二元函数极限证明完整版.docx
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二元函数极限证明完整版
二元函数极限证明
二元函数极限证明
第一篇：
二元函数极限证明
二元函数极限证明
设p=f教学目的：
掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．
教学内容：
二元函数的极限的定义；累次极限．
基本要求：
较高要求：
掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．
教学建议：
要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极
限的方法．
对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．
一二元函数的极限
先回忆一下一元函数的极限：
limf时，f法则。
类似地,二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。
为了叙述上的方便,对它的特殊情形=）作出如下研究,并得到相应的法则与定理。
二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时,函数
值的变化趋势。
是高等数学中一个极其重要的问题。
但是,一
般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限,无论从计算还
是证明都具有更大的难度。
本文就二元函数极限的问题作如
下探讨。
第四篇：
二元函数的极限与连续
§
3二元函数的极限与连续
定义
设二元函数有意义,若存在
常数a,
都有
则称a是函数当点趋于点
或
或
趋于点时的极限,记作
。
的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或
必须注意这个极限值与点
论p以什么方
向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向
分接近,就能使。
只要p与充与a接近到预先任意指定的程度。
注意：
点p趋于点点方式可有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7
同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时,
极限
在该点
存在,但不相等,则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。
极限不存在。
这是判断多
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极
限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若
有
其中
。
求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理
来计算。
例4求。
解由于
而
根据夹逼定理知
所以。
a≠0）
。
解
例
求
（
。
例6求。
解
由于理知
且,所以根据夹逼定
.例7
研究函数
在点
处极限是否存在。
解当x2
+2≠0时，我们研究函数，沿x→0,=kx→0这一方式趋于
（0，0
）的极限，有值，可得到不同的极限值,所以极限
不存在,但
。
很显然，对于不同的k
。
注意：
极限方式的
的区别,前面两个求
本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的
极限,我们称为求二重极限。
例8
设函数极限都不存在,因
为对任何
当
时
。
它关于原点的两个累次
的第二项不存在极限；同理对任何
时,的第一项也不存在极限,
但是因此
。
由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存
在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:
定理1若累次极限
都存在,则
三者相等（证明略）。
推论
若但不相等,
则二重极限
不
存在
和二重极
限
由于
存在。
定义设
在点的某邻域内有意义,
且称
函
数
则
在
点
处
连
续
记
上式称为函数的全增
量
。
则。
定义
增量。
为函数对x的偏
二元函数连续的定义可写为
偏增量。
若
断点,若
在点
为函数（值）对的
处不连续,
则称点
是
的间
在某区域
在区域g上连续。
若
在闭区域g
g上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点
处成立
则称
为连续曲面。
在闭域g上连续。
闭域上连续的二元函数的图形称
关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、antor
定理,对于
二元函数也相应成立。
可以证明如下的重要结果：
定理2设
在平面有界闭区域g上连续,则
（1）必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2
）
当
时,都有
。
以上关于二元函数的
在g上一致连续,即
极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。
第五篇：
函数极限的证明
函数极限的证明
时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证单侧极限:
1.定义：
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的
单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质
教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
附送：
二分钟英语演讲稿
二分钟英语演讲稿
hello,thankoufrequentlmention,letthematerialonthisitiththeneorkparabletothespiritualivilization.eduateourstudentstoexiting201X,illingtoshanghai'sfuturebopiesofpoer,ifonlplantedasmalltree,partiipantsintheshanghaiorldexpoforeignguestsfeel:
thisisaforestit,pollution-freeit,anientandivilizedit.betterit,betterlife!
untilthetimeofthe201Xexpo,then,eanttobeeagloriousvolunteers,tohangingourforeignfriendsinshanghaiandhina'slonghistor,aboutoureduationfortheorldexpoillontributetheirefforts.
eexpetthemajoritofteahersillbegreatenthusiasmfortheorldexpointopratialationtomeettheorldexpo,theexpoillbeatotalgroth,andtheitofdevelopment,thedevelopmentofshanghaidevotetheireffortstoadvanehandinhandithshanghai.
