弹性力学10楔形体受重力和液体压力.docx
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弹性力学10楔形体受重力和液体压力
第三章平面问题直角坐标解答
本节内容
3.5楔形体受重力和液体压力
内容要点：
半逆解法求解楔形体的应力分量表达式。
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø问题：
如图，无限长的楔形体受重力和液体
压力，试求应力分量。
（下部无限延伸，侧面
受水压力作用。
）
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
解：
按半逆解法的步骤进行求解。
（1）从量纲分析入手，来假定应力分量的函数形式
Ox
楔形体内任意点的应力由重力和液体压
力所引起，两部分应力分别与1g和2g成
正比，此外应力分量还与、x、y有关。
应力量纲（N/m2）比1g和2g的量纲（
g
N/m3）高一次幂的长度量纲。
的量纲
是1，x、y的量纲是（m）。
因此应力分量
如果有多项式解答，那只能是1g和2g
与x和y的一次式相乘，亦即应力中只
能包含x和y的纯一次式。
y
g
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
（2）由应力推出应力函数的一般形式；
由方程（2-24）可知，应力函数应比应力的量纲提高长
度的二次幂，所以应力函数应为x和y的纯三次式，
而纯三次多项式有四项，即
（xyax3bx2ycxy2dy3
）
（3）校核应力函数
此纯三次多项式自然满足相容方程
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
（xyaxbxycxydy
）
3223
（4）由应力函数求应力分量
将应力函数代入式（2-26），可得应力分量：
x
2
y
2
f
x
x
2cx
6dy
y
2
x
2
f
y
y
6ax
2by
gy
1
注意体力项
xy
2
xy
2bx
2cy
Ø校核应力分量：
上述应力分量是自然满足平衡微分方程和相容方程的。
其中的4个待定常数由边界条件来确定。
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
（5）考察边界条件：
只有两个边界，均为主要边界（大边界
），都应精确满足应力边界条件；
Ø首先考察左边界上的应力边界条件：
（
x0gy
2
）,（）
x
xyx
0
0
将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，得到如
下待定常数:
c
g
0,d2
6
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø其次考察右边界x=ytan上的应力边界条件式（2-15），由于
Ox
没有面力，故：
（lm）0
xxy
xytan
gN
（lm）0
xyy
x
ytan
gy
将该边界的外法线方向余弦和应力分量
在相应边界处的值代入上述条件,化为关
于y的表达式：
2
g
lcos,msin
y
1
x2cx6dy,6ax2bygy,2bx2cy
yxy
可求解得到如下待定常数：
ggg
b
23
2cot,acotcot
12
263
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
综上所述，将各待定常数代回，可得应
力分量的最终解答为：
g
gy
gy
x2
（gcot2gcot）x
3
y12
（gcotg）y
2
21
gxcot
2
——李维（Levy）解答
xy2
Ø应力分量x沿水平方向没变化
O
y
x
（
）
（
）
g
沿水平方向的应力分布
x
y
xy
Ø应力分量
y沿水平方向按直线变化，可求出其在左右两边
界上值
y
12y2
（ggcot2）y,gycot
x0xytan
Ø应力分量xy也按直线变化，可求出其在两边界上值为
2
xy
xy2
0,gycot
x0xytan
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的基本解答，但
要注意以下三点：
1、沿着坝轴，坝身往往截面不同，并且坝身常常不是无限长
，因此严格讲，这不是一个平面问题。
但是，如果可将坝身分
为若干段，每段范围内坝身截面可当作不变化，z向切应力也
可当作0，则可作为平面问题来求解。
2、假定了下端是无限长，可以自由变形。
实际上坝身是有限
高的，底部与地基相连，即受约束，因此对于底部，以上解答
是不精确的。
3、坝顶不会是尖顶，而且还会受其它的荷载，因此，在坝顶
处，以上解答也不适用。
关于重力坝的较精确的应力分析，目前大多采用有限元
方法来进行。
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø从本章几节内容可以看出，所有解答均与弹性常数无关：
1.本节将三角形水坝当做平面应变问题对待，得到的解答与
平面应力问题是一样的。
——体力为常数时式（3-7）三个方
程均不含弹性常数。
2.该性质可用于进行试验分析，用不同的材料做结构模型进
行试验分析（要考虑材料重度不同），试验模型得到的应力
分布与实际结构物的应力分布一致，因为二者解答与材料弹
性常数无关。
例如可以用环氧树脂材料做混凝土大坝模型，
进行应力试验分析，所得的模型应力分布与实际混凝土大坝
应力分布情况一致，由此可以给大坝设计人员提供参考依据
。
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结
（1）逆解法与半逆解法回顾
Ø逆解法
设定
带入
式（2-24）
求出应
力分量
带入求出面
力合力
式（2-15）
确定解决什
么问题
Ø半逆解法
假定相关
应力分量
应力函数
式（2-24）
积分
基本形式
满足
Ñ40
导出应力
式（2-24）
表达式
是
式（2-15）
满足边
界条件
是
得到正
确解答
否
否
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结
（2）边界条件
Ø在校核应力边界条件时，必须注意以下几点：
1、首先考虑主要边界（大边界）上的条件，然后考虑次要边界
（小边界）上的条件；
2、在主要边界上，必须精确地满足边界条件，每个边界应有两
个条件；
3、在次要边界上，如不能满足边界条件，可以应用圣维南原理
，用三个积分的边界条件（主矢量和主矩的条件）来代替；
4、必须把边界方程代入边界条件；
5、分清边界条件中应力和面力的不同符号规定；
6、除一个次要边界外，其他所有边界条件都必须进行校核并使
之满足。
当平衡微分方程、相容方程和其他应力边界条件都满足
以后，未校核的一个次要边界上的三个积分边界条件必然满足。
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结（3）常体力平面问题解答中的应力分量
本章:
3.2梁纯弯曲、3.4简支梁均布荷载、3.5楔形体受
力所解得的应力分量均不含弹性常数（常体力情况下相容方程
不含弹性常数），因此：
（1）应力解答结果即可用于平面应力问题，又可用于平面应
变问题（位移及应变不可以）。
（2）可采用与结构物材料不同的廉价的材料来制作结构物模
型进行试验分析，所得的应力与实际结构物应力分布一致。
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结（4）典型题型分类及相应解法
所有问题归结为两种；矩形梁（板）和三角形楔形体。
（一）多项式解答——逆解法
已经给出应力函数，判断其能够解决什么样的问
题。
由应力函数解得应力分量，然后带入边界方
程，确定其边界应力条件。
习题3-1、2、3、4。
（二）梁、长板类弹性体应力函数方法——半逆解法
应力分量与梁内力的关系可表示为：
x
M（1yqxf（y）
x）f（）（）
2
y
q（x）f（）
3y
考虑挤压应力影响导致
xy
Q（f4（y）
x）然后由：
2
2
2
xy
22
yxy
x
yx
Ñ确定应力函数的具体形式。
4
0
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结（4）典型题型分类及相应解法
Ox
（三）三角形板、楔形体的求解方法——半逆解法
量纲分析法确定应力函数初步形式：
侧面受水压作用：
2g（N/m3）（水的容重）；
自重作用：
g（N/m）（楔形体的容重）。
3
1
2g
2g
分析思路：
1g
1g
（a）,g,g
x
∵1g、2g的量纲为：
N/m3
x的量纲为：
N/m2。
∴x的形式应为：
gx,gy,
gx,gy的线性组合。
y
2
（b）由2推理得：
x
y
应为x、y的纯三次函数。
3223
（x,y）axbxycxydy3223
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