人教版初二数学上册《第十三章轴对称》单元测试题含答案.docx

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人教版初二数学上册《第十三章轴对称》单元测试题含答案

2019年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷

数学试卷

考试时间：

120分钟；满分：

150分

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

题号

一

二

三

总分

得分

评卷人

得分

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（　　）

A．50°B．70°C．75°D．80°

2．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（　　）

A．△AA′P是等腰三角形

B．MN垂直平分AA′，CC′

C．△ABC与△A′B′C′面积相等

D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上

3．（4分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（　　）

ABCD

4．（4分）小狗皮皮看到镜子里的自己，觉得很奇怪，此时他所看到的全身像是（　　）

ABCD

5．（4分）如图，点A的坐标（﹣1，2），则点A关于y轴的对称点的坐标为（　　）

A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）

6．（4分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于直线x=1的对称点P'的坐标是（　　）

A．（2，1）B．（4，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣3）

7．（4分）如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．（4分）如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（　　）

A．50°B．60°C．65°D．70°

9．（4分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=2，ON=4，点P是边OB上的点，则能使点P，M，N构成等腰三角形的点P的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．（4分）如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点，且OD∥BC，交AB于点D，OF∥AB，交AC于点F，OE∥AC，交BC于点E，则OD+OE+OF的值为（　　）

A．3B．6C．8D．9

评卷人

得分

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．（5分）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于　　．

12．（5分）已知：

在△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH=CH，∠ABH=70°，则∠BAC=　　°．

13．（5分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　　．

14．（5分）如图，把面积为1的正三角形ABC的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形DEF；对新三角形重复上述过程，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是　　．

评卷人

得分

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．（8分）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．

16．（8分）证明定理．与一条线段两个端点距高相等的点，在这条线及的垂直平分线上．

已知：

如图，A为线段BC外任意一点，且AB=AC．

求证：

点A在BC的垂直平分线上．

17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，请你按要求在该坐标系中在图中作出：

（1）把△ABC向右平移4个单位长度得到的△A1B1C1；

（2）再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2．

18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A（2，3），B（2，﹣1）．

（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．

（2）怎样表示线段CD上任意一点P的坐标？

19．（10分）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF．（每个3×3正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）

20．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P从原点O以每秒1个单位速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，作点P关于直线y=tx的对称点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点A．

（1）当t=2时，求AO的长．

（2）当t=3时，求AQ的长．

（3）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示线段AP的长．

21．（12分）已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE．

求证：

AE=BE．

22．（12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．

求证：

AE=DE．

23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．

（1）求证：

△ADE≌△CDB；

（2）若BC=

，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．

2019年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∴∠DAC=∠C=25°，

∵∠B=60°，∠C=25°，

∴∠BAC=95°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°，

故选：

B．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

2．

【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．

【解答】解：

∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，

∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；

直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；

故选：

D．

【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

3．

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：

A、是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项正确；

D、是轴对称图形，故此选项错误；

故选：

C．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

4．

【分析】直接利用镜面对称的特点分析得出答案．

【解答】解：

根据图中所示，镜面对称后，应该为第一个图象．

故选：

A．

【点评】此题考查了镜面反射对称的特点，注意与实际生活结合．

5．

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．

【解答】解：

点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：

（1，2）．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

6．

【分析】先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．

【解答】解：

∵点P（﹣2，1），

∴点P到直线x=1的距离为1﹣（﹣2）=3，

∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3，

∴点P′的横坐标为3+1=4，

∴对称点P′的坐标为（4，1）．

故选：

B．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线x=1的距离，从而得到横坐标是解题的关键．

7．

【分析】根据轴对称图形的性质得出符合题意的答案．

【解答】解：

如下图所示：

符合题意的有3个三角形．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．

8．

【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠1=∠ACD=65°，

∵AD=CD，

∴∠DCA=∠CAD=65°，

∴∠2的度数是：

180°﹣65°﹣65°=50°．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出∠CAD的度数是解题关键．

