概率论与数理统计习题答案修订版复旦大学第一二章课后习题答案.docx
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概率论与数理统计习题答案修订版复旦大学第一二章课后习题答案
概率论与数理统计习题及答案
习题一
1．略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1）A发生，B，C都不发生；
（2）A与B发生，C不发生；
（3）A，B，C都发生；
（4）A，B，C至少有一个发生；
（5）A，B，C都不发生；
（6）A，B，C不都发生；
（7）A，B，C至多有2个发生；
（8）A，B，C至少有2个发生.
【解】
（1）ABC
（2）ABC（3）ABC
（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC（5）ABC=ABC（6）ABC（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C
（8）AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
3.略.见教材习题参考答案
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P（AB）=0.3，求P（AB）.
【解】P（AB）=1P（AB）=1[P（A）P（AB）]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？
【解】
（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）P（AB）P（BC）P（AC）+P（ABC）=11113++=443124
23.设P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AB）=0.5，求P（B｜A∪B）
【解】P（BAB）
P（AB）PA（）PAB（）P（AB）P（A）P（B）P（AB）0.70.510.70.60.54
111，，，求将此密码破译出53433.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为
的概率.
【解】设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则
P（Ai）1P（A1A2A3）1P（A1）P（A2）P（A3）i13
14230.6534
34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人
击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：
飞机被击落的概率.
【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
P（A）P（A|Bi）P（Bi）
i03
=（0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7）0.2+
（0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7）0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
习题二
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只
球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
【解】
X3,4,5
P（X3）
P（X4）10.1C353
0.3C3
5
C2
4P（X5）30.6C5
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，
以X表示取出的次品个数，求：
（1）X的分布律；
（2）X的分布函数并作图；（3）
133P{XP{1XP{1XP{1X2}.222
【解】
X0,1,2.
3C1322P（X0）3.C1535
2C112
2C13P（X1）3.C1535
C11P（X2）13.3C1535
（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P（X=0）=2235当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=1）=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1
故X的分布函数3435
x00,22,0x135F（x）34,1x2351,x2
（3）
1122P（X）F（）,2235
333434P（1X）F（）F
（1）02235353312P（1X）P（X1）P（1X）2235
341P（1X2）F
（2）F
（1）P（X2）10.3535
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
P（X0）（0.2）30.008
2
P（X1）C130.8（0.2）0.096
P（X2）C（0.8）0.20.384P（X3）（0.8）30.512
故X的分布律为
分布函数
2
3
2
x00,
0.008,0x1
F（x）0.104,1x2
0.488,2x3
x31,P（X2）P（X2）P（X3）0.896
4.
（1）设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a
k
k!
，
其中k=0，1，2，„，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2）设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N，k=1，2，„，N，
试确定常数a.【解】
（1）由分布律的性质知
1P（Xk）a
k0
k0
k
k!
ae
故ae
（2）由分布律的性质知
1P（Xk）
k1
k1
NN
a
aN
即a1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1）两人投中次数相等的概率;
（2）甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b（3,0.7）
（1）P（XY）P（X0,Y0）P（X1,Y1）P（X2,Y2）
P（X3,Y3）
212（0.4）3（0.3）3C1
30.6（0.4）C30.7（0.3）+
22C3（0.6）20.4C3（0.7）20.3（0.6）3（0.7）3
0.32076
（2）P（XY）P（X1,Y0）P（X2,Y0）P（X3,Y0）
P（X2,Y1）P（X3,Y1）P（X3,Y2）
23223C1
30.6（0.4）（0.3）C3（0.6）0.4（0.3）
22（0.6）3（0.3）3C3（0.6）20.4C10.7（0.3）3
2322（0.6）3C1
30.7（0.3）（0.6）C3（0.7）0.3
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,0.02），设机场需配备N条跑道，
则有
P（XN）0.01
即
利用泊松近似kN1C200k200（0.02）k（0.98）200k0.01
np2000.024.
e44k
P（XN）0.01k!
