完整word版坐标系与参数方程高考真题学生用卷docx.docx
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坐标系与参数方程历年真题
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为
（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为
（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
3.在直角坐标系
xOy中，直线l1的参数方程为
，（t为参数），直线l2的参数方程为
，（m
为参数）．设
l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线
C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l3：
ρ（cosθ+sin）θ-=0，M为l3与C的交
点，求M的极径．
4.在直角坐标系
xOy中，以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C1
的极坐标方程为
ρcosθ．=4
（1）M为曲线C
上的动点，点
P
在线段
OM
上，且满足
|OM||OP|=16
，求点
P
的轨迹
C
的直
1
2
角坐标方程；（
2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2
上，求△OAB面积的最大值．
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5.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参
数）．
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
6.
在直角坐标系
xOy中,以坐标原点为极点
x轴为极轴建立极坐标系
半圆C的极坐标方程为
ρ=2cosθ,θ
.
（1）求
C
的参数方程
.
（2）
设点
D
在
C
上
C
在
D
处的切线与直线
l:
y=x+2
∈
垂直根据
（1）中你得到的参数方程
确定D的坐标.
7.已知直线
l
（t
）,C
2
θ=1.
的参数方程为
为参数
的极坐标方程为
ρcos2
曲线
求曲线C的直角坐标方程.求直线l被曲线C截得的弦长.
8.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角
坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
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9.在直角坐标系
xOy中，曲线C1的参数方程为
（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C2：
ρ=4cos．θ
（Ⅰ）说明C1
是哪一种曲线，并将
C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3
的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在
C3上，求a．
10.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交
于A，B两点，求线段AB的长．
11.已知曲线C：
+=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
12.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：
2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
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13.
在直角坐标系
xoy
中，曲线
C1
：
t
为参数，
t≠0
0≤απ
O
为极点，
x
轴正半轴
（
），其中
＜，在以
为极轴的极坐标系中，曲线
C2：
ρ=2sin，θ曲线C3：
ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求C2与C3
交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C2与C1
相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．
14.已知直线l：
（t为参数）．以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C的
坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
2
）设点
M
5
l
与曲线
C
的交点为
A
B
|MA||MB|
（
的直角坐标为（，），直线
，
，求
?
的值．
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答案和解析
【答案】
1.解：
由，由②得，
代入①并整理得，．
由，得，
两式平方相加得．
联立，解得或．
∴|AB|=．
2.解：
直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0，
∴P到直线l的距离d=
=
，
∴当s=时，d取得最小值
=．
3.解：
（1）∵直线l1的参数方程为
，（t为参数），
∴消掉参数t得：
直线l1的普通方程为：
y=k（x-2）①；
又直线l2的参数方程为
，（m为参数），
同理可得，直线
l2的普通方程为：
x=-2+ky②；
联立①②，消去
k得：
x2-y2=4，即C的普通方程为
x2-y2=4；
（2）∵l3的极坐标方程为
ρ（cosθ+sin）θ-
=0，
∴其普通方程为：
x+y-=0，
联立
得：
，
222
∴ρ=x+y=+=5．
∴l3与C的交点M的极径为ρ=．
4.解：
（1）曲线C1的直角坐标方程为：
x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，
∵|OM||OP|=16，
∴=16，
即（x2+y2）（1+）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
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两边开方得：
x2+y2=4x，
整理得：
（x-2）2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：
（x-2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为
A（1，
），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d=
=，
∴△AOB的最大面积S=|OA|?
（2+
）=2+
．
5.解：
（1）曲线C的参数方程为
（θ为参数），化为标准方程是：
+y2=1；
a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：
x+4y-3=0；
联立方程
，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：
x+4y-a-4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：
d==，φ满足tanφ=，
又d的最大值dmax=，
所以|5sin（θ+φ）-a-4|的最大值为17，
得：
5-a-4=17或-5-a-4=-17，
即a=-16或a=8．
6..7.点D的直角坐标为,即
7.
由
2
2
2
2
2
2y2
，
cos2
θ=1ρ
θρ
θ=1
x－
ρ
=1
得
cos
－
sin
，即有
所以曲线C的直角坐标方程为x2－y2=1.
8.把代入x2－y2=1中，得（2+t）2－（t）2=1，即2t2－4t－3=0，
所以t1+t2=2，t1·t2=－
设直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.
