人教版九年级上知识点试题精选一元二次方程根的判别式.docx

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人教版九年级上知识点试题精选一元二次方程根的判别式

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一元二次方程根的判别式

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一．选择题（共20小题）

1．关于x的方程：

k（k+1）（k﹣2）x2﹣2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

2．一元二次方程x2=﹣（

+1）x﹣2的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根D．无法确定

3．一元二次方程x（x+3）=5的根的情况是（　　）

A．无实数根B．有两个相等的无理数根

C．有两个相等的整数根D．有两个不相等的实数根

4．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1

5．若方程x2﹣kx=k有两个相等的实根，则k的值是（　　）

A．0B．﹣4C．4D．0或﹣4

6．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜10B．m=10C．m＞10D．m≥10

7．若

+|n﹣2|=0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥8B．a＜8且a≠0C．a≤8D．a≤8且a≠0

8．一元二次方程x2﹣3x﹣7=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．有一个实数根

9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0无实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＜2B．a＞2C．a＜﹣2D．a＜2且a≠1

10．下列方程中有实数根的是（　　）

A．x2+2x+2=0B．x2﹣2x+3=0C．x2﹣3x+1=0D．x2+3x+4=0

11．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+

m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是（　　）

A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤5

12．若方程x2﹣3x+c=0无实数解，那么c的取值范围是（　　）

A．c＜

B．c＞

C．c＞

D．c＜

13．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2B．m≠1C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1

14．关于x的方程x2﹣kx+k﹣2=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．不能确定

15．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（　　）

A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

16．下列说法正确的是（　　）

A．若ab＞0，则a+b≠0恒成立

B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

C．任意三角形的内角至少有一个角小于45°

D．若关于x的一元二次方程x2+abx+b2=0有两个相等的实数根，则a=±2

17．对于方程

的根的情况，下列说法中正确的是（　　）

A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根

C．方程没有实数根D．方程只有一个实数根

18．方程x2+px+q=0的两个根中，有一个且只有一个为0，则p、q应满足（　　）

A．p=0，q=0B．p=0，q≠0C．p≠0，q=0D．p≠0，q≠0

19．关于x的一元二次方程x2+2x=0的解的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

20．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（　　）

A．8B．7C．8或7D．9或8

第Ⅱ卷（非选择题）

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

评卷人

得分

二．填空题（共20小题）

21．如果关于x的方程x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是　　．

22．已知一元二次方程x2﹣6x+5﹣k=0的根的判别式△=4，则k=　　．

23．若关于x的方程x2﹣2（a﹣1）x=（b+2）2有两个相等的实根，则a=　　；b=　　．

24．若关于x的方程（a+c）x2+2bx﹣a+c=0有相等的两个实根，且a，b，c都为正数，则以a，b，c为边的三角形是　　三角形（即判断该三角形的形状）．

25．如果关于x的一元二次方程

x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　　．

26．若关于x的方程x2﹣mx+2=0有实数根，则m的值可以为　　．（任意给出一个符合条件的值即可）

27．关于x的一元二次方程2x2+kx+1=0有两个相等的实数根，那么k的值应该等于　　．

28．如果关于x的方程x2+3x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是　　．

29．若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k=　　．

30．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣（m﹣2）=0没有实数根，那么m的取值范围是　　．

31．关于x的方程（a+1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　．

32．关于x的方程kx2﹣4x+3=0有实数根，k的取值范围　　．

33．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，有下列说法：

①当k=0时，方程无解；

②当k=1时，方程有一个实数解；

③当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解；

④此方程总有实数解．

其中错误的是　　．

34．已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为　　．

35．若关于x的方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是　　．

36．若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个实数根，则m、n满足的条件是　　．

37．方程①x2+1=0；②（2x+1）2=0；③（2x+1）2+3=0；④（

x﹣a）2=a中，一定有实数解得是　　．

38．以下四个方程①x2﹣4x+1=0，②y2﹣y+3=0，③x2+9=6x，④x（5x+21）=20，其中有实数根的方程是　　（填写你认为正确的答案的序号）．

39．若关于x的方程（a﹣1）x2+5x﹣1=0有两个实数根，则a的取值范围为　　．

40．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的最小值为　　．

评卷人

得分

三．解答题（共10小题）

41．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+4（m﹣

）=0．

（1）判断这个一元二次方程的根的情况；

（2）对任意实数m，这个一元二次方程都有一个相同的解，求这个解；

（3）若等腰三角形的一边长为2.5，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

42．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0），若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