kN1
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
P（X2）1P（X0）P（X1）
1e0.10.1e0.1
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
4223C1
5p（1p）C5p（1p）
故p13
4所以P（X4）C5（）1
34210.3243
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】
（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
kP（X3）C5（0.3）k（0.7）5k0.16308
k35
（2）令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
kP（Y3）C7（0.3）k（0.7）7k0.35293
k37
10.某公安局在长度为t的时间间隔
（2）P（X1）1P（X0）1e,k=0,1,25211.设P{X=k}=C2p（1p）
P{Y=m}=C4p（1p）mm4m2k,m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=
【解】因为P（X1）5，试求P{Y≥1}.954，故P（X1）.99
2而P（X1）P（X0）（1p）
4,9
1即p.3故得（1p）2
从而P（Y1）1P（Y0）1（1p）4650.8024781
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中
恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）.利用泊松近似计算,
np20000.0012
e225
0.0018得P（X5）5!
13.进行某种试验，成功的概率为31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44
数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
【解】X1,2,,k,
13P（Xk）（）k144
P（X2）P（X4）P（X2k）
131313（）3（）2k1444444
1
3141（）25
4
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1）保险公司亏本的概率;
（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b（2500,0.002），则所求概率为
P（2000X30000）P（X15）1P（X14）
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
e55k
P（X15）10.000069k!
k014
（2）P（保险公司获利不少于10000）
P（300002000X10000）P（X10）e55k
0.986305k!
k010
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）P（300002000X20000）P（X5）
e55k
0.615961k!
k05
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f（x）=Ae|x|,∞<x<+∞,
求：
（1）A值；
（2）P{0<X<1};（3）F（x）.
【解】
（1）由
f（x）dx1得
1Aedx2Aexdx2A0|x|
1.2
11x11
（2）p（0X1）edx（1e）202
x11exdxex（3）当x<0时，F（x）22
x101x1e|x|dxxdxexdx当x≥0时，F（x）2202
1x1e2故A
1xe,2故F（x）11ex
2x0x0
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为
100,x100,f（x）=x2
x100.0,
求：
（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；
（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；
（3）F（x）.
【解】
1001dx.100x23
28p1[P（X150）]3（）3327
41122
（2）p2C3（）339
（1）P（X150）150
（3）当x<100时F（x）=0
当x≥100时F（x）x
f（t）dt
100
x
f（t）dt
x
100
f（t）dt
100100
t1100t2
x
100
x1001
故F（x）x
x00,
17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，中任意小区间由题意知X~∪[0,a]，密度函数为
1
0xa
f（x）a
其他0,
故当x<0时F（x）=0当0≤x≤a时F（x）当x>a时，F（x）=1
即分布函数
x
f（t）dtf（t）dt
xx
1xtaa
0,
xF（x）,
a1,
x00xaxa
18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测
值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即
1
2x5
f（x）3
其他0,
P（X3）
故所求概率为
53
12
dx33
23202221pC3（）C33（）
33327
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E（）.某顾客在窗口
等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等
到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依题意知X~E（），即其密度函数为
15
15
x15e,x0f（x）50,x0
该顾客未等到服务而离开的概率为
x15P（X10）edxe2105
Y~b（5,e2）,即其分布律为
kP（Yk）C5（e2）k（1e2）5k,k0,1,2,3,4,5
P（Y1）1P（Y0）1（1e）0.516725
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服
从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.
（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
【解】
（1）若走第一条路，X~N（40，102），则
x406040P（X60）P
（2）0.977271010
若走第二条路，X~N（50，42），则
X506050P（X60）P（2.5）0.9938++44
故走第二条路乘上火车的把握大些.
（2）若X~N（40，102），则
X404540P（X45）P（0.5）0.69151010
若X~N（50，42），则
X504550P（X45）P（1.25）44
1（1.25）0.1056
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N（3，22），
（1）求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};
（2）确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.
