天津科技大学数理金融复习.docx

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天津科技大学数理金融复习

数理金融复习

填空 判断：

1. 单利和复利：

单利和复利都是计息的方式。

单利与复利的区别在于利息是否参与计息。

𝑖 𝑚𝑡

3.复利现值公式：

𝑃 =  𝐹

，普通年金现值公式：

 𝑖

，资金还原系数，记

为（A/P，i，n）

4. 例 2-4

汽车每辆售价 100000 元，成交时付款 34000 元，其余 66000 元分 11 个月付款，即每

月 6000 元，试以月息 0.0042 求其现值。

5. 海赛行列式的正定性：

对称阵 A 为正定的充分必要条件是：

A 的各阶主子式都为正。

例：

判定对称矩阵

3 1 0

𝐴 = 1 3 0

0 0 3 正定性。

𝑎11𝑎12

解：

因为𝑎11 = 3 > 0， 𝑎21𝑎22

| = |3 1| = 8 > 0

，

3 1 0

|𝐴| = 1 3 0 = 24 > 0

0 0 3

，

所以 A 是正定的。

6. 回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值。

由样本

函数尽可能的准确估计总体函数。

7. 样本回归函数（SRF）：

基本形式是：

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖

随机形式是：

𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝜇𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑒𝑖

总体回归函数（PRF）：

 𝑌𝑖 = 𝐸（𝑌│𝑋𝑖） + 𝜇𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖

Y

𝑌𝑖

𝑌𝑖

𝐸（𝑌│𝑋𝑖）

𝜇𝑖

𝑌𝑖

𝜇𝑖

𝑌𝑖

𝐸（𝑌│𝑋𝑖）

𝑆𝑅𝐹:

 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖

𝑃𝑅𝐹:

 𝑌𝑖 = 𝐸（𝑌│𝑋𝑖） = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖

2

A

𝑋𝑖

∑𝑒2

2

X

2

2

2

2

2

2

TSS=RSS+ESS

𝐸𝑆𝑆       𝑅𝑆𝑆∑𝑥2

2

10.变量的显著性检验：

计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性

检验的。

11.小概率事件原理认为：

小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。

12.假设一元线性回归方程的总体回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，样本回归函数为

𝛽1

𝛽

n，查 t 分布表得临界值 ，则事件“|𝑡| > 𝑡𝛼/2（𝑛 ‒ 2）”是小概率事件。

13.假设一元线性回归方程的总体回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，样本回归函数为

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，给定显著性水平𝛼，则在1 ‒ 𝛼的置信度下，𝛽1的置信区间为

（𝛽𝑖 ‒ 𝑡 𝛼/2 × 𝑆𝛽

𝑖

，𝛽𝑖 + 𝑡𝛼/2 × 𝑆𝛽

𝑖

）。

14.

çç ⎪

E（μ μ ' ） = Eçç M⎪

⎝⎝ n ⎭

（μ1

L

⎪

⎭

⎪ ç

O

⎪

M ⎪

μn ⎪

ç⎪ç

= çMO⎪ = ç M O

⎝ n 1 var（μn ） ⎪ ç 0 L

⎪

M⎪ = σ 2I

σ 2 ⎪

15.多元线性回归总体回归函数的随机表达形式：

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1𝑖 + 𝛽2𝑋2𝑖 + … + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝜇𝑖

16.多元线性回归调整的可决系数 𝑅2 = 1 ‒

𝑅𝑆𝑆/（𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1）

𝑇𝑆𝑆/（𝑛 ‒ 1）

调整的思路是:

将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数

对拟合优度的影响。

其中：

n-k-1 为残差平方和的自由度，n-1 为总体平方和的自由度。

17.多元线性回归显著性检验公式：

在原假设 H0 成立的条件下，统计量

𝐸𝑆𝑆/𝑘

服从自

由度为（k , n-k-1）的 F 分布。

给定显著性水平𝛼，可得到临界值𝐹𝛼（𝑘,𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1），由样本求

