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统计学三大分布及正态分布的关系
裁廿学三大分布与正态分布的关系⑴
张柏林41060045理实1002班
摘要：
本文首先将介绍才分布，，分布，F分布和正态分布的定义及基本性尿
然后用理论说明才分布，f分布，F分布勻正态分布的关系，并冃利用数学軟件
MATLAB来验ii［之.
1•三大分布函数⑵
1.1力2分布
*（〃）分布是一种连续塑砸机变量的啊率分布。
这个分布是由别奈梅
（Benayme）、赫尔默特（Helmert）.皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现,
它是由正态分布派生岀来的，主要用于列朕表检验。
定义：
若肛变量XrX2/-Xnffl互抄立，冃都来自正态总体N（04）,81]
貌it量F二x：
+x；+・・・+x：
为服从自由度为n的才分布，记为才~*（川）・
才分布的枫率密度函数为
一!
一XrI/2x>0
f（x\n）=<
2咤）
0x<0
其中伽吗函数M）彳小7,x>0,严布的密度函数图形是一个只取非负值
0
的偏态分布，如下图.
卡方分布具有fill下基本性质：
性质仁£（Z2W）=n,D（Z2（n））=2n;
ttffi2:
若X]=*（q）,X2=*62）,XpX,相互独立,则X|+X2~*（q+n2）；
性质3:
”-时，才（n）T正态分布;
性质4：
设宀伽,对紿定的实数a（0件:
P才〉加5）}=J^（n）/UW-'=Q的点、加00为Z2（«）分布的水平a的上n分位数.简称为上侧&分位数.对不同的Q与〃，分位数的值已经编制成表哄查
用.
Z2（n）分布的上&分位数
12分布
/分布也號为学生分布，是由英国统it学家戈赛特在1908年“student"的笔名
首次发表的，这个分布在数理貌廿中也占有重要的位置.
V定义：
设X~N（O,1）,Y〜*（n）,X"相互独立，，册］称统廿量卩=〒=服yJY/n
从自由J8为”的f分布，记为了~t（n）.
f分布的密度函数为
『分布的密度函数图
P{T>ta（n）}=[f（x）dx=a的点ta（n）为t（n）分
•叽5）
布的水平&的上侧分位数.由密度函5
的对称性，可需『*（“）=—““）•类眦地，我111可
以给岀/分布的双制分位数
P{\T\>0/2（"）}=匸小"”/（a-）Ja-+匚叶f（x）dx=a,显然有P{T>tai2（n）}=^tP{T<-tan（n）}样•对
不同的&与",r布的双侧分位数可从附表查得.
1.3F分布
F分布是險机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛.它可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等.F分布还是方差分折和正交设廿的理论基础.
定义：
设x^2（«）,r~r（m）,x,Y相互独立，令量尸=淬服
Y/m
从为第一自由度为”,第二自由度为加的F分布.
F分布具有如下一些111贯：
性质1：
若F~F（〃,也）,贝ijl/F~F（niji）.
1112:
若X~g）,MX2~r（l,n）・
9
11质3:
设F~耳（仏加），对给定的实数a（Ovavl）,称满足条件;
的&Fa（%m）为F（njn）分布的水平a的上侧分也数.
F分布的上a分位数
F分布的上侧分位数的可自附表査得.
性质4:
Fa（m,n）=-^.ft式常常用来求F分布表中没有列岀的某些上侧
分位数.
1.41态分布
正杏分布是数理统廿中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础.
高斯（Gauss）在研究i灵差理论时首先用正态分布来刻画锲差的分布，所以正态分布Q称为高斯分布.正态分布有两个参数，卩和6决定了正态分布的位置和形态.为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为片0,o=1的标准正态分布N（0,1）.
正态分布的密度函数和分布函数
若连续Siam变量X具有IR率密度/（x）为
_（.v-x/）2
f（x）=e河，yovx<+oo,其中“,b（b>o）为常数，则称X服从参数j2/rb
为“b的正态分布，记为X~N（“or2）.
正态分布的密度函数图
特征1：
正态曲线（normalcurve）在横辆上方均数处最高;
特征2：
正态分布以均数为中心，左右对称；
特征3：
正态分布有两个参数，即均数“和标准差只“是位置参数，bg|定不变时，〃越大，曲线沿横轴越向右務动；反之，"強小，则曲线沿横轴極向左務动.”是形状参数，当〃固定不变时，b極大，曲线極平阔；bjg"、，曲线越尖帕.通常用N®/）表示均数为“，方差为/的正态分布.用N（O,1）表示标准正态分布.
特征4：
正态曲线下面枳的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面枳占总面枳的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（颛数分布）或观察值落在该区间的IB率.正态曲线下一定区间的面枳可以通11标准正态分布函数表求得。
对于正态或近眦正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其额数分布作出做约估廿.
