届高考总复习学霸精品教学案解三角形单元状元全套.docx

届高考总复习学霸精品教学案解三角形单元状元全套.docx

《届高考总复习学霸精品教学案解三角形单元状元全套.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考总复习学霸精品教学案解三角形单元状元全套.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届高考总复习学霸精品教学案解三角形单元状元全套

考纲导读

解三角形

（一）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

（二）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

知识网络

高考导航

正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

基础过关

第1课时三角形中的有关问题

典型例题

变式训练1：

（1）

的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且

，则

（）

A．

B．

C．

D．

解：

B提示：

利用余弦定理

（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）

A.

B.

C.

D.

解：

C提示：

在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解

（3）在△ABC中，已知

，

，则

的值为（）

A

B

C

或

D

解：

A提示:

在△ABC中，由

知角B为锐角

（4）若钝角三角形三边长为

、

、

，则

的取值范围是．

解：

提示：

由

可得

（5）在△ABC中，

=．

解：

提示：

由面积公式可求得

，由余弦定理可求得

例3.已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．

解：

由sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin（A＋B）＝0，

所以sinB（sinA－cosA）＝0

∵B∈（0,π）,∴sinB≠0,∴cosA＝sinA，由A∈（0,π），知A＝

从而B＋C＝

，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2（

－B）＝0

cos＝（

－2B）＝cos[2π－（

＋2B）]＝cos（

＋2B）＝－sin2B

得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝

，B＝

，C＝

∴A＝

B＝

C＝

变式训练3：

已知△ABC中，2

（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为

.

（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

解：

（1）由2

（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得

2

（

－

）=（a－b）

.

又∵R=

，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC=

=

.

又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.

（2）S=

absinC=

×

ab=2

sinAsinB=2

sinAsin（120°－A）

=2

sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+

sin2A

=

sin2A－

cos2A+

=

sin（2A－30°）+

.

∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=

.

小结归纳

小结归纳

基础过关

第2课时应用性问题

1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；

２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：

测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；

３．实际问题中有关术语、名称．

（1）仰角和俯角：

在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角

（2）方位角：

指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．

典型例题

例1．

（1）某人朝正东方走

km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好

km，那么

等于（）

（A）

（B）

（C）

或

（D）3

解：

C提示：

利用余弦定理

（2）甲、乙两楼相距

，从乙楼底望甲楼顶的仰角为

，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

，则甲、乙两楼的高分别是（）

A

B

C

D

解：

A

（3）一只汽球在

的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为

，汽球向前飞行了

后，又测得A点处的俯角为

，则山的高度为（）

A

B

C

D

解：

B

（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东

方向，B向西偏北

方向，若A的航行速度为25nmi/h，B的速度是A的

，过三小时后，A、B的距离是．

解：

90.8nmi

（5）货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，

航向为方位角

，A处有灯塔，

其方位角

，在C处观测灯塔A的

方位角

，由B到C需航行半小时，

则C到灯塔A的距离是

解：

km提示：

由题意知

，利用余弦定理或解直角三角形可得

变式训练1：

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30

，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1

）？

解：

连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.

于是,BC=10

.

∵

∴sin∠ACB=

∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

例2.在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南

方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北

的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

持续多长时间？

解：

设在时刻t（h）台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60（km）

若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则

由余弦定理知

由于PO=300,PQ=20t

故

即

解得

答：

12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．

变式训练2：

如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东

方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东

方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？

解：

由题意得，在△ABC中，BC=30，

，

所以

，由正弦定理可知：

所以

，

于是A到BC所在直线的距离为

所以船继续向南航行无触礁危险。

例3.如图所示，公园内有一块边长

的等边△ABC形状的三角地，

现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，

E在AC上.

（1）设AD

，ED

，求用

表示

的函数关系式；

（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置

应该在哪里？

如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的

位置又在哪里？

请给予证明.

解：

（1）在△ABC中，D在AB上，

S△ADE=

S△ABC

，在△ADE中，由余弦定理得：

（2）令

，则

则

令

，

则

；

有最小值

，此时DE∥BC，且

有最大值

，此时DE为△ABC

的边AB或AC的中线上.

变式训练3：

水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为

，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角

应该是多少？

解：

设

，则

，

所以

设两腰与下底之和为

，

则

当且仅当

时，上式取等号，即当

时，上式取等号

，所以下角

时，梯形两腰及下底之和达到最小．

例4.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。

问：

点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

解：

设

，在△AOB中，由余弦定理得：

于是，四边形OACB的面积为

S=S△AOB+S△ABC

因为

，所以当

，

，即

时，

四边形OACB面积最大．

变式训练4：

如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东

的C处，12时20分测得船在海岛北偏西

的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

解：

轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，

而船始终匀速前进，由此可见：

BC=4EB，设EB=

，则

则BC=4

，由已知得

在△AEC中，由正弦定理得：

在△ABC中，由正弦定理得：

在△ABE中，由余弦定理得：

所以船速

答：

该船的速度为

km/h

解三角形章节测试题

一、选择题

1．在

中，

，

，

，则

的面积是（　　）

A．

　　　　　B．

　　　　C．

　　　　D．

2．在

中，若

，则

的值为（　　）

A．

　　　　B．

　　　　C．

　　　D．

3．在

中，若

，则这个三角形中角

的值是（　　）

A．

或

　　　B．

或

　　　C．

或

　　　D．

或

4．在

中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）

A．

，

，

　　　　B．

，

，

C．

，

，

　　　　　D．

，

，

5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程

的根，则第三边长是（　　）

A．

　　　　　B．

　　　　C．

　　　　D．

6．在

中，如果

，那么角

等于（　　）

A．

　　　　　B．

　　　　C．

　　　D．

7．在

中，若

，

，此三角形面积

，则

的值是（　　）

A．

　　　　　B．

　　　　　C．

　　　　D．

8．在△ABC中，AB=3，BC=

，AC=4，则边AC上的高为（）

A．

　　B．

C．

D．

9．在

中，若

，

，

，则（　　）

A．

　　B．

C．

　D．

10．如果满足

，

，

的△ABC恰有一个，那么

的取值范围是（　　）

A．

　B．

　C．

　D．

或

二、填空题

11．在

中，若

，则最大角的余弦值等于_________________．

12．在

中，

，

，

，则此三角形的最大边的长为____________________．

13．在

中，已知

，

，

，则

__________________．

14．在

中，

，

，

，则

_______________，

_______________．

三、解答题

15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．

16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．

17.如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。

一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。

若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有

没有角礁的危险？

18．如图，货轮在海上以35nmile/h的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到