【解】
（1）P（2X5）P23X353222
11
（1）
（1）122
0.841310.69150.5328
43X3103P（4X10）P222
770.999622
P（|X|2）P（X2）P（X2）
X323X323PP2222
1515112222
0.691510.99380.6977
P（X3）P（X33-3）1（0）0.522
（2）c=3
22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12故
24.设随机变量X分布函数为
ABext,x0,F（x）=（0）,x0.0,
（1）求常数A，B；
（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；
（3）求分布密度f（x）.
limF（x）1A1x【解】
（1）由得limF（x）limF（x）B1x0x0
（2）P（X2）F
（2）1e2
P（X3）1F（3）1（1e3）e3
ex,x0（3）f（x）F（x）x00,
25.设随机变量X的概率密度为
x,f（x）=2x,
0,0x1,1x2,其他.
求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.
【解】当x<0时F（x）=0
当0≤x<1时F（x）
xxf（t）dt0f（t）dtf（t）dt0xx2
tdt02
当1≤x<2时F（x）x
0f（t）dtf（t）dtf（t）dtf（t）dt01
x
11x
1tdt（2t）dt0
1x232x222
x2
2x12
当x≥2时F（x）x
f（t）dt1
x0
0x1
0,2x,2故F（x）2x2x1,21,
26.设随机变量X的密度函数为1x2x2
（1）f（x）=ae|x|,λ>0;
bx,1
（2）f（x）=2,x
0,
【解】
（1）由0x1,1x2,其他.|x|试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
f（x）dx1知1aedx2aexdx02a故a
2
xe,x02即密度函数为f（x）exx02
当x≤0时F（x）
当x>0时F（x）xf（x）dx1xdxex22xx
f（x）dx
1xe202xdxx20xdx1
故其分布函数
1x1e,x02F（x）1ex,x02
（2）由1
f（x）dxbxdx01211b1dxx222得b=1即X的密度函数为
0x1x,1f（x）2,1x2
x
其他0,
当x≤0时F（x）=0
当0<x<1时F（x）
xxf（x）dx0f（x）dxf（x）dx0x0x2xdx2
x
当1≤x<2时F（x）f（x）dx0dxxdx001x11dx2x
312x
当x≥2时F（x）=1
故其分布函数为
0,2x,F（x）2
31,2x1,
27.求标准正态分布的上分位点，
（1）=0.01，求z;
（2）=0.003，求z，z/2.
【解】
（1）P（Xz）0.01
即1（z）0.01即x00x11x2x2（z）0.09故z2.33
（2）由P（Xz）0.003得
1（z）0.003
即（z）0.997查表得z2.75由P（Xz/2）0.0015得
1（z/2）0.0015
即（z/2）0.9985查表得z/22.96
求Y=X的分布律.
【解】Y可取的值为0，1，4，9
P（Y0）P（X0）1
5
11761530P（Y1）P（X1）P（X1）1P（Y4）P（X2）5
11P（Y9）P（X3）30
故Y的分布律为
29.设P{X=k}=（k）,k=1,2,„,令2
1,当X取偶数时Y1,当X取奇数时.
求随机变量X的函数Y的分布律.
【解】P（Y1）P（X2）P（X4）P（X2k）
111（）2（）4（）2k222111（）/
（1）443
P（Y1）1P（Y1）
30.设X~N（0，1）.
（1）求Y=eX的概率密度；
（2）求Y=2X2+1的概率密度；
（3）求Y=｜X｜的概率密度.
【解】
（1）当y≤0时，FY（y）P（Yy）0
当y>0时，FY（y）P（Yy）P（exy）P（X
lny）
23lny
fX（x）dx
故fY（y）
（2）P（Y2X11）12dFY（y）1ln2y/2fx（lny）,y0dyy当y≤1时FY（y）P（Yy）0
当y>1时FY（y）P（Yy）P（2X21y）
PX
故
fY（y）2y1PX2fX（x）dxdFY（y）ffXXdy
（y1）/4
y1
（3）P（Y0）1
当y≤0时FY（y）P（Yy）0
当y>0时FY（y）P（|X|y）P（yXy）y
yfX（x）dx故fd
Y（y）dyFY（y）fX（y）fX（
y）
y2/2,y0
31.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1）Y=eX的分布函数及密度函数；
（2）Z=2lnX的分布函数及密度函数.
【解】
（1）P（0X1）1
故P（1YeXe）1
当y1时FY（y）P（Yy）0
当1<y<e时FX
Y（y）P
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