最新高中数学经典例题优秀名师资料.docx
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最新高中数学经典例题优秀名师资料
高中数学经典例题
高中数学经典例题讲解
高中数学经典例题讲解
典型例题一
例1下列图形中，满足唯一性的是（）（
A（过直线外一点作与该直线垂直的直线
B（过直线外一点与该直线平行的平面
C（过平面外一点与平面平行的直线
D（过一点作已知平面的垂线
分析:
本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键（要注意空间垂直并非一定相关（
解:
A（过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条（事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面（
B（过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行（
C（过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面（所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条（
AAD（过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条（假设空间点、平面，过点有两条,
ACACACABABAB直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为,
lAB,lAC,lAClAB，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，,,,,
lA这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线,
与已知直线垂直相矛盾（
故选D（
说明:
有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明（在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个（它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到（
典型例题二
例2已知下列命题:
（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;
（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;
（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直;
（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直（
上述命题正确的是（）（
A（
（1）、
（2）B（
（2）、（3）C（（3）、（4）D（
（2）、（4）
分析:
本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用（应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形（
解:
（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系;
-1-
高中数学经典例题讲解
（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它
们之间也平行;
（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线
垂直;
（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性（故选D（
说明:
（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直（如
E、FGBC在正方体中，分别为棱和上的点，为棱上的点，且ABCD,ABCDAABB111111
，，求（EF,BBFC,EG，DFG111
典型例题三
OABCDE例3如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的ABCD,ABCDBB11111
OE,中心，求证:
平面（ACD1
OE,分析:
本题考查的是线面垂直的判定方法（根据线面垂直的判定方法，要证明平面
OE，只要在平面内找两条相交直线与垂直（ACDACD11
BD证明:
连结、、，在?
中，BDADBBD111
E、ODB?
分别是和的中点，BB1
?
（EO//BD1
?
面，BA,AADD1111
?
为在面内的射影（DADBAADD1111
又?
，AD,AD11
?
AD,DB（11
同理可证，BD,DC（11
AD:
CD,DADDC,ACD又?
，、面，111111
BD,ACD?
平面（11
BD//EO?
，1
EO,ACD?
平面（1
-2-
高中数学经典例题讲解
AE、CEAE,CE另证:
连结，，设正方体的棱长为，易证（DODBa11
AO,OC又?
，
OE,AC?
（
在正方体中易求出:
DB1
2,,26222,,，DO,DD，DO,a，a,a11,,22,,
22,,a23,,22,,，OE,BE，OB,，a,a,,,,222,,,,
22a3,,22，，DE,DB，BE,2a，,a（,,111122,,
222?
，DO，OE,DE11
?
（DO,OE1
AC,?
，、平面，DO:
AC,ODOACD111
OE,?
平面（ACD1
说明:
要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法（在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用（
典型例题四
ABCSA,ABCSBSCA，B,90例4如图，在?
中，，平面，点在和上的射影分
M、NMN,SC别为，求证:
（
分析:
本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思
SC,MNSC,AMNSC,ANAN,想（欲证，可证面，为此须证，进而可转化为证明平SBCAN,SBAN,BC面，而已知，所以只要证即可（由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂
直（
SA,ABCBC,ABC证明:
?
面，平面，
SA,BC?
（
BA:
SA,AAB,BC，B,90?
，即，，
BC,SAB?
平面（
-3-
高中数学经典例题讲解
AN,SAB?
平面（
BC,AN?
（
SB:
BC,BAN,SB又?
，，
AN,SBC?
平面（
SC,SBC?
平面，
AN,SC?
，
AM:
AN,AAM,SC又?
，，
SC,AMN?
平面（
MN,AMN?
平面（
SC,MN?
（
AN,SBC另证:
由上面可证平面（
MNSBC?
为在平面内的射影（AM
AM,SC?
，
MN,SC?
（
说明:
在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证
明线面垂直又转化为证明线线垂直（立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现
SA,OOCO的（本题若改为下题，想想如何证:
已知AB?
所在平面，为?
的直径，为?
CA、BSBSBSCM、NA上任意一点（与不重合）（过点作的垂面交、于点，求证:
AN,SC（
典型例题五
BCABBAHH例5如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内,,,
，ABH,,，HBC,,的直线，，，，求证:
（，ABC,,cos,,cos,,cos,分析:
本题考查的是线面角的定义和计算（要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理（
BCHHDDAD证明:
过点作垂直于点，连（
AH,,?
，
ADHD?
在平面,内射影为（
BC,HDBC,,?