出统计量 F 的数值，通过𝐹 > 𝐹𝛼（𝑘,𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1）或𝐹 ≤ 𝐹𝛼（𝑘,𝑛 ‒ 𝑘 ‒ 1），来拒绝或接受原假

设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。

18.方程的显著性检验（F 检验），旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总

体上是否显著成立作出推断。

19.单位根过程是非平稳序列。

考虑下式𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝑦𝑡 ‒ 1 + 𝜇𝑡

（1），也可写成

∆𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 ‒ 𝑦𝑡 ‒ 1 = 𝛼 + 𝜇𝑡

（2），其中𝛼是常数，𝑢𝑡是平稳序列，若𝑢𝑡~𝑖.𝑖.𝑑.𝑁（0,𝜎2），且𝑢𝑡是

一个白噪声序列。

若令𝛼

=     0，

𝑦0 = 0，则由式

（1）生成的序列𝑦𝑡，有

𝑉𝑎𝑟（𝑦𝑡） = 𝑡𝜎2（𝑡 = 1, 2, …, 𝑇），显然违背了时间序列平稳性的假设。

而式

（2）的差分序

列是含位移𝛼的随机游走，说明𝑦𝑡的差分序列∆𝑦𝑡是平稳序列。

20.协整验证的是变量之间的长期稳定关系，误差修正验证的是变量之间的短期波动关系。

21. DF 检验：

①如果-1<𝜌<1，则𝑦𝑡平稳（或趋势平稳）。

②如果𝜌=1，𝑦𝑡序列是非平稳序列。

归线上）。

度量拟合优度的指标：

判定系数（可决系数）𝑅 。

③如果𝜌的绝对值大于 1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。

22.随机过程：

一个随机过程 X={X（t）,t∈T}是一族随机变量，即对指标集 T 中的每个 t，X（t）

是一个随机变量。

我们常常把 t 解释成时间，且称 X（t）是过程在时刻 t 的状态。

如果指

标集 T 是一个可数集，则称 X 为一个离散时间的随机过程，而如果 T 是一个连续统，则

称它为连续时间过程。

23.宽平稳：

如果随机过程{X（t）,t∈T}的所有二阶矩阵都存在，并且 E[X（t）]=μ，自协方差函

数 C_x （t,s）只与时间差（t-s）有关，则称{X（t）,t∈T}为宽平稳过程或二阶平稳过程。

24.拟合优度：

对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验，即要用拟合优度来说明

这条样本回归线对数据拟合得有多么好（拟合得好，就有更多的样本观测值落在样本回

2

25.风险厌恶者效用函数具有凹性

26.金融交易都要面对许多不确定性因素，这些不确定性因素都将影响并反映在金融产品的

风险和收益上，因此，任何金融决策都必须在权衡风险和收益之后才能做出抉择。

27.数理金融的发展阶段

第一个时期：

发展初期（1954-1968）．代表人物有，阿罗，德布鲁，马柯维茨，夏普，

莫迪利亚等．

第二个时期：

黄金时代（1969-1979）．代表人物有莫顿，布莱克，卢卡斯，哈里森等．

第三个时期：

完善时期（1980-至今） ．代表人物有达菲，卡瑞撤斯和考克斯等．

28. 一般经济均衡理论的创始人瓦尔拉斯

29.第一次“华尔街革命”是指：

马科维茨的证券组合是建立在一般经济均衡理论上。

30.年布莱克－肖尔斯期权定价公式是建立在无套利假设上，无套利假设比一般经济均衡理

论更进一步。

31.简单的说：

一无所知而交易是赌博行为，依靠经验与技巧而交易是投机行为，根据市场

的基本面（或某公司的基本情况）而买入并长期持有，然后从每年稳定的红利中获取收