9．

【分析】根据题意，画出相应的图形，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．

【解答】解：

如右图1所示，当点P在线段MN的垂直平分线上时，PM=PN，此时点P，M，N构成等腰三角形；

如右图2所示，当MN=MP时，此时点P，M，N构成等腰三角形；

∵∠AOB=45°，OM=2，ON=4，

∴点N到OB的距离是4×sin45°=2

＞2，

∴不存在NM=NP的情况，

故选B．

【点评】本题考查等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10．

【分析】根据等边三角形，平行线的性质，和平行四边形的判定，并根据等腰梯形性质求解．

【解答】解：

延长OD交AC于点G，

∵OE∥CG，OG∥CE，

∴四边形OGCE是平行四边形，有OE=CG，∠OGF=∠C=60°，

∵OF∥AB，

∴∠OFG=∠A=60°，

∴OF=OG，

∴△OGF是等边三角形，

∴OF=FG，

∵OD∥BC，

∴∠ADO=∠B=60°

∴梯形OFAD是等腰梯形，有OD=AF，即OD+OE+OF=AF+FG+CG=AC=9．

故选：

D．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，关键是利用了：

1、等腰三角形的性质和判定：

三边相等，三角均为60度，有两角相等且为60度的三角形是等边三角形；

2、平行四边形的判定的性质；

3、等腰梯形的判定和性质．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．

【分析】利用∠2+∠3=90°，进而求出∠2的度数，再利用∠1=∠2即可得出答案．

【解答】解：

∵由题意可得：

∠2+∠3=90°，∠3=30°，

∴∠2=60°，

∵∠1=∠2，

∴∠1=60°．

故答案为：

60°．

【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出∠2的度数是解题关键．

12．

【分析】当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB=∠ABH=70°、BH=DH，结合AB+BH=CH、CH=CD+DH可得出CD=AB=AD，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC的度数；当∠ABC为钝角时，由AB+BH=CH可得出AB=BC，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数．综上即可得出结论．

【解答】解：

当∠ABC为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，如图1所示．

∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABH=70°，BH=DH．

∵AB+BH=CH，CH=CD+DH，

∴CD=AB=AD，

∴∠C=

∠ADB=35°，

∴∠BAC=180°﹣∠ABH﹣∠C=75°．

当∠ABC为钝角时，如图2所示．

∵AB+BH=CH，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB=

∠ABH=35°．

故答案为：

75°或35°．

【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分∠ABC为锐角及∠ABC为钝角两种情况考虑是解题的关键．

13．

【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．

【解答】解：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC．

又点D是边BC的中点，

∴∠BAD=

∠BAC=30°．

故答案是：

30°．

【点评】考查了等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

14．

【分析】连接CD、AE、BF，利用同底等高的三角形面积相等，可得S△ABC=S△BDC=S△CDE=

，同理：

S△ABC=S△ACE=S△AEF=a、S△ABC=S△ABF=S△BDF=

，再利用S△DEF等于7个三角形面积之和，即可求得第一次操作后所得正三角形面积，同理即可得经过2017次操作后，所得正三角形的面积

【解答】解如图，连接AE，BF，CD

∵等边三角形ABC的边长为1

∴S△ABC=

∵AB=BD，

∴S△ABC=S△BDC，

又∵BC=CE，

∴S△BCD=S△CDE，

∴S△ABC=S△BDC=S△CDE=

，

同理：

S△ABC=S△ACE=S△AEF=

，

S△ABC=S△ABF=S△BDF=

，

∴第一次操作后，S△DEF=7×

，

∴同理，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是72017×

，

【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积、同底等高的三角形面积相等．关键是作辅助线，构造同底等高的三角形．