，，
BC,AD?
（
BHRt,ABHcos,在?
中有:
?
BA
BDRt,BHDcos,在?
中有:
?
BH
BDRtABDcos,,在?
中有:
?
BA
cos,,cos,,cos,由?
、?
、?
可得:
（
-4-
高中数学经典例题讲解
说明:
由此题结论易知:
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的
一切角中最小的角（若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的,
，，范围为（，,,,2，，
典型例题六
ABCDCG,ABCDCG,2E、F例6如图，已知正方形边长为4，平面，，分别是AB、ADGEFB中点，求点到平面的距离（
分析:
此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力（本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化
GEFB为求另一点到该平面的距离（为此要寻找过点与平面平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等（
BD、ACAC证明:
连结EFBD，和分别交于
H、OGHOK,GHK，连，作于（
ABCDE、FAB、AD为正方形，分别为的中?
点，
EF//BDAOH?
，为中点（
BD//EFBD,GFE?
，平面，
BD//GFE?
平面（
GFEOEFGBD?
与平面的距离就是点到平面的距离（
BD,ACEF,AC?
，?
（
GC,ABCDGC,EF?
面，?
（
GC:
AC,C?
，
GCHEF,?
平面（
OK,GCH?
平面，
EF,OK?
（
GH:
EF,HOK,GH又?
，，
OK,GEF?
平面（
OKGEFB即长就是点到平面的距离（
CG,2?
正方形边长为4，，
AC,42HO,2HC,32?
，，（
22RtHCGHG,HC，CG,22在?
中，（
HO,GC211RtGCHOK,,在?
中，（HG11
说明:
求点到平面的距离常用三种方法:
一是直接法（由该点向平面引垂线，直接计算
CBFE垂线段的长（用此法的关键在于准确找到垂足位置（如本题可用下列证法:
延长交的
-5-
高中数学经典例题讲解
GMBN//CGMGNPN延长线于，连结，作于，作交于，连结，再作PMBP,ME
BH,PNGFEEFG于，可得平面，长即为点到平面的距离（二是转移BHBH,BH
法（将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离（三是体积法（已知棱锥的体积和底面的面积（求顶点到底面的距离，可逆用体积公式（
典型例题七
ABCSSA,SB,SC例7如图所示，直角所在平面外一点，且（
SACSDABC
（1）求证:
点与斜边中点的连线,面;D
BA,BCSAC
（2）若直角边，求证:
面（BD
分析:
由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直（
SACACSD,ACD证明:
（1）在等腰中，为中点，?
（
SEABEDE取中点，连、（
ED//BCBC,ABDE,AB?
，，?
（
SE,ABSEDAB,SDAB,又，?
面，?
（
SDABCACABC,AB?
面（、是面内两相交直线）（
BA,BCBD,AC
（2）?
，?
（
SDABCSD,BD,又?
面，?
（
SD:
AC,DSACBD,?
，?
面（
说明:
证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直（寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等（
典型例题八
例8如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（
a//ba,,b,,已知:
，（求证:
（
b,分析:
由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与垂直即可（
mn证明:
如图所示，在平面内作两条相交直线、（
a,,a,ma,n?
，?
，（
-6-
高中数学经典例题讲解
b//ab,mb,n又?
，从而有，（
由作图知、为内两条相交直线（mn,
b,,?
（
说明:
本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不
明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直（
典型例题九
:
AB,,例9如图所示，已知平面平面=EF，A为、外一点，于B，,,,,
CCD,,于，于（证明:
（DBD,EFAC,,
CABCDABD,BD,EFEF分析:
先证、、、四点共面，再证明平面，从而得到（
AB,,CD,,AB//CD，，?
（证明:
?
CABD?
、、、四点共面（
AB,,AC,EFAB,EF?
，，，?
，（AC,,,:
,EF
AB:
AC,AABCDEF,又，?
平面（
EF,BD?
（
说明:
与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结
CAB论（即要证线面垂直，先找线线垂直;要证线线垂直，先找线面垂直（本题证明“、、、
ABCDEF,EF,BD四点共面”非常重要，仅由平面，就断定，则证明是无效的（
典型例题十
SAABA,M例10平面,内有一半圆，直径，过作平面,，在半圆上任取一点，连
SMSBNSMSBHA、，且、分别是在、上的射影（
NH,SB
（1）求证:
;
（2）这个图形中有多少个线面垂直关系,
（3）这个图形中有多少个直角三角形,
（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线,
分析:
注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断（
-7-
高中数学经典例题讲解
（1）证明:
连、（如上图所示，AMBM
?