第三篇：
2分钟英语演讲稿
ientertileuniversitafterearsofhardstudandpreparation.butlifeintheuniversitisnotassatisfator（满意）ashatihadexpeted.ibeelazanddon'tanttostud.ibeesilent.ibeepuXXled.idon'tknohatiandointhefuture.thenibeeunhapp.
fourearsintheuniversitisonlashortperiodhenparedmholelifetime.noithaspassedahalf.inthisear,manpeople,suhasmparents,mfriends,askmehatianttodoandtellmetomapoutaplanformlife.idon'tanttofollotheirsuggestion,andianttogom.soithinkarefull.ihavebeenaoungvolunteer（志愿者）forfiveears.it'sverhappandsignifiant.thenihaveadream.ianttojointheuniversitstudentvolunteersgoestprograme.ithinkianbeateaherintheest.ianttotrmbesttohelpthemandhelpme.ianttoseetheorldearl.noian'treahitsdemandandit'sverdiffult,butiillorkhardinthenexttoears.thereisanoldsaingherethereisaill,thereisaa.（有志者事竟成）ithinkmdreamaneture.nointheuniversitimature,andintheuniversitipreparefortherealorld.
atlast,ianttosatoeverbodhlodfasttoourdreams,nomatterhobigorsmalltheare.thepathtodreamsmanotbesmooth（平滑）andide,evensomesarifies（牺牲）areneeded.butholdontotheend,ouanfindthereisnogeaterhappinessthanmakingourdreameture.
第四篇：
3分钟英语演讲稿
hi,
mtopitodais:
ordthathashangedtheorld
aordthathashangedtheorldeduationoftheirhildrenishighlvaluedbparents.togeteduationintheuniversitiesabroadhasbeenthedreamsforboththeparentsandtheirhildren.torealizethesedreams,theparentshavetosavealargeamountofmoneforthestudies,beauseinternationalflightsostalot.inaddition,thetuitionabroadisnotheap.parentsshouldalsohavetopaforthefood,roomandutilitiesfortheirhildrenattheshoolabroad.thehildrenalsoneedsomemonefortheentertainmentandsoialevents.thelothingillostquitealittle.besides,theneedextramonetooversomeunexpetedexpenses,likelong-distaneallsandsoon.
allinall,theparentsshouldhekouthomuhthelivingandtuitionillostfortheirhildrentostudabroad.theshouldgetpreparedinadvane.
thankou.
第五篇：
英语演讲稿3分钟
aseveroneknos,englishisverimportanttoda.ithasbeenusedeverhereintheorld.ithasbeethemostmonlanguageoninternetandforinternationaltrade.ifeanspeakenglishell,eillhavemorehanetosueed.beausemoreandmorepeoplehavetakennotieofit,thenumberofthepeoplehogotolearnenglishhasinreasedatahighspeed.
butformself,ilearnenglishnotonlbeauseofitsimportaneanditsusefulness,butalsobeauseofmloveforit.henilearnenglish,ianfeeladifferentaofthinkinghihgivesmemoreroomtotouhtheorld.henireadenglishnovels,ianfeelthepleasurefromthebookhihisdifferentfromreadingthetranslation.henispeakenglish,ianfeeltheonfidentfrommords.heniriteenglish,ianseethebeauthihisnotthesameasourhinese
iloveenglish,itgivesmeaolorfuldream.ihopeiantravelaroundtheorldoneda.ithmgoodenglish,ianmakefriendsithmanpeoplefromdifferentontries.ianseemanplaesofgreatintrests.idreamthatiangotolondon,beauseitisthebirthplaeofenglish.
ialsoanttousemgoodenglishtointrodueourgreatplaestotheenglishspokenpeople,ihopethattheanloveourountrlikeus.
ikno,romeasnotbuiltinada.ibelievethatafterontinuoushardstud,onedaianspeakenglishverell.
ifouanttobeloved,oushouldlearntoloveandbelovable.soibelieveasiloveenglisheverda,itilllovemetoo.
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