翻折后点B恰好与点C重合，

∴AE⊥BC，BE=CE，

∵BC=AD=4，

∴BE=2，

∴AE=