为已知圆的直径，?
（ABAM,BM
SABM,,SA,MB?
平面，，?
（,,
AM:
SA,ASAM?
，?
平面（,BM
ANSAMBM,AN?
平面，?
（,
BM:
SM,MAN,SMNANSMB?
于，，?
平面（,
AH,SBNHSMBNH,SB?
于，且是在平面的射影，?
（HAH
SASAMANSMB解
（2）:
由
（1）知，平面，平面，平面（,,,AMBBM
SB,AHSB,HNSBANH?
且，?
平面，,
?
图中共有4个线面垂直关系（
SA,SAB,SAM（3）?
平面，?
、均为直角三角形（AMB
SAM,BMS?
平面，?
、均为直角三角形（BM,BAM
ANSMB,ANS,ANM,ANH?
平面，?
、、均为直角三角形（SBANH,SHA,SHN,BHN,?
平面，?
、,BHA、、均为直角三角形（综上，图中共有11个直角三角形（
SASA,AMSA,ABSA,BM,（4）由平面AMB知，，，（
SAMBM,SMBM,AN,由BMBM,AM平面知，，，（ANSMBAN,SMAN,SBAN,NH,由平面知，，，（SBANHSB,AHSB,HN,由平面知，，（
综上，图中共有11对互相垂直的直线（
,面”可得到“线说明:
为了保证
（2）（3）（4）答案不出错，首先应找准
（2）的答案，由“线
,面内线”，当“线面内线”且相交时，可得到直角三角形;当“线面内线”且不相交时，
可得到异面且垂直的一对直线（
典型例题十一
，BAC,90:
PA例11如图所示，（在平面内，是的斜线，,,
，PAB,，PAC,60:
PA（求与平面所成的角（,
AOPAPA分析:
求,,与平面所成角，关键是确定在平面上射影的位置（由
，PAB,，PACAO，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定位置，构造直角
三角形则需用三垂线定理（
PO,,OAOP解:
如图所示，过作于（连结，
AO，PAOAPPA,,则为在面上的射影，为与平面所成的角（OM,ACPM,AC作，由三重线定理可得（
ON,ABPN,AB作，同理可得（
，PAB,，PAC，PMA,，PNA,90:
PA,PA由，，，
PNAPM,PN,PMA可得?
，?
（
OMONPNOM,ONPM,?
、分别为、在内射影，?
（
-8-
高中数学经典例题讲解
O，BAC所以点在的平分线上（
1PA,a，PAM,60:
，OAM,45:
设，又，?
，，AM,a2
2?
（AO,2AM,a2
AO2,POA在中，，cos，PAO,,PA2
，PAO,45:
45:
?
，即与所成角为（PA,
说明:
，BAC
（1）本题在得出在面上的射影为的平分线后，可由公式PA,cos,,cos,,cos,
，PAC,,,60:
，PAO,,PA来计算与平面所成的角，此时，，（,，CAO,,,45:
，BACP,ABCPA
（2）由与平面上射影为平分线还可推出下面结论:
四面体中，若,
，PAB,，PAC，PBA,，PBCABC,ABCA，，则点在面上的射影为的内心（
典型例题十二
ABCSSA,ACSB,BC内有，在平面外有点，斜线，，例12如图所示，在平面,,SASBS4cmAC,BC且斜线、分别与平面所成的角相等，设点与平面的距离为，，,,AB,6cmSAB且（求点与直线的距离（
SDA,ACDDBDA分析:
由点向平面引垂线，考查垂足的位置，连、，推得，,
DB,BC，ACB,90:
CABD，又，故、、、为矩形的四个顶点（
SD,DDADB解:
作平面，垂足为，连、（,
SA,ACDB,BC?
，，
DA,ACDB,BC?
由三垂线定理的逆定理，有:
，，AC,BCACBD又，?
为矩形（
SA,SBACBDDA,DB又?
，?
，?
为正方形，
CDAB?
、互相垂直平分（
OCDSOAB设为、的交点，连结，
SO,ABSOSAB根据三垂线定理，有，则为到的距离（
-9-
高中数学经典例题讲解
1Rt,SODSD,4cm在中，，，DO,AB,3cm2
SO,5cm?
