完整word版坐标系与参数方程高考真题学生用卷docx.docx
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坐标系与参数方程历年真题
1.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为
(θ为参数),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
2.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为
(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
3.在直角坐标系
xOy中,直线l1的参数方程为
,(t为参数),直线l2的参数方程为
,(m
为参数).设
l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线
C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
l3:
ρ(cosθ+sin)θ-=0,M为l3与C的交
点,求M的极径.
4.在直角坐标系
xOy中,以坐标原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C1
的极坐标方程为
ρcosθ.=4
(1)M为曲线C
上的动点,点
P
在线段
OM
上,且满足
|OM||OP|=16
,求点
P
的轨迹
C
的直
1
2
角坐标方程;(
2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2
上,求△OAB面积的最大值.
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5.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参
数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
6.
在直角坐标系
xOy中,以坐标原点为极点
x轴为极轴建立极坐标系
半圆C的极坐标方程为
ρ=2cosθ,θ
.
(1)求
C
的参数方程
.
(2)
设点
D
在
C
上
C
在
D
处的切线与直线
l:
y=x+2
∈
垂直根据
(1)中你得到的参数方程
确定D的坐标.
7.已知直线
l
(t
),C
2
θ=1.
的参数方程为
为参数
的极坐标方程为
ρcos2
曲线
求曲线C的直角坐标方程.求直线l被曲线C截得的弦长.
8.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴
为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角
坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
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9.在直角坐标系
xOy中,曲线C1的参数方程为
(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C2:
ρ=4cos.θ
(Ⅰ)说明C1
是哪一种曲线,并将
C1的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线C3
的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在
C3上,求a.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交
于A,B两点,求线段AB的长.
11.已知曲线C:
+=1,直线l:
(t为参数)
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
12.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线l:
2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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13.
在直角坐标系
xoy
中,曲线
C1
:
t
为参数,
t≠0
0≤απ
O
为极点,
x
轴正半轴
(
),其中
<,在以
为极轴的极坐标系中,曲线
C2:
ρ=2sin,θ曲线C3:
ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求C2与C3
交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C2与C1
相交于点A,C3与C1相交于点B,求|AB|的最大值.
14.已知直线l:
(t为参数).以坐标原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C的
坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;
2
)设点
M
5
l
与曲线
C
的交点为
A
B
|MA||MB|
(
的直角坐标为(,),直线
,
,求
?
的值.
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答案和解析
【答案】
1.解:
由,由②得,
代入①并整理得,.
由,得,
两式平方相加得.
联立,解得或.
∴|AB|=.
2.解:
直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0,
∴P到直线l的距离d=
=
,
∴当s=时,d取得最小值
=.
3.解:
(1)∵直线l1的参数方程为
,(t为参数),
∴消掉参数t得:
直线l1的普通方程为:
y=k(x-2)①;
又直线l2的参数方程为
,(m为参数),
同理可得,直线
l2的普通方程为:
x=-2+ky②;
联立①②,消去
k得:
x2-y2=4,即C的普通方程为
x2-y2=4;
(2)∵l3的极坐标方程为
ρ(cosθ+sin)θ-
=0,
∴其普通方程为:
x+y-=0,
联立
得:
,
222
∴ρ=x+y=+=5.
∴l3与C的交点M的极径为ρ=.
4.解:
(1)曲线C1的直角坐标方程为:
x=4,
设P(x,y),M(4,y0),则,∴y0=,
∵|OM||OP|=16,
∴=16,
即(x2+y2)(1+)=16,
∴x4+2x2y2+y4=16x2,即(x2+y2)2=16x2,
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两边开方得:
x2+y2=4x,
整理得:
(x-2)2+y2=4(x≠0),
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程:
(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)点A的直角坐标为
A(1,
),显然点A在曲线C2上,|OA|=2,
∴曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d=
=,
∴△AOB的最大面积S=|OA|?
(2+
)=2+
.
5.解:
(1)曲线C的参数方程为
(θ为参数),化为标准方程是:
+y2=1;
a=-1时,直线l的参数方程化为一般方程是:
x+4y-3=0;
联立方程
,
解得或,
所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(-,).
(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是:
x+4y-a-4=0,
椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为:
d==,φ满足tanφ=,
又d的最大值dmax=,
所以|5sin(θ+φ)-a-4|的最大值为17,
得:
5-a-4=17或-5-a-4=-17,
即a=-16或a=8.
6..7.点D的直角坐标为,即
7.
由
2
2
2
2
2
2y2
,
cos2
θ=1ρ
θρ
θ=1
x-
ρ
=1
得
cos
-
sin
,即有
所以曲线C的直角坐标方程为x2-y2=1.
8.把代入x2-y2=1中,得(2+t)2-(t)2=1,即2t2-4t-3=0,
所以t1+t2=2,t1·t2=-
设直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
所以直线l被曲线C截得的弦长为
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8.解:
(
1
)曲线
C
的参数方程为
(
α
1
移项后两边平方可得
+y22
2
=cos
α+sinα=1
,
即有椭圆C1:
+y2=1;
曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2,
即有ρ(sinθ+cosθ)=2,
由x=ρcosθ,y=ρsin,θ可得x+y-4=0,
即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0;
(2)由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时,
|PQ|取得最值.
设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0,
联立可得4x2+6tx+3t2-3=0,
由直线与椭圆相切,可得△=36t2-16(3t2-3)=0,
解得t=±2,
显然t=-2时,|PQ|取得最小值,
即有|PQ|==,
此时4x2-12x+9=0,解得x=,
即为P(,).