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．

【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：

连接BD，

∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，

∴AD=BD，

∴∠DBA=∠A，

∵∠A=66°，

∴∠DBA=66°，

∵∠ABC=90°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=24°

∵AD=BC，

∴BD=BC，

∴∠C=∠BDC，

∴∠C=

=24°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

16．

【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的三线合一证明．

【解答】证明：

作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴直线AD是线段BC的垂直平分线，

∴点A在BC的垂直平分线上．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．

17．

【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．

【解答】解：

（1）如图所示：

△A1B1C1即为所求：

（2）如图所示：

△A2B2C2即为所求：

【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．

18．

【分析】

（1）据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点C、D的位置，然后连接CD即可；

（2）线段CD上所有点的横坐标都是﹣2；

【解答】解：

（1）如图线段CD；

（2）P（﹣2，y）（﹣1≤y≤3）．

【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．关于y轴的对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．

19．

【分析】根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可．

【解答】解：

如图，△DEF即为所求．（答案不唯一）

【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．解题时注意：

若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种．

20．

【分析】

（1）作辅助线，构建点D，根据正比例函数y=2x，可得D的坐标（2，4），证明△OPD∽△QAP，得AQ与AP的关系，设AO=a，最后利用勾股定理列方程可得结论；

（2）（3）同理可得AQ和AP的长．

【解答】解：

过P作PD⊥x轴，交直线y=tx于D，连接OQ，

（1）当t=2时，y=PD=2x=4，

∵∠BDP+∠DPB=∠DPB+∠APQ=90°，

∴∠BDP=∠APQ，

∴△OPD∽△QAP，

∴

，

∴AP=2AQ，

设AQ=a，

Rt△AQO中，OQ=OP=2，

由勾股定理得：

OQ2=AQ2+AO2，

∴

，

5a2+4a﹣12=0，

a1=﹣2（舍），a2=

，

∴AO=

；（4分）

②当t=3时，OP=3，PD=9，

设AQ=a，

Rt△AQO中，OQ=OP=3，

由勾股定理得：

OQ2=AQ2+AO2，

，

5a2+3a﹣36=0，

（a+3）（5a﹣12）=0，

a1=﹣3（舍），a2=

，

∴AQ=

AP=

（

+3）=

；（4分）

（3）同理OP=t，PD=t2，

∴△OPD∽△QAP，

∴

，

∴AP=tAQ，

Rt△AQO中，OQ=OP=t，

由勾股定理得：

OQ2=AQ2+AO2，

∴

，

AP=

．（2分）

【点评】本题考查点成轴对称问题，考查了正比例函数图象上点的关系、三角形相似的性质和判定、轴对称的性质等知识，解题的关键是求得点D的坐标，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．

21．

【分析】由∠C=90°结合三角形内角和定理可得出∠CAB+∠B=90°，由∠CAB=∠BDE可得出∠BDE+∠B=90°，进而可得出∠DEB=90°，由∠DAB=∠B可得出DA=DB，再利用等腰三角形的三线合一可证出AE=BE．

【解答】证明：

∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠B=90°．

∵∠CAB=∠BDE，

∴∠BDE+∠B=90°，

∴∠DEB=90°．

∵∠DAB=∠B，

∴DA=DB，

∴AE=BE．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，牢记等腰三角形的三线合一解题的关键．

22．

【分析】先利用角平分线得到∠BAD=∠EAD，再有DE∥AB，得到∠BAD=∠ADE，利用等量代换得到∠EAD=∠ADE，根据“等角对等边”即可得到AE=DE．

【解答】解：

∵AD平分∠BAC交BC于点D，

∴∠BAD=∠EAD，

∵DE∥AB，

∴∠BAD=∠ADE，

∴∠EAD=∠ADE，

∴AE=DE．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟记“等角对等边”．

23．

【分析】

（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；

（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．

【解答】

（1）证明：

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，

∴BC=EA，∠ABC=60°．

∵△DEB为等边三角形，

∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，

∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，

∴∠DEA=∠DBC

∴△ADE≌△CDB．

（2）解：

如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．

则点H即为符合条件的点．

由作图可知：

EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．

∴∠EAE'=60°，

∴△EAE'为等边三角形，

∴

，

∴∠AE'B=90°，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

，

∴

，

，

∴

，

∴BH+EH的最小值为3．

【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．