解一元二次方程的方法.docx
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解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法之宇文皓月创作
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程（quadraticequationofonevariable）。
一元二次方程有四个特点：
（1）含有一个未知数；
（2）且未知数次数最高次数是2；
（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。
（4）将方程化为一般形式：
ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）
弥补说明
1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。
（但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法）
2、该部分是高考的热点。
3、方程的两根与方程中各数有如下关系：
X1+X2=-b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）
4、方程两根为x1，x2时，方程为：
x^2-（x1+x2）X+x1x2=0（根据韦达定理逆推而得）
5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。
一般式
ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0）
例如：
x^2+2x+1=0
配方式
a（x+b/2a）^2=（b^2-4ac）/4a^2
两根式（交点式）
a（x-x1）（x-x2）=0
一般解法
1.分解因式法
（可解部分一元二次方程）
因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如
1.解方程：
x^2+2x+1=0
解：
利用完全平方公式因式解得：
（x+1﹚^2=0
解得：
x?
=x?
=-1
2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0
解：
利用提公因式法解得：
（x-3）（x+1）=0
即x-3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=-1
3.解方程x^2-4=0
解：
（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴x?
=-2，x?
=2
十字相乘法公式：
x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
例：
1.ab+b^2+a-b-2
=ab+a+b^2-b-2
=a（b+1）+（b-2）（b+1）
=（b+1）（a+b-2）
2.公式法
（可解全部一元二次方程）
首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）
2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2
3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：
x={-b±√（b^2－4ac）}/2a
来求得方程的根
3.配方法
（可解全部一元二次方程）
如：
解方程：
x^2+2x－3=0
解：
把常数项移项得：
x^2+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：
x^2+2x+1=4
因式分解得：
（x+1）^2=4
解得：
x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
4.开方法
（可解部分一元二次方程）
如：
x^2-24=1
解：
x^2=25
x=±5
∴x?
=5x?
=-5
5.均值代换法
（可解部分一元二次方程）
ax^2+bx+c=0
同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0
设x1=-b/（2a）+m，x2=-b/（2a）-m（m≥0）
根据x1*x2=c/a
求得m。
再求得x1,x2。
如：
x^2-70x+825=0
均值为35，设x1=35+m，x2=35-m（m≥0）
x1*x2=825
所以m=20
所以x?
=55，x?
=15。
一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
一般式：
ax^2+bx+c=0的两个根x?
和x?
的关系：
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。
如果要介入竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.暗示法
例题精讲
1、开方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m）^2=n（n≥0）的方程，其解为x=m±√n
例1．
（1）（3x+1）^2=7分析：
此方程显然用直接开平方法好做。
（1）解：
（3x+1）^2=7
3x+1=±√7
∴x1=...,x2=...
（2）9x^2-24x+16=11方程左边是完全平方式（3x-4）^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解
解：
9x^2-24x+16=11
（3x-4）^2=11
3x-4=±√11
∴x1=...,x2=...
2．配方法：
例1用配方法解方程3x^2-4x-2=0
解：
将常数项移到方程右边3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：
x^2-4/3x=2/3
方程两边都加上一次项系数一半的平方：
x^2-4/3x+（-2/3）^2=2/3+（-2/3）^2
配方：
（x-2/3）^2=10/9
直接开平方得：
x-2/3=±√（10）/3
∴x?
=,x?
=.∴原方程的解为x?
=,x?
=.
3．公式法：
把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。
当Δ=b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√（b^2-4ac）]/2a,x2=[-b-√（b^2-4ac）]/2a（两个不相等的实数根）
当Δ=b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
当Δ=b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√（4ac-b^2）i]/2a,x2=[-b-√（4ac-b^2）i]/2a
（两个虚数根）（初中理解为无实数根）
例3．用公式法解方程2x^2-8x=-5
解：
将方程化为一般形式：
2x^2-8x+5=0
∴a=2,b=-8，c=5
b^2-4ac=（-8）^2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=（4±√6）/2
∴原方程的解为x?
=（4+√6）/2,x?
=（4-√6）/2.
4．因式分解法：
把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
（1）（x+3）（x-6）=-8
解：
化简整理得x^2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）
（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）
∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）
∴x?
=5,x?
=-2是原方程的解。
（2）2x^2+3x=0
解：
x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）
∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）
∴x?
=0，x?
=-3/2是原方程的解。
注意：
容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。
（3）6x^2+5x-50=0（选学）
解：
（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x?
=5/2,x?
=-10/3是原方程的解。
（4）x^2-4x+4=0
解：
（x+2）（x-2）=0
∴x?
=-2,x?
=2是原方程的解。
小结
一般解一元二次方程，最经常使用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不必配方法解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。
（三种重要的数学方法：
换元法，配方法，待定系数法）。
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