（
S5cm因此，点到的距离为（AB
说明:
由本例可得到点到直线距离的作法:
（1）若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求（
（2）若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定:
由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离（
（3）处理距离问题的基本步骤是:
作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算（
典型例题十三
ABCDSAABCDSCSBA例13如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、SCSDGAE,SBAG,SDE、分别于点、F、，求证:
，（
分析:
本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思
AE,SBSBCAE,想（由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可（欲证，可证平面，
AE,BCAE,SCBC,SABSC,AEFG为此须证、，进而转化证明平面、平面（
SAABCDBC,ABCD,证明:
?
平面，平面，
SA,BC?
（
ABCD又?
为正方形，
BC,AB?
（
BC,ASB?
平面（
ASBAE,?
平面，
BC,AE?
（
SC,AEFG又?
平面，
SC,AE?
（
SBCAE,?
平面（
SB,SBC又?
平面，
AE,SBAG,SD?
，同理可证（
说明:
（1）证明线线垂直，常用的方法有:
同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直（
（2）本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性（
典型例题十四
例14如图，求证:
如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平
-10-
高中数学经典例题讲解
面内的射影在这个角的平分线上（
，BACP,,PF,ACPO,,已知:
在平面内，点，，，，垂足分别是PE,AB,
O，BAO,，CAO、、，（求证:
（EFPE,PF
PO,,证明:
?
，
OE?
为在内的射影（PE,
AB,平面,?
，，AB,PE
AB,OE?
（
AC,OF同理可证:
（
PO,,OE,OF又?
，PE,PF，，
，BAO,，CAO?
（
说明:
本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题:
从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线（由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题:
已知，ACB,90:
SACB，SCA,，SCB,60:
SCACB，为平面外一点，，求与平面所成角（
典型例题十五
例15判断题:
正确的在括号内打“?
”号，不正确的打“×”号（
（1）一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行（（）
（2）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直（（）
（3）垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边（（）
AA（4）过点垂直于直线的所有直线都在过点垂直于的平面内（（）a,
（5）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面（（）
解:
（1）直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种?
平行?
异面，因此应打“×”号
（2）该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系（?
若为平行，则该命题应打“×”号;若为相交，则该命题应打“?
”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号（
（3）垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，?
该命题应打“?
”（
（4）前面介绍了两个命题，?
过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，?
过一点有且只
Aa有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知:
过点垂直于直线的平面惟一，因此，
AAaa过点且与直线垂直的直线都在过点且与直线垂直的平面内，?
该命题应打“?
”号（
bbOacac（5）三条共点直线两两垂直，设为，，且，，共点于，
b:
c,0a,ba,cba,,c,?
，，，且，确定一平面，设为，则，
bacc同理可知垂直于由，确定的平面，垂直于由了确定的平面，
-11-
高中数学经典例题讲解
?
该命题应打“?
”号（
说明:
本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题（解答此类问题必须作到:
概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用（
典型例题十六
ABCDBC,ACBE,CD例16如图，已知空间四边形的边，，引，为AD,BDE
AH,平面BCD垂足，作AH,BE于H，求证:
（
AH,平面BCDAH分析:
若证，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证垂直平面BCD中两条相交直线即可（
CFABFDF证明:
取中点，连、，
AC,BCCF,AB?
，?
（
AB,平面CDFAD,BDDF,AB又?
，?
，?
，
CD,ABCD,平面CDF又，?
CD,BECD,AHCD,平面ABE又，?
，，
AH,平面BCDAH,BE又，?
（
典型例题十七
ba//,例17如果平面,,a与外一条直线都垂直，那么（
b,,a//,a,直线b已知:
直线，，（求证:
（a,,
''aa//a,分析:
若证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线，使得，由线面平行判定定理得证（
'bbaa证明:
（1）如图，若,与相交，则由、确定平面，设（,:
,a
-12-
高中数学经典例题讲解
',b,aa//a,,?
b,,,,'',b,a,又a,,,a//,（,,,'a,,,,,'a,,a,b,a,,,,
b
（2）如图，若与不相交，a
'''则在AA上任取一点，过作，、确定平面，设（b//bbaa,,:
,a
'',,,b,,?
b//b,''',,,b,aa//a,,,',b,,,又a,,,,,'（,又a,,,a//,,,'',?
b//bb,a,,a,,,,,,''b,a又b,a,a,,,,
典型例题十八
ABC，BAC,60:
AD,平面ABC例18如图，已知在中，，线段，
AH,平面DBCH，为垂足（
DBCH求证:
不可能是的垂心（
分析:
根据本题所证结论，可采用反证法予以证明（
DBCBH,DCH证明:
如图所示，假设是的垂心，则（
DC,AHAH,平面DBC?
，?
，
-13
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