益是投资行为。

简答：

1. 实际利率与名义利率联系与区别

在经济分析中，复利计算通常以年为计息周期。

但在实际经济活动中，计息周期有半年、

季、月、周、日等多种。

当利率的时间单位与计息期不一致时，就出现了名义利率和实

际利率的概念。

①在复利计算中，如果恰好是一年一计息，即计息周期为一年的话，则计息期利率就为

年名义利率。

②然而如果计息周期短于一年，比如半年一计息，或每个月计一次洗的话，就会引起实

际利率和名义利率的问题。

例子：

如果告诉你年利率为 6%，半年计息一次，其含义就是指一年计息两次，半年的

2

2

利率。

显然，实际年利率就是

𝑃（1 + 3%）2 ‒ 𝑃

𝑃

= （1 + 3%）2 ‒ 1 = 6.09%

，而不是 6%。

2. 流量和存量

①凡是在任何一个时点上可观测的量，就是存量，换句话说，存量可以看作是时间变量

t 的函数，S=S（t）。

时间变量是可以连续取值的，这意味着对存量的观测是随时的。

流量是时段的函数，F＝F（T），T 是时段，第一时段、第二时段……，是按照序数取

值的，只能是自然序数，是不连续的整数。

②一件事物的存在状态是可以被观测的。

存量就是描述存在状态的，这个定义决定了存

量可以在一个时点上被观测到，观测结果可以用来表述事物当时的存在状态即模样。

但是流量不行。

流量必须通过指定时段内的累加才能得到，是一个过程量，描述的是

一个过程。

3. 为什么要假设𝜇𝑖服从正态分布

①𝜇𝑖代表除解释变量𝑋𝑖之外的其他因素对𝑌𝑖产生的影响的总和。

利用中心极限定理就能

证明，如果存在大量独立同分布的随机变量，那么，随着这些变量的个数无限增大，

它们的总和将趋向正态分布。

即使变量个数并不是很大或者这些变量还不是严格独立

的，它们的总和仍然是正态分布的。

②正态分布的一个性质是，正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的。

下节课我们

将学习到，普通最小二乘法估计量𝛽0和𝛽1是𝜇𝑖的线性函数。

因此，若𝜇𝑖是正态分布的，

则𝛽0和𝛽1也是正态分布的，这就使接下来的假设检验工作十分简单。

4.假设一元线性回归方程的总体回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，样本回归函数为

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，对变量𝑋𝑖的显著性进行假设检验的一般步骤是什么？

①对总体参数提出假设

𝐻0：

𝛽1 = 0𝐻1：

𝛽1 ≠ 0

②以原假设𝐻0构造 t 统计量，并由样本计算其值

𝛽1

𝑡 = 𝑆𝛽

1

③给定显著性水平𝛼，查 t 分布表，得临界值𝑡𝛼/2（𝑛 ‒ 2）

④比较，判断:

若|𝑡| > 𝑡𝛼/2（𝑛 ‒ 2），则拒绝𝐻0，接受𝐻1；

若|𝑡| < 𝑡𝛼/2（𝑛 ‒ 2），则拒绝𝐻1，接受𝐻0；

计算：

1. 给年金求现值，给现值求年金

例 2-3:

某人贷款金额为 20 万，年利息为 6%，计划办理 5 年银行按揭，每个月月末应向银行还

款多少钱

所用公式：

𝐴 = 𝑃 ×

𝑖

1 ‒ （1 + 𝑖） ‒ 𝑛

已知总成本函数𝑇𝐶 = 𝑄  ‒ 18𝑄  + 750𝑄，利用微分知识做出总成本、平均成本和边际

涉及到：

𝑓 （𝑥） ≥ 0，弦在上方，凸函数

者的需求函数是  𝑃 = 274 ‒ 𝑄 ，边际成本函数𝑀𝐶 = 4 + 3𝑄，求消费者剩余。

例 2-4

汽车每辆售价 100000 元，成交时付款 34000 元，其余 66000 元分 11 个月付款，即每

月 6000 元，试以月息 0.0042 求其现值。

2. 总成本、平均成本与边际成本

例 2-7：

（大题）

32

成本三者关系的图形

''