43．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）如果k=﹣2，求出方程的根．

44．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0

（1）求证：

不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长为a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

45．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．

（1）当m取何值时，方程有两个实数根．

（2）在m＜2范围内，为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．

46．设关于x的方程mx2+（m2﹣10）x+2m+6=0有整数根，求整数m．

47．已知关于x的一元二次方程

有两个实数根，若m为正整数，求此方程的根．

48．

（1）计算：

已知x=2﹣

，y=2

，求2x+y的值；

（2）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0

（a）当m=3时，判断方程的根的情况；

（b）当m=﹣3时，求方程的根．

49．已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）求证：

x=﹣1不可能是此方程的实数根．

50．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0

（1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；

（2）求证：

不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

一元二次方程根的判别式

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．关于x的方程：

k（k+1）（k﹣2）x2﹣2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】分类讨论：

当k（k+1）（k﹣2）=0且（k+1）（k+2）≠0，原方程为一元一次方程，此时k=0或2；当k（k+1）（k﹣2）≠0，原方程为一元二次方程，再解△=4[（k+1）（k+2）]2﹣4k（k+1）（k﹣2）（k+2）=0得到k=﹣2或﹣

．

【解答】解：

当k（k+1）（k﹣2）=0且（k+1）（k+2）≠0，原方程只有一个实数解，解得k=0或2；

当k（k+1）（k﹣2）≠0且△=4[（k+1）（k+2）]2﹣4k（k+1）（k﹣2）（k+2）=0时，原方程只有一个实数解，解得k=﹣2或﹣

．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元一次方程的解．

2．一元二次方程x2=﹣（

+1）x﹣2的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根D．无法确定

【分析】先计算出根的判别式△的值，再根据△的值就可以判断根的情况．

【解答】解：

∵x2=﹣（

+1）x﹣2，

∴x2+（

+1）x+2=0，

∴△=b2﹣4ac=（

+1）2﹣4×1×2=2

﹣4＜0，

∴原方程没有实数根．

故选B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

3．一元二次方程x（x+3）=5的根的情况是（　　）

A．无实数根B．有两个相等的无理数根

C．有两个相等的整数根D．有两个不相等的实数根

【分析】把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．

【解答】解：

∵原方程可化为x2+3x﹣5=0，

∴a=1，b=3，c=﹣5，

∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣5）=29＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选D．

【点评】总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1

【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．

【解答】解：

由题意知：

k≠0，△=36﹣36k＞0，

∴k＜1且k≠0．

故选：

C．

【点评】总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键．

5．若方程x2﹣kx=k有两个相等的实根，则k的值是（　　）

A．0B．﹣4C．4D．0或﹣4

【分析】先把方程化为一般形式：

x2﹣kx﹣k=0，由方程x2﹣kx=k有两个相等的实根，得△=k2﹣4×1×（﹣k）=0，解k的方程即可．

【解答】解：

方程化为一般形式为：

x2﹣kx﹣k=0，

∵方程x2﹣kx=k有两个相等的实根，

∴△=k2﹣4×1×（﹣k）=0，即k2+4k=0，

解得k=0或﹣4．

故答案为D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

6．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜10B．m=10C．m＞10D．m≥10

【分析】根据关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则△＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．

【解答】解：

方程有两个不相等的实数根，

∴△=36﹣4（m﹣1）＞0，

解得m＜10．

故选A．

【点评】本题考查了根的判别式，解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根；

据此即可把求未知系数的问题转化为解不等式的问题．

7．若

+|n﹣2|=0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥8B．a＜8且a≠0C．a≤8D．a≤8且a≠0

【分析】先由非负数的性质求出m与n的值，再根据关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0有实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．

【解答】解：

∵

+|n﹣2|=0，

∴m﹣8=0，n﹣2=0，

∴m=8，n=2，

∵关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0，即ax2+8x+2=0有实数根，

∴△=b2﹣4ac=82﹣4×a×2=64﹣8a≥0，

解得：

a≤8，

∵方程ax2+8x+2=0是一元二次方程，

∴a≠0，

∴a的范围是：

a≤8且a≠0．

故选D．

【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有实数根，即可得△≥0．同时考查了非负数的性质与一元二次方程的定义．