所以直线l被曲线C截得的弦长为
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8.解：
（
1
）曲线
C
的参数方程为
（
α
1
移项后两边平方可得
+y22
2
=cos
α+sinα=1
，
即有椭圆C1：
+y2=1；
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，
即有ρ（sinθ+cosθ）=2，
由x=ρcosθ，y=ρsin，θ可得x+y-4=0，
即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立可得4x2+6tx+3t2-3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2-16（3t2-3）=0，
解得t=±2，
显然t=-2时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|==，
此时4x2-12x+9=0，解得x=，
即为P（，）．
另解：
设P（cosα，sinα），
由P到直线的距离为d=
=，
当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，
此时可取α=，即有P（，）．
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9.解：
（Ⅰ）由
，得
，两式平方相加得，
x2+（y-1）2=a2．
∴C1为以（0，1
）为圆心，以
a为半径的圆．
化为一般式：
x2+y2-2y+1-a2=0．①
2
2
2
2
2
；
由x+y
=ρ，y=ρsin，θ得ρ-2ρsin
θ-a+1=0
2
（Ⅱ）C2：
ρ=4cos，θ两边同时乘ρ得ρ=4ρcos，θ
x2
2
∴+y=4x，②
即（x-2）2+y2=4．
由C3：
θ=0α，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，
∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，
①-②得：
4x-2y+1-a2=0，即为C3，∴1-a2=0，
∴a=1（a＞0）．
10.解：
直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2-10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，-6），
∴|AB|=
=8．
11.解：
（Ⅰ）对于曲线
C
：
+
=1
，可令
x=2cosθy=3sinθ
、
，
故曲线C的参数方程为
，（θ为参数）．
对于直线l：
，
由①得：
t=x-2
，代入②并整理得：
2x+y-6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点
P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为
．
则
，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为
．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为
．
12.解：
（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，
x2
=1，即曲线
C的方程为
2
，化为参数方程为
（0≤θ＜2π，θ为参数）．
∴+
x+=1
（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），
则线段P1P2的中点坐标为（，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y-1=（x-），即x-2y+=0．
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再根据
x=ρcosαy=ρsinα
ρcos-α2ρsinα+=0
，
、
可得所求的直线的极坐标方程为
即ρ=
．
13.
解：
（Ⅰ）曲线
C2
：
得
2
2
2
，①
ρ=2sinθρ=2ρsin，θ即x+y=2y
C3：
ρ=2
2
2
2
cosθ，则ρ=2
ρcos，θ即x+y=2x，②
由①②得
或
，
即C2与C1
交点的直角坐标为（
0，0），（
，）；
（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为
y=tanαx，
则极坐标方程为
θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中
0≤a＜π．
因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2
cosα，α）．
所以|AB|=|2sin
-α2cosα|=4|sin（α）|，
当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．
14.
2=2ρcosθx2
2
22
解：
（1）∵ρ=2cos，θ∴ρ
，∴
+y=2x，故它的直角坐标方程为（
x-1）+y=1；
（2
）直线l：
（t为参数），普通方程为
，（5，
）在直线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（
5-1）2+3-1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|?
|MB|=18．
【解析】
1.分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，
然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，
代入两点间的距
离公式求得答案．
本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．
2.求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离
d关于参数s的函数，从而得出最短距离．
本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
3.解：
（1）分别消掉参数
t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为
y=k（x-2）①与x=-2+ky②；联立①②，消
去k可得C的普通方程为
x2-y2=4；
（2）将l3的极坐标方程为
ρ（cosθ+sin）-θ=0化为普通方程：
x+y-
=0，再与曲线C的方程联立，可得
，
即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=．
本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
4.
（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|?
|OP|=16列方程化简即可；
（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．
本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
5.
（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l
的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．
本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距
离的最大值求出a．
6~7.【小题1】
试题分析：
C的普通方程为
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+y2=1.
可得C的参数方程为
.
【小题2】
试题分析：
设D（1+cost,sint）.由
（1）知C是以G（1,0）为圆心,1为半径的上半圆.
因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,
tant=,t=.
故点D的直角坐标为,即.
7~8.【小题1】略
【小题2】略
8.
（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcos，θy=ρsin，θ以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为
x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为
0，求得t，再由平行线的距离公式，可得
|PQ|的最小值，解方程可得P
的直角坐标．
另外：
设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最
小值和P的坐标．
本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相
切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
9.（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线
C1是圆，化为一般式，
2
2
2
结合x+y=ρ，y=ρsinθ化为极坐标方程；
（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知
y=x为圆C1
与C2
的公共弦所在直线方程，把
C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为
y=2x可得1-a2=0，则a值可求．
本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方
程的求法，是基础题．
10.直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线
y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段
AB的长．
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：
相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
11.（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取
x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数
t得直线l的普
通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到
P到直线l的距离，除以
sin30进°一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得
|PA|的最大值与最小值．
本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
12.（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方
程．
第10页，共11页
（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与
l垂直的
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