届湖南省高三上学期期末统测数学理试题解析版.docx
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届湖南省高三上学期期末统测数学理试题解析版
2020届湖南省高三上学期期末统测数学（理）试题
一、单选题
1．设集合A{x|yx3},B{x|1x9}，则（eRA）IB（）A．（1,3）B．（3,9）C．[3,9]D．
【答案】A
【解析】求函数定义域求得集合A，由此求得eRAB.
【详解】
因为A{x|x3}，所以eRAB（1,3）.
故选：
A
【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.
2．已知复数z
5i
2i
5i，则|z|（）
A．5
B．52
C．32
D．25
【答案】
B
【解析】
利用复数除法、
加法运算，化简求得
z，再求得z
【详解】
5iz
2i
5i（2
5
i）5i17i，故
5i
z|
（1）272
52.
故选：
B
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题
1
3．设a
1
33，
blog12，
3，c
12，则（）
3
A．b
ac
B．cb
aC．bca
D．cab
【答案】
C
【解析】
利用
“0,1分段法”比较出
a,b,c三者的大小关系.
【详解】
1
因为a331，blog120，0c121，所以bca.a3133
故选：
C
【点睛】
本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.
4．函数f（x）
2
cosx
3
的最小正周期为（）
A．
B．2
C．
D
4
2
答案】D
解析】利用降次公式化简fx表达式，再由此求得最小正周期
详解】
周期为.
故选：
D
【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.5．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）
1111
A．B．C．D．
61232
【答案】B
【解析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
11
骰子向上为6点的概率为，硬币向上为正面的概率为，故所求事件的概率为62
111
6212.
故选：
B
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
6．设m,n,l为三条不同的直线，a,为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）
A．若m,n,//，则m//nB．若m//,n//,mn，则
C．若m,n,，则mnD．m//,n//,lm,ln，则l
【答案】C
【解析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.
【详解】
A选项中，m,n可能异面；B选项中，,也可能平行或相交；D选项中，只有m,n相
交才可推出l.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直
故选：
C
点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题
7．若执行如图所示的程序框图，则输出的
答案】A
解析】根据程序框图运行所计算的
S的表达式，
结合对数运算，求得输出的S的值.
运行程序框图中的程序，可得
23482348
SlnlnlnLlnlnLln83ln2.
12371237
故选：
A
【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，考查对数运算，属于基础题.8．已知函数f（x）3|xa|2，且满足f（5x）f（3x），则f（6）（）
A．29B．5C．3D．11
【答案】D
【解析】根据f（5x）f（3x）求得fx的对称轴，也即求得a的值，从而求得f6的值.
【详解】
因为f（5x）f（3x），所以f（x）的图象关于x4对称，所以
a4,f（6）364211.
故选：
D
【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数值的求法，属于基础题.
9．已知抛物线C:
y212x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，
FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A,F,B三点共线，则|AF|（）A．16B．10C．12D．8
【答案】C
【解析】根据圆的几何性质，结合抛物线的定义，根据F到准线的距离，求得AF.【详解】
因为A,F,B三点共线，所以AB为圆F的直径，ADBD.由抛物线定义知
1
|AD|2EF|AF||AB|，所以ABD30.因为F到准线的距离为6，所以
2
|AF||BF|2612.
故选：
C
【点睛】
本小题主要考查圆的几何性质，考查抛物线的定义和几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
10．已知函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）xlnx1，则曲线yf（x）在x1处的切线方程为（）
A．yxB．yx2C．yxD．yx2
【答案】A
【解析】首先根据函数的奇偶性，求得当x0时，fx的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.
【详解】
因为x0，f（x）f（x）xln（x）1，f
（1）1，f（x）ln（x）1，
f
（1）1，所以曲线yf（x）在x1处的切线方程为y1x1，即
yx.
故选：
A
【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积
公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项
差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛
积术”现.有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第
答案】B
详解】
依题意
两两作差得
两两作差得
所以a191024.
故选：
B
点睛】
转化的数学思想方法，属于中档题
分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：
①ACBD；
②MN//平面ABD；
③三棱锥ACMN的体积的最大值为2；
12
④AD与BC一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①④D．①②④
【答案】D
【解析】①通过证明AC平面OBD，证得ACBD；②通过证明MN//BD，证得MN//平面ABD；③求得三棱锥ACMN体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD与BC一定不垂直.
【详解】设AC的中点为O，连接OB,OD，则ACOB，ACOD，又OBIODO，所以AC平面OBD，所以ACBD，故①正确；因为MN//BD，所以MN//平面ABD，故②正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，VACMN最大，最大值为
VACMNVNACM1122，故③错误；若AD与BC垂直，又因为
34448
ABBC，所以BC⊥平面ABD，所以BCBD，又BDAC，所以BD平面ABC，所以BDOB，因为OBOD，所以显然BD与OB不可能垂直，故④正确.故选：
D
点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空
间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题
二、填空题
36，则a2
13．已知数列an是等比数列，a11,a3
答案】6
详解】
故答案为：
6
点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题
答案】
详解】
故答案为：
点睛】
本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题
318
15．（2x3）8展开式中常数项为
x
【答案】112
式的常数项．
详解】
点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22
xy
16．双曲线221a20,b2
a2b2
为
解析】利用正弦定理求得F1F22PF2，利用椭圆和双曲线的定义求得a1a2c，进而由e1e21列方程，并转化为含有双曲线离心率e2的方程，由此求得双曲线的离心率.
【详解】设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，F1F22c，由正弦定理得
PF1F2，∴F1F22PF2，
PF2F1F2.∵sinF1PF22sin
sinPF1F2sinF1PF212
2a1，PF1PF22a2，∴PF12a1c2a2c，
cccc2221，c2a22a2c，两边除以a22并化a1a2a2ca2
15.
2.
∴PF2c.∵PF1PF2
∴a1a2c.又∵e1e2
简得e22e210，∴e
故答案为：
152
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题三、解答题
17．在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且（3ac）cosBbcosC0.
1）求sinB；
2）若a1,b22，求ABC的面积.
【答案】
（1）22
（2）72
（1）sinB
（2）
39
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cosB的值，进而求得sinB的值.
（2）利用余弦定理列方程，由此求得c，再利用三角形的面积公式求得三角形ABC的
面积.
【详解】
（1）因为（3ac）cosBbcosC0，
所以3sinAcosBsinCcosBsinBcosC0，所以3sinAcosB（sinBcosCsinCcosB）sinA.
因为sinA0，所以cosB=1，所以sinB22.
33
222222
2）由余弦定理得b2a2c22accosBa2c2ac.
因为a1,b22，所以c22c7
3
3
0，即3c2
2c21（c3）（3c7）0
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