猴子选大王问题.docx

猴子选大王问题.docx

《猴子选大王问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《猴子选大王问题.docx（3页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

猴子选大王问题

Preparedon22November2020

猴子选大王问题

这是17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲的一个故事：

15个教徒和15个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：

30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。

问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

　　*问题分析与算法设计　　约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。

这里给出一种实现方法。

　　题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。

可以使用结构数组来构成一个循环链。

结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。

从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。

这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

[编辑本段]约瑟夫问题的一般形式：

　　约瑟夫问题是个有名的问题：

N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。

例如N=6，M=5，被杀掉的人的序号为5，4，6，2，3。

最后剩下1号。

　　假定在圈子里前K个为好人，后K个为坏人，你的任务是确定这样的最少M，使得所有的坏人在第一个好人之前被杀掉。

　　C++代码示例:

　　#include　　usingnamespacestd;　　voidmain（）　　{　　intn,m,a[101],k,i,j,num;.n-2,n-1,0,1,2,...k-2　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

　　k-->0　　k+1-->1　　k+2-->2　　...　　...　　k-2-->n-2　　k-1-->n-1　　变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：

例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗！

！

变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

x'=（x+k）modn　　如何知道（n-1）个人报数的问题的解对，只要知道（n-2）个人的解就行了。

（n-2）个人的解呢当然是先求（n-3）的情况----这显然就是一个倒推问题！

好了，思路出来了，下面写递推公式：

　　令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]　　递推公式　　f[1]=0;　　f=（f+m）modi;（i>1）　　有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。

因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1　　由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

　　c++　　#include<>　　intmain（）　　{　　intn,m,i,s=0;　　printf（"NM="）;scanf（"%d%d",&n,&m）;　　for（i=2;i<=n;i++）s=（s+m）%i;　　printf（"Thewinneris%d\n",s+1）;　　}　　pascal　　varn,m,i,s:

integer;　　begin　　write（'NM='）;　　read（n,m）;　　fori:

=2tondo　　s:

=（s+m）modi;　　writeln（'Thewinneris',s+1）;　　end.　　这个算法的时间复杂度为O（n），相对于模拟算法已经有了很大的提高。

算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。

可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

　　约瑟夫问题10e100版（fromvijios）　　描述Description　　n个人排成一圈。

从某个人开始，按顺时针方向依次编号。

从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数，报到2的人退出圈子。

这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。

由于人的个数是有限的，因此最终会剩下一个人。

试问最后剩下的人最开始的编号。

　　输入格式InputFormat　　一个正整数n，表示人的个数。

输入数据保证数字n不超过100位。

　　输出格式OutputFormat　　一个正整数。

它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。

　　样例输入SampleInput　　9　　样例输出SampleOutput　　3　　时间限制TimeLimitation　　各个测试点1s　　注释Hint　　样例说明　　当n=9时，退出圈子的人的编号依次为：

　　24681597　　最后剩下的人编号为3　　初见这道题，可能会想到模拟。

可是数据实在太大啦！

！

　　我们先拿手来算，可知n分别为1，2，3，4，5，6，7，8...时的结果是1，1，3，1，3，5，7，1...　　有如下规律：

从1到下一个1为一组，每一组中都是从1开始递增的奇数，且每组元素的个数分别为1，2，4...　　这样就好弄了！

！

　　大体思路如下：

　　①read（a）　　②b:

=1,c:

=1{b为某一组的元素个数，c为现在所加到的数}　　③whilec

=b*2,c:

=b+c）{超过目标时停止加数}　　⑥c:

=c-b{退到前一组}　　⑦x:

=a-c{算出目标为所在组的第几个元素}　　⑧ans:

=x*2-1{求出该元素}　　⑨write（ans）　　有了思路，再加上高精度就可以了。

我写的代码比较猥琐，因为是先把上面的思路敲进去，再写过程，又把一些简单的过程合到主程序中了，所以有点乱，也有点猥琐。

起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~　　vara,b,c:

array[1..105]ofinteger;　　la,lb,lc,i:

integer;　　s:

string;　　procedureincc;　　vari:

integer;　　begin　　fori:

=1to105doc:

=c+b;　　fori:

=1to104doifc>9then　　begin　　c:

=c+cdiv10;　　c:

=cmod10;　　end;　　end;　　functioncxiaoa:

boolean;　　vari:

integer;　　begin　　cxiaoa:

=false;　　fori:

=105downto1do　　ifc

=true;break;end　　elseifc>athenbreak;　　end;　　proceduredoubleb;　　vari:

integer;　　begin　　fori:

=1to105dob:

=b*2;　　fori:

=1to104doifb>9then　　begin　　b:

=b+bdiv10;　　b:

=bmod10;　　end;　　end;　　proceduredecc;　　vari,j:

integer;　　begin　　fori:

=1to104do　　ifc>=bthenc:

=c-belse　　begin　　j:

=i+1;　　whilec[j]=0doinc（j）;　　whilej>ido　　begin　　c[j]:

=c[j]-1;　　c[j-1]:

=c[j-1]+10;　　dec（j）;　　end;　　c:

=c-b;　　end;　　end;　　procedurefua;　　vari:

integer;　　begin　　fori:

=1to104do　　ifa>cthena:

=a-celse　　begin　　a:

=a-1;　　a:

=a+10;　　a:

=a-c;　　end;　　end;　　procedureoutit;　　vari,j:

integer;　　begin　　fori:

=1to105doa:

=a*2;　　fori:

=1to104doifa>9then　　begin　　a:

=a+adiv10;　　a:

=amod10;　　end;　　ifa[1]>0thena[1]:

=a[1]-1else　　begin　　j:

=2;　　whilea[j]=0doinc（j）;　　whilej>1do　　begin　　a[j]:

=a[j]-1;　　a[j-1]:

=a[j-1]+10;　　dec（j）;　　end;　　a[1]:

=a[1]-1;　　end;　　fori:

=105downto1doifa>0thenbeginj:

=i;break;end;　　fori:

=jdownto1dowrite（a）;　　end;　　begin　　readln（s）;　　la:

=length（s）;　　fori:

=ladownto1doa:

=ord（s[la+1-i]）-ord（'0'）;　　b[1]:

=1;　　c[1]:

=1;　　whilecxiaoado　　begin　　doubleb;　　incc;　　end;　　decc;　　fua;　　outit;　　end.[编辑本段]约瑟夫问题的另外一个有名的例子：

　　[编辑本段]猴子选大王　　一．问题描述：

　　一堆猴子都有编号，编号是1，2，3...m,这群猴子（m个）按照1-m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。

　　二．基本要求：

（1）输入数据：

输入m,nm,n为整数，n

（2）中文提示按照m个猴子，数n个数的方法，输出为大王的猴子是几号，建立一个函数来实现此功能　　C程序：

　　#include<>　　#include<>　　#defineLENsizeof（structmonkey）10000]ofinteger;　　n,s,i,j:

integer;　　begin　　read（m,n）;　　fori:

=1tomdoa[i]:

=1;　　j:

=0;　　fori:

=1tomdo　　begin　　s:

=0;　　whiles

=1;　　s:

=s+a[j];　　end;　　write（j）;　　a[j]:

=0;　　end;　　end.　　#include<>　　intmain（）　　{　　intn,m,i,s=0;　　printf（"NM="）;scanf（"%d%d",&n,&m）;　　for（i=2;i<=n;i++）s=（s+m）%i;　　printf（"Thewinneris%d\n",s+1）;　　return0;　　}　　约瑟夫数学算法　　#include<>　　#include<>　　intmain（void）　　{　　intn,i=0,m,p;　　scanf（"%d%d",&n,&m）;.,a（n-1）,an　　从a1开始报数，一圈之后，剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a（n-nmod3-1）,a（n-nmod3+1）,..,an　　于是可得：

　　1、这一轮中最后一个死的是a（n-nmod3）,下一轮第一个报数的是a（n-nmod3+1）　　2、若3|n,则最后死的人为新一轮的第F（n-[n/3]）个人　　若nmod3≠0且f（n-[n/3]）<=nmod3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F（n-[n/3]）-（nmod3）人　　若nmod3≠0且f（n-[n/3]）>nmod3则最后死的人为新一轮的第F（n-[n/3]）-（nmod3）人　　3、新一轮第k个人对应原来的第3*[（k-1）/2]+（k-1）mod2+1个人　　综合1，2，3可得：

　　F

（1）=1,F

（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，　　当f（n-[n/3]）<=nmod3时k=n-[n/3]+F（n-[n/3]）-（nmod3）,F（n）=3*[（k-1）/2]+（k-1）mod2+1　　当f（n-[n/3]）>nmod3时k=F（n-[n/3]）-（nmod3），F（n）=3*[（k-1）/2]+（k-1）mod2+1　　这种算法需要计算[log（3/2）2009]次这个数不大于22，可以用笔算了　　于是：

　　第一圈，将杀死669个人，这一圈最后一个被杀死的人是2007，还剩下1340个人，　　第二圈，杀死446人，还剩下894人　　第三圈，杀死298人，还剩下596人　　第四圈，杀死198人，还剩下398人　　第五圈，杀死132人，还剩下266人　　第六圈，杀死88人，还剩下178人　　第七圈，杀死59人，还剩下119人　　第八圈，杀死39人，还剩下80人　　第九圈，杀死26人，还剩下54人　　第十圈，杀死18人，还剩36人　　十一圈，杀死12人，还剩24人　　十二圈，杀死8人，还剩16人　　十三圈，杀死5人，还剩11人　　十四圈，杀死3人，还剩8人　　十五圈，杀死2人，还剩6人　　F

（1）=1,F

（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，　　然后逆推回去　　F（8）=7F（11）=7F（16）=8f（24）=11f（36）=16f（54）=23f（80）=31f（119）=43f（178）=62f（266）=89f（398）=130　　F（596）=191F（894）=286F（1340）=425F（2009）=634