高中数学第一章三角函数16余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4.docx

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高中数学第一章三角函数16余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

高中数学第一章三角函数1-6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

6.2　余弦函数的性质

1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．

2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．（重点）

3．掌握余弦函数的性质及应用．（重点、难点）

[基础·初探]

教材整理　余弦函数的图像与性质

阅读教材P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．

1．利用图像变换作余弦函数的图像

余弦函数y＝cosx的图像可以通过将正弦曲线y＝sinx向左平移个单位长度得到．如图1－6－1是余弦函数y＝cosx（x∈R）的图像，叫作余弦曲线．

图1－6－1

2．利用五点法作余弦函数的图像

画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cosx（x∈[0,2π]）的图像上有五个关键点，为（0,1），，（π，－1），，（2π，1），可利用此五点画出余弦函数y＝cosx，x∈R的简图（如图1－6－2）．

图1－6－2

3．余弦函数的性质

图像

定义域

R

值域

[－1,1]

最大值，

最小值

当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；

当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1

周期性

周期函数，T＝2π

单调性

在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是增加的；

在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是减少的

奇偶性

偶函数，图像关于y轴对称

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）余弦函数y＝cosx的定义域为R.（　　）

（2）余弦函数y＝cosx的图像可由y＝sinx的图像向右平移个单位得到．（　　）

（3）在同一坐标系内，余弦函数y＝cosx与y＝sinx的图像形状完全相同，只是位置不同．（　　）

（4）正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．（　　）

【解析】　

（1）（3）正确；余弦函数y＝cosx＝sin，即可看作是y＝sinx向左平移个单位得到的，因而

（2）错；正、余弦函数有相同的周期（都是2π），相同的最大值（都是1），相同的最小值（都是－1），也都有单调区间，但单调区间不同，因而（4）错．

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

疑问2：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

疑问3：

_________________________________________________________

解惑：

___________________________________________________________

[小组合作型]

五点法作图

　用“五点法”作函数y＝1－cosx（0≤x≤2π）的简图．

【精彩点拨】　利用“五点法”：

列表―→描点―→连线

【自主解答】　列表：

x

0

π

2π

cosx

1

0

－1

0

1

1－cosx

0

1

2

1

0

描点并用光滑的曲线连接起来，如图．

作函数y＝acosx＋b的图像的步骤

1．列表：

由x＝0，，π，，2π时，cosx＝1,0，－1，0,1，求出y值．

2．描点：

在同一坐标系中描五个关键点．

3．连线：

用平滑曲线．

[再练一题]

1．作出函数y＝1－cosx在[－2π，2π]上的图像．

【解】①列表：

x

0

π

2π

y＝cosx

1

0

－1

0

1

y＝1－

cosx

1

1

②作出y＝1－cosx在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出y＝1－cosx在x∈[－2π，2π]上的图像．

如图所示：

与余弦函数有关的定义域问题

　求下列函数的定义域．

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝log2（－1＋2cosx）＋.

【精彩点拨】　写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义域，求若干个不等式的交集即可．

【自主解答】　

（1）要使y＝有意义，则必须满足2cosx＋1≥0，即cosx≥－.

结合余弦函数的图像得y＝的定义域为.

（2）要使函数有意义，

则即

cosx>的解集为

，

x2≤9的解集为{x|－3≤x≤3}，

取交集得.

∴原函数的定义域为.

1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：

（1）选取一个合适的周期；

（2）确定边界值．

2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集．

3．当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等式解集中的k进行讨论．

[再练一题]

2．求下列函数的定义域．

（1）y＝；

（2）y＝log（2cosx－）．

【解】　

（1）要使函数有意义，则有－cosx≥0，

∴cosx≤，可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.

故所求函数的定义域为

.

（2）要使函数有意义，则有2cosx－>0，

∴cosx>，故所求定义域为

.

余弦函数的单调性及应用

（1）函数y＝1－2cosx的单调增区间是________；

（2）比较大小cosπ________cos.