𝑓''（𝑥） ≤ 0，弦在下方，凹函数

3. 消费者剩余

例 2-13

在垄断条件下所销售的数量和市场价格是由需求函数决定的，设一个利益最大化的垄断

2

A、B,他们的预期收益率分别为 10%和 8%，证券 A 的方差为𝜎𝐴 = 200，证券 B 的方差为

最优化函数𝑦 =‒ 5𝑥1 + 10𝑥1 + 𝑥1𝑥3 ‒ 2𝑥2 + 4𝑥2 + 2𝑥2𝑥3 ‒ 4𝑥3，利用海赛行列式检验二

4. 差分方程：

一阶差分方程的通解

一阶差分方程𝑦𝑡 = 𝑏𝑦𝑡 ‒ 1 + 𝑎

𝑎𝑎

通解：

 𝑏 ≠ 1时， 𝑡

𝑏 = 1时，𝑦𝑡 = 𝑦0 + 𝑎𝑡

5. 证券组合收益率和风险的测度

例 2-18

某证券组合由一个风险证券和一个无风险证券构成，风险证券组合中包括两个证券

2

2

𝜎𝐵 = 80，协方差𝜎𝐴𝐵 = 50，两种证券权重均为 0.5，无风险证券的预期收益率为 5%，

在证券组合中的权重为 0.25，计算该证券组合的总预期收益率和总风险。

注意：

期望和方差可以用矩阵形式

6. 例 2-21

222

阶条件

所用定理：

若函数𝑍 = 𝑓（𝑥,𝑦）在点（𝑥0,𝑦0）的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,

且𝑍𝑥（𝑥0,𝑦0） = 0，𝑍𝑦（𝑥0,𝑦0） = 0

令𝐴 = 𝑍𝑥𝑥（𝑥0,𝑦0），𝐵 = 𝑍𝑥𝑦（𝑥0,𝑦0），𝐶 = 𝑍𝑦𝑦（𝑥0,𝑦0）

2

2

2

7. 证明白噪声序列是平稳过程

白噪声序列

设序列

0, 𝑚 ≠ 𝑛

则称{𝑋𝑛,𝑛 = 0,1,…}为白噪声，可以证明白噪声为平稳序列

8. 习题 13

[

设马尔科夫链只有三种状态，转移概率如下，判断遍历性。

𝑞 𝑝 0

𝑃 = 𝑞 0 𝑝

0 𝑞 𝑝

]

解：

𝑃𝑖𝑗

（1） = 0

22

𝑞 𝑝 0

0 𝑞 𝑝

[

𝑞2 + 𝑝𝑞 𝑝𝑞   𝑝2

𝑞2   2𝑝𝑞   𝑝2

𝑞 2   𝑝𝑞 𝑝𝑞 + 𝑝

]

𝑃𝑖𝑗（0） > 0，∀𝑖，𝑗 > 0，𝑆 = 2，转移概率矩阵中的每一个元素都大于 0，马尔科夫

链具有遍历性。

9. 假设一元线性回归方程的样本回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，试利用最小二乘法求出𝛽0

和𝛽1的表达式

10.假设一元线性回归方程的样本回归函数为𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，总体回归函数为

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜇𝑖，其中𝛽0和𝛽1是𝛽0和𝛽1的最小二乘估计量，求证𝛽0和𝛽1是线性、无

偏估计量，试求𝑉𝑎𝑟（𝛽0）和𝑉𝑎𝑟（𝛽1）

11.对于人均存款（𝑆𝑡 ）与人均收入（𝑌𝑡）之间的关系式𝑆𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑌𝑡 + 𝜇𝑡，使用美国 32 年的

年度数据得到如下估计模型，括号内为标准差：

S

$t = 384.105

+ 0.067Yt

（151.105）（0.011）

给定显著性水平𝛼 = 1%，检验是否每一个回归系数都与零显著不同，并求出在 99%的

置信度下，𝛽0和𝛽1的置信区间（𝑡0.01/2（30） = 2.75）