另解:
设P(cosα,sinα),
由P到直线的距离为d=
=,
当sin(α+)=1时,|PQ|的最小值为,
此时可取α=,即有P(,).
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9.解:
(Ⅰ)由
,得
,两式平方相加得,
x2+(y-1)2=a2.
∴C1为以(0,1
)为圆心,以
a为半径的圆.
化为一般式:
x2+y2-2y+1-a2=0.①
2
2
2
2
2
;
由x+y
=ρ,y=ρsin,θ得ρ-2ρsin
θ-a+1=0
2
(Ⅱ)C2:
ρ=4cos,θ两边同时乘ρ得ρ=4ρcos,θ
x2
2
∴+y=4x,②
即(x-2)2+y2=4.
由C3:
θ=0α,其中α0满足tanα0=2,得y=2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,
∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,
①-②得:
4x-2y+1-a2=0,即为C3,∴1-a2=0,
∴a=1(a>0).
10.解:
直线l的参数方程为,化为普通方程为x+y=3,
与抛物线y2=4x联立,可得x2-10x+9=0,
∴交点A(1,2),B(9,-6),
∴|AB|=
=8.
11.解:
(Ⅰ)对于曲线
C
:
+
=1
,可令
x=2cosθy=3sinθ
、
,
故曲线C的参数方程为
,(θ为参数).
对于直线l:
,
由①得:
t=x-2
,代入②并整理得:
2x+y-6=0;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点
P(2cosθ,3sinθ).
P到直线l的距离为
.
则
,其中α为锐角.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为
.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为
.
12.解:
(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,
x2
=1,即曲线
C的方程为
2
,化为参数方程为
(0≤θ<2π,θ为参数).
∴+
x+=1
(Ⅱ)由,可得,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),
则线段P1P2的中点坐标为(,1),
再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y-1=(x-),即x-2y+=0.
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再根据
x=ρcosαy=ρsinα
ρcos-α2ρsinα+=0
,
、
可得所求的直线的极坐标方程为
即ρ=
.
13.
解:
(Ⅰ)曲线
C2
:
得
2
2
2
,①
ρ=2sinθρ=2ρsin,θ即x+y=2y
C3:
ρ=2
2
2
2
cosθ,则ρ=2
ρcos,θ即x+y=2x,②
由①②得
或
,
即C2与C1
交点的直角坐标为(
0,0),(
,);
(Ⅱ)曲线C1的直角坐标方程为
y=tanαx,
则极坐标方程为
θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中
0≤a<π.
因此A得到极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2
cosα,α).
所以|AB|=|2sin
-α2cosα|=4|sin(α)|,
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
14.
2=2ρcosθx2
2
22
解:
(1)∵ρ=2cos,θ∴ρ
,∴
+y=2x,故它的直角坐标方程为(
x-1)+y=1;
(2
)直线l:
(t为参数),普通方程为
,(5,
)在直线l上,
过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(
5-1)2+3-1=18,
由切割线定理,可得|MT|2=|MA|?
|MB|=18.
【解析】
1.分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程,
然后联立方程组,求出直线与椭圆的交点坐标,
代入两点间的距
离公式求得答案.
本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,是基础题.
2.求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离
d关于参数s的函数,从而得出最短距离.
本题考查了参数方程的应用,属于基础题.
3.解:
(1)分别消掉参数
t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为
y=k(x-2)①与x=-2+ky②;联立①②,消
去k可得C的普通方程为
x2-y2=4;
(2)将l3的极坐标方程为
ρ(cosθ+sin)-θ=0化为普通方程:
x+y-
=0,再与曲线C的方程联立,可得
,
即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=.
本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程,考查函数与方程思想与等价转化思想的运用,属于中档题.
4.
(1)设P(x,y),利用相似得出M点坐标,根据|OM|?
|OP|=16列方程化简即可;
(2)求出曲线C2的圆心和半径,得出B到OA的最大距离,即可得出最大面积.
本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化,轨迹方程的求解,直线与圆的位置关系,属于中档题.
5.
(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标;
(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l
的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.
本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值,难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距
离的最大值求出a.
6~7.【小题1】
试题分析:
C的普通方程为
第9页,共11页
+y2=1.
可得C的参数方程为
.
【小题2】
试题分析:
设D(1+cost,sint).由
(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,
tant=,t=.
故点D的直角坐标为,即.
7~8.【小题1】略
【小题2】略
8.
(1)运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=ρcos,θy=ρsin,θ以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程;
(2)由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x+y-4=0平行的直线方程为
x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为
0,求得t,再由平行线的距离公式,可得
|PQ|的最小值,解方程可得P
的直角坐标.
另外:
设P(cosα,sinα),由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最
小值和P的坐标.
本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相
切,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
9.(Ⅰ)把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线
C1是圆,化为一般式,
2
2
2
结合x+y=ρ,y=ρsinθ化为极坐标方程;
(Ⅱ)化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知
y=x为圆C1
与C2
的公共弦所在直线方程,把
C1与C2的方程作差,结合公共弦所在直线方程为
y=2x可得1-a2=0,则a值可求.
本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方
程的求法,是基础题.
10.直线l的参数方程化为普通方程,与抛物线
y2=4x联立,求出A,B的坐标,即可求线段
AB的长.
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:
相交关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题.
11.(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取
x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数
t得直线l的普
通方程;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到
P到直线l的距离,除以
sin30进°一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得
|PA|的最大值与最小值.
本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.
12.(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),再根据点(x,)在圆x2+y2=1上,求出C的方程,化为参数方
程.
第10页,共11页
(Ⅱ)解方程组求得P1、P2的坐标,可得线段P1P2的中点坐标.再根据与
l垂直的