【精彩点拨】　

（1）y＝1－2cosx的单调性与y＝－cosx的单调性相同，与y＝cosx的单调性相反．

（2）利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．

【自主解答】　

（1）由于y＝cosx的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z），所以函数y＝1－2cosx的增区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）．

（2）由于cosπ＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos＝cos，

y＝cosx在[0，π]上是减少的．

由<知cos>cos，

即cosπ

【答案】　

（1）[2kπ，2kπ＋π]　

（2）<

1．形如y＝acosx＋b（a≠0）函数的单调区间

（1）当a>0时，其单调性同y＝cosx的单调性一致；

（2）当a<0时，其单调性同y＝cosx的单调性恰好相反．

2．比较cosα与cosβ的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．

[再练一题]

3．

（1）比较大小：

cos与cos；

（2）求函数y＝log（cos2x）的增区间．

【解】　

（1）cos＝cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos＝cos.

∵0<<<π，且y＝cosx在[0，π]上递减，

∴cos

即cos

（2）由题意得cos2x>0且y＝cos2x递减．

∴x只须满足：

2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z，

∴kπ

∴y＝log（cos2x）的增区间为，k∈Z.

[探究共研型]

与余弦函数有关的最值问题

探究1　余弦函数在第一象限内是减函数吗？

【提示】　不是．余弦函数y＝cosx在内是减函数，但不能说在第一象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos60°

探究2　求与余弦函数相关的最值问题时应注意什么？

【提示】　首先看函数的定义域，一定注意在定义域内求最值．

探究3　对于y＝Acos2x＋Bcosx＋C型的函数如何求最值？

【提示】　利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．

　求下列函数的最值．

（1）y＝－cos2x＋cosx；

（2）y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈.

【精彩点拨】　本题中的函数可以看作是关于cosx的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．

【自主解答】　

（1）y＝－2＋.

∵－1≤cosx≤1，

∴当cosx＝时，ymax＝.

当cosx＝－1时，ymin＝－2.

∴函数y＝－cos2x＋cosx的最大值为，最小值为－2.

（2）y＝3cos2x－4cosx＋1

＝32－.

∵x∈，cosx∈，

从而当cosx＝－，即x＝时，ymax＝；

当cosx＝，即x＝时，ymin＝－.

∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.

求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：

（1）sinx，cosx的有界性；

（2）sinx，cosx的单调性；

（3）化为sinx＝f（x）或cosx＝f（x），利用|f（x）|≤1来确定；

（4）通过换元转化为二次函数．

[再练一题]

4．已知函数y＝－cos2x＋acosx－a－的最大值为1，求a的值.

【导学号：

66470018】

【解】y＝－cos2x＋acosx－a－

＝－2＋－－.

∵－1≤cosx≤1，于是

①当<－1，即a<－2时，当cosx＝－1时，

ymax＝－a－.

由－a－＝1，得a＝－>－2（舍去）；

②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当cosx＝时，ymax＝－－.

由－－＝1，得a＝1－或a＝1＋（舍去）；

③当>1，即a>2时，当cosx＝1时，ymax＝－.

由－＝1，得a＝5.

综上可知，a＝1－或a＝5.

[构建·体系]

1．函数y＝2cosx－1的最大值、最小值分别是（　　）

A．2，－2　　　　　B．1，－3

C．1，－1D．2，－1

【解析】∵－1≤cosx≤1，

∴－2≤2cosx≤2，

∴－3≤2cosx－1≤1，

∴最大值为1，最小值为－3.

【答案】　B

2．函数y＝sinx和y＝cosx都是减少的区间是（　　）

A．（k∈Z）

B.（k∈Z）

C.（k∈Z）

D.（k∈Z）

【解析】　结合函数y＝sinx和y＝cosx的图像知都减少的区间为（k∈Z）．

【答案】　C

3．函数y＝的定义域是________.

【导学号：

66470019】

【解析】　由题意知1＋cosx≠0，即cosx≠－1，结合函数图像知.

【答案】

4．满足＋2cosx≥0（x∈R）的x的集合是________．

【解析】∵＋2cosx≥0，

∴cosx≥－，结合图像（略）知：

－π＋2kπ≤x≤＋2kπ（k∈Z）．

【答案】

5．画出y＝1－3cosx在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．

【解】　列表：

x

0

π

π

2π

cosx

1

0

－1

0

1

1－3cosx

－2

1

4

1

－2

图像如下：

由图像可知，函数y＝1－3cosx在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，减区间为[π，2π]．

我还有这些不足：

（1）______________________________________________________________

（2）______________________________________________________________

我的课下提升方案：

（1）______________________________________________________________

（2）______________________________________________________________