最新新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结.docx
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最新新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结
一、知识与技能的总结
（一）概念
一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高次数是2”．
一元二次方程的一般形式——
，按未知数x降幂排列
方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．
（二）一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解
1．直接开平方法——适用于的方程．
2．配方法——适用于所有的一元二次方程；
（1）“移项”——使得
（2）“系数化1”——使得
（3）“配方”——使得
（4）“求解”——利用解方程
3．公式法——适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，
（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；
（2）先求出
的值，若
，则代入公式．
若
，则；
4．因式分解法——适用于的方程．
用因式分解法解一元二次方程的依据是：
．
通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．
（三）其它知识方法
1．根的判别式：
，
（1）若
，则方程有解；
（2）若
，则方程有解；（3）若
，则方程有解；
2．换元法
（1）
；
（2）
（3）．
3．可化为一元二次方程的分式方程
解方程
二、典型题型的总结
（一）一元二次方程的概念
1．（一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值）
（1）
=时，关于
的方程
是一元二次方程。
（2）若分式
，则
3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）
（1）关于
的一元二次方程
有一个根为0，则
（2）已知关于
的一元二次方程
有一个根为1，一个根为
，
则
，
（3）已知2是关于
的方程
的一个根，则
的值是
（4）已知c为实数，并且关于
的一元二次方程
的一个根的相反数是方程
的一个根，则方程
的根为，c=
（二）一元二次方程的解法
4．开平方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
；（6）
；
（7）
．（8）
5．用配方法解下列各方程：
（1）
；
（2）
；
（3）
（4）
（5）
；（6）
．
6．用公式法解下列各方程：
（1）
；
（2）
；
（3）
；（4）
．
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
7．用因式分解法解下列各方程：
（1）
；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
；（8）
．
（9）
（10）
（11）
8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：
（1）
（2）
（3）
（
）（4）
（三）一元二次方程的根的判别式
10．不解方程，判别方程根的情况：
（1）4
——
（2）
——
（3）
——
11．
为何值时，关于x的二次方程
（1）
满足时,方程有两个不等的实数根
（2）
满足时,方程有两个相等的实数根
（3）
满足时,方程无实数根
12．已知关于
的方程
，如果
，那么此方程的根的情况是（）．
A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定
13．关于
的方程
的根的情况是（）．
A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定
14．已知关于
的方程
有实根，则
的取值范围是（）．
A．
B．
且
C．
D．
15．已知
，且方程
有两个相等实根，那么
的值等于（）．
A．
B．
C．3或
D．3
16．若关于
的方程
有实根，则
的非负整数值是（）．
A．0，1B．0，1，2C．1D．1，2，3
17．已知关于ｘ的方程
有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．
18．方程
有实数根，求正整数a.
19．对任意实数m，求证：
关于x的方程
无实数根.
20．设
为整数，且
时，方程
有两个相异整数根，求
的值及方程的根。
21．
为何值时，方程
有实数根.
（四）一元二次方程的应用
22．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.
23．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.
24．一个两位数，两个数位上的数字之和为6，两个数之积等于这个数的三分之一，求这个两位数．
25．已知：
如图，在一块长80cm，宽60cm的白铁片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积是1500
的没有盖的长方体盒子，问截去的小正方形边长是多少？
26．某林场准备修一条长1000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4万平方米，上口宽比渠面深多2.3米，渠底宽比渠深多0.3米．
（1）渠道的上口与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？
27．据有关资料显示，我国农产品出口总量中，初级产品占五分之四，深加工产品占五分之一．由于在国际市场上，初级产品的价格较低，不利于出口创汇，所以加入WTO后，必须尽快改变这种出口结构．假设我国每年农产品出口总量不变，两年后将深加工产品的出口比重提高到十分之三，问平均每年比上年提高的百分数是多少？
（结果精确到0.1%，下列数据可供选用：
，
，
）
28．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年．如果第一年的折旧率为20%，以后折旧率有所变化；现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第三年平均每年的折旧率．
29．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？
30．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？
（不计利息税）
31.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.
32．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售
出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
33．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距
千米？
34．如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走，
速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通
过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米
时，每个人的位置。
35．已知关于x的方程
①有两个相等的实数根.
（1）求证：
关于y的方程
②必有两个相等的实数根。
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式
的值。
36．一次函数
和反比例函数
，
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点？
（2）设
（1）中的两个公共点为A、B，
是锐角还是钝角？
37．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错；若有错，请你写出正确答案．
已知
是关于
的方程
的一个根，求
的值．
（1）将
代入原方程，化简，得
．
（2）两边同除以
，得
，所以
．
（3）把
代入原方程检验，可知
符合题意，所以
．
38．要使关于
的方程
与
有且只有一个公共根，求
的值．
39．是否存在使函数
的函数值为0的
值，若存在，就把它求出来；若不存在，请说明理由．
40．*解下列分式方程：
（1）
；
（2）
；
（3）
；（4）
；
（2）物品的独一无二
可是创业不是一朝一夕的事，在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症，对我们这些80年代出生的温室小花朵来说，更是难上加难。
（4）创新能力薄弱（5）
；（6）
．
人民广场地铁站有一家名为“漂亮女生”的饰品店，小店新开，10平方米不到的店堂里挤满了穿着时尚的女孩子。
不几日，在北京东路、淮海东路也发现了“漂亮女生”的踪影，生意也十分火爆。
现在上海卖饰品的小店不计其数，大家都在叫生意难做，而“漂亮女生”却用自己独特的经营方式和魅力吸引了大批的女生。
（五）＊根系关系
“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。
店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。
但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。
若
中，有
，则有：
9、如果你亲戚朋友送你一件DIY手工艺制品你是否会喜欢？
=
=
可推出：
=；
=；
1、作者：
蒋志华《市场调查与预测》，中国统计出版社2002年8月§11-2市场调查分析书面报告根据一元二次方程的根与系数关系解答下列问题：
41．如果是
、
是方程
的两个根，则
的值为（）．
300元以下918%A．1B．17C．6.25D．0.25
42．已知
、
是方程
的两个实数根，则
等于（）．
十几年的学校教育让我们大学生掌握了足够的科学文化知识，深韵的文化底子为我们创业奠定了一定的基础。
特别是在大学期间，我们学到的不单单是书本知识，假期的打工经验也帮了大忙。
A．
B．
C．
D．
43．设
、
是方程
的两个实数根，则
的值为（）．
手工艺品，它运用不同的材料，通过不同的方式，经过自己亲手动手制作。
看着自己亲自完成的作品时，感觉很不同哦。
不论是01年的丝带编织风铃，02年的管织幸运星，03年的十字绣，04年的星座手链，还是今年风靡一时的针织围巾等这些手工艺品都是陪伴女生长大的象征。
为此，这些多样化的作品制作对我们这一创业项目的今后的操作具有很大的启发作用。
A．
B．
C．
D．
44．方程
的两根之比为
，则
等于（）．
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