2.三大分布与正态分布的密度函数比较
2.1才分布收敛于正态分布
设S师则对任意X,有即（拐仆吉A
iiE明：
因为Z2（n）分布的E（Z2）=£（$>；）=$>（#）=±D（xJ
1-1j・l1-1
D（F）=»（£#）=乞险：
）=2“
/-If-1
x-n
>/2n
所以由加立同分布中心极限定理得Y=^tN（0,1）
因为x~
所以x=n+\/2ny
因为\fY（y）dy\=\fX（x）dx\
所以fy（y）=—J—s+丁5亦）厂7才”販）牛
r（_）2n/2Jy
2
——L—侍（i+£刃匕-严孙y/^T（尹2\n
=‘—（川——（2〃?
）心（1+.p-y）H,-1
陌75乔・甘・严・沪■2川V〃厂
=1（1+佢旷柘）
4伍•严占V/»*
所以/分布的极限分布为正态分布
下面用MATLAB来验込上面结论，首先定义才（“）分布函数和相应的正态分布
N53,再依次JB大”,比较两者关系：
⑷
从上面三个图形可以看出«ni大，z2（n）分布密度函数与正态分布N（n,2n）®函数越接近,这就和所证结论相符合.
2.2/分布收敛于标准正态分布
若乙！
O自由度为讪亦■时心沪忌匚「％⑴
证法仁由于自由度为n的/分布的Ift率密度函数为
「严+1、
厂（一^-）2上
P（X；/7）=二——（1+—）2,YCV牙V+S
皿r（©/?
2
毗⑴式等价于忠p（2恳严宀―
（2）
先利用Stirling公式：
m!
=J2mi・•e6lK,012加
口呼）1证明lim—=*
i皿（3迈
2
事实上，利用r函数的tl®
22
5-1）（"一3）……⑺—2k+i）r（-~^+-）
2皿?
-2）（〃-4）……（n-2k+2）r（-?
~2A'+2）
2
当n=2k^
厂（呼）（2k—l）（2k—3）……l-r（l）
后（叮2负（2k-2）（2£-4）......2•厂⑴
2
（2k-\血陌莎不•（予严“
2何2心（伙一I）!
）?
2何・2心.（J2;r伙一1）.（匕严尸
=C
2y/2k-22k~2•2兀伙-1）-伙二匕一
e・
=寺密心是严宁挣i）
当〃=2«+1时亦可推出同样的结果。
另外,由特殊极限公式可得
V2-空v24已£丄
+_）2=lim[（l+3丁2=幺2/t->®fl/?
->®fl
综合上朮，BOiiE明
（2）式
所以，f分布的极限分布是正态分布.
下面用MATLAB来验证上面结论，首先定义分布函数和相应的正态分布
从上面三个图形可以看岀，苗W）分布密贋函数与正态分布M。
為度函
数越接近,这就和所证结论相符合.
2.3F分布收敛于标准正盗分布
若尸=泮服从为第一自由度为加，第二自由度为”的F分布，则Yin
证明：
当m-»oo时y/m—所以F—^X/n
因为Qms）晋V
所以F分布的檢限分布是正态分布.
下面用MATLAB来验证上面结论,首先定义F（m9n）分布函数和相应的正态分
从上面三个图形可以看岀，□越大，F（fnjt）分布密度函数与正态分布
N宀加啓〃二1）度函数越接近，这就和所込结论相符合•n-2zn（/i-2）*（/?
-4）
在实际应用中我们住往在取得总体的样本后，通常是借助样本的境廿量对未知的总体分布SH亍推斷，为此须进一步确定相应的统廿量所服从的分布，正态分布、才2（"）分布、f分布、F分布是统ii•学最基本的四种分布,而Z2（n）分布、f分布和F分布Q都收敛干正态分布，可见正态分布在统址学中的地忆实际上,证明Z2W»布、M布和F分布收敛于正态分布的方袪很多,本质上都是应用了大数定理和中心极限定理.既然三大抽样分布都收敛干正态分布，则当样本容量很大时，就可以用正态分布来近眦三大抽样分布.本文主要还利用了廿算机軟件来验证数学上的理论证明，在现代数学学习中，我们是离不开计算机的,Hilt我们也应多学习一些软件的使用.
参考文献：
[1]XX学士学位论文.境it学三大分布习正杏分布的差异.扬州大学.2010
⑵范玉妹，汪飞星，壬萍，李则.禰率论与数理统计.机械工业出版社.2007
[3]宗序平，俊，伟.筑计学上三大分布推导方法.2009
[4]壬福昌，曹慧荣.Z2（n）ft布、『分布和F分布的近似计算.2008
[5]李贤平，沈崇圣，陈予毅.概率论与数理貌计•夏旦大学出版ft.2005
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