8．一元二次方程x2﹣3x﹣7=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．有一个实数根

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：

∵△=（﹣3）2﹣4×1×（﹣7）=37＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．

9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0无实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＜2B．a＞2C．a＜﹣2D．a＜2且a≠1

【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0无实数根，

∴

，

解得：

a＞2．

故选B．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合一元二次方程的定义找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．

10．下列方程中有实数根的是（　　）

A．x2+2x+2=0B．x2﹣2x+3=0C．x2﹣3x+1=0D．x2+3x+4=0

【分析】由选项中的方程即可得根的判别式的符号，根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况．

【解答】解：

A、△=22﹣4×1×2=﹣6＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；

B、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；

C、△=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，则该方程有实数根，故本选项正确；

D、△=32﹣4×1×4=﹣7＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；

故选：

C．

【点评】本题考查了根的判别式．总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

11．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+

m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是（　　）

A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤5

【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣x+

m﹣1=0有实数根，a=1，b=﹣1，c=

m﹣1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（

m﹣1）≥0，

解得m≤5．

故选D．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

12．若方程x2﹣3x+c=0无实数解，那么c的取值范围是（　　）

A．c＜

B．c＞

C．c＞

D．c＜

【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．

【解答】解：

∵关于x的方程x2﹣3x+c=0没有实数根，

∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×c＜0，

解得：

c＞

，

故选B．

【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣3）2﹣4×1×c＜0是解此题的关键．

13．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2B．m≠1C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1

【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

【解答】解：

∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，

∴

，

解得：

m≤2且m≠1．

故选D．

【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．

14．关于x的方程x2﹣kx+k﹣2=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．不能确定

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

【解答】解：

∵a=1，b=﹣k，c=k﹣2，

∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（k﹣2）=k2﹣4k+8=（k﹣2）2+4＞0

∴方程有两个不相等的实数根．

故选A

【点评】总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

15．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（　　）

A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．

能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．

【解答】解：

∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），

根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．

∴△＜0．

∴该方程没有实数根．

故选A．

【点评】本题是方程与几何的综合题．

主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．

16．下列说法正确的是（　　）

A．若ab＞0，则a+b≠0恒成立

B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

C．任意三角形的内角至少有一个角小于45°

D．若关于x的一元二次方程x2+abx+b2=0有两个相等的实数根，则a=±2

【分析】根据根的判别式、有理数的乘法、及三角形内角和定理及平行四边形的性质逐项判断即可得到答案．

【解答】解：

A、若ab＞0，则a、b同号，则a+b≠0恒成立，本选项正确；

B、对角线互相垂直的四边形还可能是等腰梯形，故本选项错误；

C、等边三角形的内角都等于60°，故本选项错误；

D、根据方程有两个相等的实根得到a2b2﹣4b2=0，不一定a=±2，故本选项错误．

故选A．

【点评】本题考查了根的判别式、有理数的乘法、及三角形内角和定理及平行四边形的性质，知识点较多，但并不难．

17．对于方程

的根的情况，下列说法中正确的是（　　）

A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根

C．方程没有实数根D．方程只有一个实数根

【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．

【解答】解：

∵方程

的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣1，常数项c=﹣

，

∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣

）=3＞0，

∴方程

有两个不相等的实数根．

故选A．

【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

18．方程x2+px+q=0的两个根中，有一个且只有一个为0，则p、q应满足（　　）

A．p=0，q=0B．p=0，q≠0C．p≠0，q=0D．p≠0，q≠0

【分析】方程x2+px+q=0的两个根中只有一个是0，则方程有两个不同的实数根，把x=0代入x2+px+q=0可得q=0；方程有两个根，可利用△＞0求出p的取值．

【解答】解：

由题意，把x=0代入x2+px+q=0，得：

q=0；

又∵方程有两个不同的根，

∴△=p2﹣4q=p2＞0，

∴p≠0．

故选C．

【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

△＞0时方程有两个不相等的实数根．

19．关于x的一元二次方程x2+2x=0的解的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：

∵△=22﹣4×1×0=4＞0，

∴方程有两个不相等的两个实数根．

故选A．

【点评】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

20．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n