微积分公式手册1.docx

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微积分公式手册1

高等数学公式手册

二〇〇六年七月

导数公式：

（tgx）′=sec2x

（ctgx）′=−csc2x

（arcsinx）′=

1

1−x2

（secx）′=secx⋅tgx

（cscx）′=−cscx⋅ctgx

（arccosx）′=−

1

1

1−x2

（ax）′=axlna

（logx）′=1

axlna

（arctgx）′=

1+x2

（arcctgx）′=−1

1+x2

基本积分表：

∫tgxdx=−lncosx+C

dx2

∫cos2x=∫sec

xdx=tgx+C

∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C

dx2

∫sin2x=∫csc

xdx=−ctgx+C

∫cscxdx=lncscx−ctgx+C

∫secx⋅tgxdx=secx+C

∫a2

dx

=

+x2

1arctgx+C

aa

∫cscx⋅ctgxdx=−cscx+C

x

a

x

dx

∫22

=

∫

1ln

x−a+C

adx=+C

lna

x−a

dx

2ax+a

=1lna+x

∫shxdx=chx+C

∫a2−x2

dx

+C

2aa−x

x

∫chxdx=shx+C

dx

∫a2−x2

=arcsin+C

a

∫x2±a2

=ln（x+

x2±a2）+C

In=

ππ

22

∫sinnxdx=∫

00

cosnxdx=n−1I

n

2

n−2

∫x2

+a2

dx=x

2

x2+a2

+aln（x+

2

2

x2+a2

）+C

∫x2

2

−a2

2

dx=x

2

x

x2−a2

22

−alnx+

2

a2

x2−a2+C

x

∫a−x

dx=

2

a−x

+arcsin+C

2a

三角函数的有理式积分：

sinx=

2u

1+u2

，　cosx=

1−u2

1+u2

，　u=tg

x，　dx=

2

2du

1+u2

一些初等函数：

两个重要极限：

x

双曲正弦:

shx=e

−e−x

limsinx=1

2x→0x

x

双曲余弦:

chx=e

+e−x

lim（1+1）x=e=2.718281828459045...

x

2

x

双曲正切:

thx=shx=e

−e−x

x→∞

chx

ex+e−x

arshx=ln（x+

archx=±ln（x+

x2+1）

x2−1）

arthx=1ln1+x

21−x

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

·和差角公式：

·和差化积公式：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

sinα+sinβ=2sinα+βcosα−β

22

cos（α±β）=cosαcosβmsinαsinβ

tgα±tgβ

sinα−sinβ=2cosα+βsin

α−β

tg（α±β）=22

1mtgα

⋅tgβ

cosα+cosβ=2cosα+βcosα−β

ctg（α±β）=ctgα⋅ctgβm122

ctgβ±ctgα

cosα−cosβ=2sinα+βsinα−β

22

·倍角公式：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α

ctg2α−1

sin3α=3sinα−4sin3α

cos3α=4cos3α−3cosα

ctg2α=

tg2α=

2ctgα

2tgα

3tgα−tg3α

tg3α=

1−3tg2α

1−tg2α

·半角公式：

sinα=±

1−cosα　　　　　　　　　　　　cosα=±

1+cosα

2

tgα=±

2

2

1−cosα

1+cosα

=1−cosα=

sinα

sinα

1+cosα

2

　　ctgα=±

2

2

1+cosα

1−cosα

=1+cosα=

sinα

sinα

1−cosα

·正弦定理：

a

sinA

=b

sinB

=c

sinC

=2R

·余弦定理：

c2=a2+b2−2abcosC

·反三角函数性质：

arcsinx=π−arccosx　　　arctgx=π−arcctgx

22

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

（uv）（n）=

n

∑

k=0

k（n−k）（k）

Cuv

n

=u（n）v+nu（n−1）v′+n（n−1）u（n−2）v′+L+n（n−1）L（n−k+1）u（n−k）v（k）+L+uv（n）

2!

k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）−f（a）=f′（ξ）（b−a）

f（）−（）

′（ξ）

柯西中值定理：

b

fa=f

F（b）−F（a）

F′（ξ）

当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：

ds=

1+y′2dx,其中y′=tgα

平均曲率：

K=

Δα.Δα:

从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；Δs：

MM′弧长。

Δs

M点的曲率：

K=limΔα

=dα=y′.

直线：

K=0;

Δs→0Δsds

（1+y′2）3

半径为a的圆：

K=1.

a

定积分的近似计算：

b

矩形法：

∫f（x）≈

a

b

梯形法：

∫f（x）≈

a

b−a

n

b−a

n

（y0+y1+L+yn−1）

L

[1（y+y）+y++y]

20n1n−1

b

抛物线法：

∫f（x）≈

a

b−a

3n

[（y0+yn）+2（y2+y4+L+yn−2）+4（y1+y3+L+yn−1）]

定积分应用相关公式：

功：

W=F⋅s

水压力：

F=p⋅A

引力：

F=km1m2,k为引力系数

r2

∫

1b

函数的平均值：

y=f（x）dx

b−aa

∫

b

12

均方根：

f

b−aa

（t）dt

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：

d=M1M2=

1

1

1

2

2

（x2

−x）2+（y

−y）2+（z

−z）2

向量在轴上的投影：

PrjuAB=

AB⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。

vvv

Prju（a1+a2）=Prja1+Prjav2

vvvv

z

a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,

两向量之间的夹角：

cosθ=

axbx

+ayby

+azbz

a2+a

2+a2⋅

b2+b2+b2

ijk

v

xyz

v

xyz

x

y

cv=av×b=aa

bxby

az,cv=av⋅bsinθ.例：

线速度：

vv=wv×rv.

bz

axayaz

vvv

x

y

向量的混合积：

[avbcv]=（av×b）⋅cv=bb

cxcy

b=av×b⋅cvcosα,α为锐角时，

cz

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：

A（x−x0）+B（y−y0）+C（z−z0）=0，其中nv={A,B,C},M0（x0,y0,z0）

2、一般方程：

Ax+By+Cz+D=0

3+

xyz

、截距世方程：

+=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：

d=

Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2

⎧x=x0+mt

x−x0

y−y0

z−z0v⎪

空间直线的方程：

=

mn

二次曲面：

==t,其中s={m,n,p};参数方程：

⎨y=y0+nt

p

⎪

⎩z=z0+pt

x2

1、椭球面：

+

a2

x2

2

yz2

+=1

b2c2

y2

2、抛物面：

+

2p2q

3、双曲面：

=z（,

p,q同号）

x2y2z2

单叶双曲面：

+−

a2b2c2

x2y2z2

双叶双曲面：

−+

a2b2c2

=1

=（1马鞍面）

多元函数微分法及应用

全微分：

dz=∂zdx+∂zdy　　　du=∂udx+∂udy+∂udz

∂x∂y

∂x∂y∂z

全微分的近似计算：

Δz≈dz=fx（x,y）Δx+fy（x,y）Δy

多元复合函数的求导法：

z=f[u（t）,v（t）]

dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v　

dt

∂u∂t

∂v∂t

z=f[u（x,y）,v（x,y）]

∂z=

∂z⋅∂u+∂z⋅∂v

∂x∂u∂x

当u=u（x,y），v=v（x,y）时，

∂v∂x

du=∂udx+∂udy　　　dv=∂vdx+∂vdy　

∂x∂y

∂x∂y

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）=0

dy=−Fx

2

dy=

∂（−Fx）＋∂

（−Fx）⋅dy

，　　

dx

，　　

2

Fydx

∂xFy

∂yFydx

隐函数F（x,y,z）=0

∂z=−Fx

∂z=−Fy

，　

∂xFz

，　　

∂yFz

∂u

∂F

⎧F（x,y,u,v）=0∂（F,G）

隐函数方程组：

⎨　　　J==

∂F

∂v=FuFv

⎩G（x,y,u,v）=0

∂（u,v）

∂G∂G

∂u∂v

GuGv

∂u=−1⋅∂（F,G）

∂v1∂（F,G）

=−⋅

∂xJ

∂（x,v）

∂xJ

∂（u,x）

∂u=−1⋅∂（F,G）

∂v1∂（F,G）

=−⋅

∂yJ

∂（y,v）

∂yJ

∂（u,y）

微分法在几何上的应用：

⎧x=ϕ（t）

⎩

⎪y=ψ（t）在点M（x,y,z）

x−x0

=y−y0

=z−z0

空间曲线⎨

⎪z=ω（t）

000

处的切线方程：

ϕ′（t0）

ψ′（t0）

ω′（t0）

T

在点M处的法平面方程：

ϕ′（t0）（x−x0）+ψ′（t0）（y−y0）+ω′（t0）（z−z0）=0

若空间曲线方程为：

⎪⎧⎨

F（x,y,z）=0

则切向量v={Fy

Fz,Fz

Fx,FxFy}

G（x,y,z）=0

GyGzGz

GxGxGy

曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：

x000y000z000

1、过此点的法向量：

nv={F（x,y,z）,F（x,y,z）,F（x,y,z）}

2、过此点的切平面方程：

Fx（x0,y0,z0）（x−x0）+Fy（x0,y0,z0）（y−y0）+Fz（x0,y0,z0）（z−z0）=0

3、过此点的法线方程：

x−x0

=y−y0

=z−z0

Fx（x0,y0,z0）

Fy（x0,y0,z0）

Fz（x0,y0,z0）

方向导数与梯度：

∂f∂∂

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为：

∂l

=fcosϕ+

∂x

fsinϕ

∂y

其中ϕ为x轴到方向l的转角。

j

函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：

gradf（x,y）=∂fi+∂fv

∂fv

∂x∂y

v

vvv

它与方向导数的关系是：

∂l

=gradf（x,y）⋅e，其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j，为l方向上的

单位向量。

∴∂f是gradf（x,y）在l上的投影。

∂l

多元函数的极值及其求法：

设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：

fxx（x0,y0）=A,　fxy（x0,y0）=B,　fyy（x0,y0）=C

⎧⎧A<0,（x,y

）为极大值

⎪AC−B2>0时，⎨00

⎪⎩A>0,（x0,y0）为极小值

则：

⎨AC−B2<0时，　　　　　　无极值

⎪AC−B2=0时,　　　　　　　不确定

⎪

⎪⎩

重积分及其应用：

∫∫f（x,y）dxdy=∫∫f（rcosθ,rsinθ）rdrdθ

DD′

22

曲面z=f（x,y）的面积A=

1+⎛=∂z⎞

⎛∂z⎞

dxdy

∫∫⎜

⎟+⎜⎟

D⎝∂x⎠

⎝∂y⎠

M∫∫xρ（x,y）dσ

M∫∫yρ（x,y）dσ

平面薄片的重心：

x=x=D,　　y=

y=D

3y

M∫∫ρ（x,y）dσ

D

2

M∫∫ρ（x,y）dσ

D

2

F

平面薄片的转动惯量：

对于x轴Ix=∫∫y

D

ρ（x,y）dσ,　　对于y轴Iy=∫∫x

D

ρ（x,y）dσ

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：

F={Fx,Fy,

Fz}，其中：

Fx=

f∫∫

ρ（x,y）xdσ

，　　=

f∫∫

ρ（x,y）ydσ

3，　　Fz=−

fa∫∫

ρ（x,y）xdσ

3

D（x2+y2+a2）2

D（x2+y2+a2）2

D（x2+y2+a2）2

柱面坐标和球面坐标：

⎨

⎧x=rcosθ

柱面坐标：

⎪y=rsinθ,　　　∫∫∫f（x,y,z）dxdydz=∫∫∫F（r,θ,z）rdrdθdz,

⎩

⎪z=zΩΩ

其中：

F（r,θ,z）=f（rcosθ,rsinθ,z）

⎧x=rsinϕcosθ

球面坐标：

⎪y=rsinϕsinθ，　　dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r2sinϕdrdϕdθ

⎨

⎪

⎩z=rcosϕ

2ππ

r（ϕ,θ）

∫∫∫f（x,y,z）dxdydz=∫∫∫F（r,ϕ,θ）r2sinϕdrdϕdθ=∫dθ∫dϕ

∫F（r,ϕ,θ）r2sinϕdr

ΩΩ

11

000

1

MMM

重心：

x=∫∫∫xρdv,　　y=∫∫∫yρdv,　　z=∫∫∫zρdv，　　其中M=x=∫∫∫ρdv

Ω

2

转动惯量：

Ix=∫∫∫（y

Ω

+z2

Ω

2

）ρdv，　　Iy=∫∫∫（x

Ω

+z2

Ω

2

）ρdv，　　Iz=∫∫∫（x

Ω

+y2

Ω

）ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

⎨

设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：

⎧x=ϕ（t）

　　（α≤t≤β）,则：

⎩y=ψ（t）

β

⎧x=t

∫f（x,y）ds=∫f[ϕ（t）,ψ（t）]

ϕ′2（t）+ψ′2（t）dt　　（α<β）　　特殊情况：

⎨

Lα⎩y=ϕ（t）

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

⎧x=ϕ（t）

设L的参数方程为⎨

，则：

⎩y=ψ（t）

β

∫P（x,y）dx+Q（x,y）dy=∫{P[ϕ（t）,ψ（t）]ϕ′（t）+Q[ϕ（t）,ψ（t）]ψ′（t）}dt

Lα

两类曲线积分之间的关系：

∫Pdx+Qdy=∫（Pcosα+Qcosβ）ds，其中α和β分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

∂Q∂P∂Q∂P

格林公式：

∫∫（−）dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式：

∫∫（−）dxdy=∫Pdx+Qdy

D∂x∂yL

D∂x∂yL

∂Q

当P=−y,Q=x，即：

−∂P

1

=2时，得到D的面积：

A=∫∫dxdy=∫xdy−ydx

∂x∂y

D2L

·平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且∂Q＝∂P。

注意奇点，如（0,0），应

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：

∂x∂y

在∂Q＝∂P时，Pdx+Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：

∂x

u（x,y）=

∂y

（x,y）

∫P（x,y）dx+Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。

（x0,y0）

曲面积分：

22

对面积的曲面积分：

∫∫f（x,y,z）ds=∫∫f[x,y,z（x,y）]

1+zx（x,y）+zy（x,y）dxdy

∑Dxy

对坐标的曲面积分：

∫∫P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy，其中：

∑

∫∫R（x,y,z）dxdy=±∫∫R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正号；

∑Dxy

∫∫P（x,y,z）dydz=±∫∫P[x（y,z）,y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；

∑Dyz

∫∫Q（x,y,z）dzdx=±