平行四边形经典题型培优提高.docx

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平行四边形经典题型培优提高

平行四边形经典题型（培优提高）

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中心对称与平行四边形的判定

知识归纳

1.中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形,这个点就是它的对称中心.

分析：

一个图形；围绕一点旋转1800；重合.

2.思考:

中心对称与中心对称图形有什么区别和联系?

1）区别：

中心对称是指两个全等图形之间的位置关系，成中心对称的两个图形中,其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在这;而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称,中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．

2）联系：

如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形）,那么这个图形就是中心对称图形;一个中心对称图形也可以看成是关于中心对称的两个图形．

3.中心对称图性质

1）中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.

2）中心对称图形的两个部分是全等的．

注：

常见的中心对称图形有:

矩形,菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形，某些规则图形等.　　　

正偶边形是中心对称图形　

正奇边形不是中心对称图形如：

正三角形不是中心对称图形、等腰梯形不是中心对称图形

4.平行四边形的性质：

平行四边形两组对边相等。

平行四边形两组对角相等。

平行四边形对角线互分平分。

5.平行四边形判定:

　　　　　　　　　定理１、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

　　　　　定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

　　　　定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

　　　　　　　定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

6.三角形的中位线定理:

三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

7.逆定理１:

在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理2:

在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

ﻬ第四节：

中心对称图形

课堂练习

1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（）

　A.正三角形　B.平行四边形C.等腰直角三角形　D．正六边形

2.下列图形中，不是中心对称图形的是（

　）

3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　）.

4.下三

图是由三个

相同的小正方形拼成的图形,请你再添加一

个同样大小的小正方形,使所得

的新图形分别为下列A,B,Ｃ题要求的

图形,请画出示意图．

　（１）是中心对

称图形,但不是轴对称图形;

（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形;

（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形．

第五节：

平行四边形的判定

例题讲解

例1：

判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图

1　一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。

　　　　　（）

2　一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形.　　　　（　　）

3　一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．　　（　　）

4　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.　　　　　　　　（）

5　两组邻角互补的四边形是平行四边形。

　　　　　（　）

6　相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。

　　　　　　（）

7　对角互补的四边形是平行四边形　　　　　　　　（　）

8　一条对角线分四边形为两个全等三角形,这个四边形是平行四边形　　　（）

9　两条对角线相等的四边形是平行四边形　　　　　　（　　）

例2:

如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AＤ、BＣ的中点，连结AN、ＤN、BM、ＣM,且AＮ、ＢＭ交于点P,CＭ、DN交于点Q．四边形ＭGNＰ是平行四边形吗？

为什么？

变式１:

□ABCD中,E在AB上,Ｆ在CD上，且AE=CF,求证:

FM=NE　ＭＥ＝NF

课堂练习：

1.点A,B,C，D在同一平面内,从四个条件中（１）AB=CD,

（2）AＢ∥CＤ，（３）BC＝AD,（４）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（　）

ﻩA.3种ﻩﻩB.４种ﻩﻩC．5种ﻩD.6种

2.

如图所示,□ＡBＣD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点,Ｈ是OC的中点，四边形EＧFH是平行四边形，说明理由.

3.如图：

在四边形ＡBCD中，ＡD∥BC,且AD>BC，ＢC=6cm,AD=９cｍ，P、Q分别A、C同时出发，Ｐ以1cｍ／s的速度由A向D运动，Ｑ以２ｃｍ／s的速度由C向B运动，__秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.

4.如图,在Ｒt△ABＣ中,∠BＡC=90°，AB＝3,AC＝4,将△ABＣ沿直线BＣ向右平移2．5个单位得到△DEＦ，AＣ与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论中成立的是_＿＿_．

　①四边形AＢED是平行四边形；②△AＧＤ≌△ＣＧＥ;

　③△ＡDE为等腰三角形；④AＣ平分∠EAD.

5.在平面直角坐标系XOＹ中,有A（3,2），B　（﹣1,﹣4）,P是Ｘ轴上的一点,Ｑ是Y轴上的一点,若以点Ａ,Ｂ,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是___＿__＿＿_　．

6.

如图1，图2，△AＢC是等边三角形,D、E分别是AB、ＢC边上的两个动点（与点A、B、C不重合），始终保持ＢD＝CＥ．

（1）当点Ｄ、E运动到如图1所示的位置时，求证：

CＤ＝AE．

（２）把图１中的△ACＥ绕着A点顺时针旋转6０°到△ＡBF

的位置（如图2），分别连接DＦ、ＥF．

①找出图中所有的等边三角形（△AＢＣ除外），并对其中一个给予证明；

②试判断四边形CＤFE的形状,并说明理由.

7.如图,以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ,等边△BCR,求证:

四边形ＰＡQＲ为平行四边形。

8.等边三角形AＢC的边长为a，P为△ＡBC内一点,且PＤ∥AB,PE∥ＢＣ,ＰF∥ＡC，那么,PD+PE+PF的值为一个定值．这个定值是多少?

请你说出这个定值的来历．

9.如图所示,M、N分别为平行四边形ABＣD边BＣ、CD上的点,且MN∥BＤ，则

AND的面积

ABM的面积怎样？

请说明理由．

10.如图,某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、Ｂ、C、D处均种有一棵大核桃树，这村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问这村能否实现这一设想?

若能，请你设计并画出图形;若不能,请说明理由．

11.如图,四边形ＡBCＤ是一块某地示意图,EFG是流经这块菜地的水渠,水渠东边的地属张家承包，西边的地属李家承包，现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由．

第6节:

三角形的中位线

1.如图,△ＡBC中,AＢ=AC=6,BC=８,AE平分∠BAC交ＢＣ于点Ｅ，点D为AB的中点,连接DＥ,则△BDE的周长是（　　）

ﻩA．7＋

ﻩﻩＢ.1０Ｃ．4+2

ﻩﻩD.１2

2.如图,已知四边形ABCD中,Ｒ，Ｐ分别是BC,CD上的点，E,F分别是AＰ，ＲP的中点,当点Ｐ在CD上从C向Ｄ移动而点R不动时,那么下列结论成立的是（　）

A.线段EＦ的长逐渐增大ﻩﻩB．线段EF的长逐渐减少

　C．线段ＥF的长不变ﻩD．线段ＥF的长与点Ｐ的位置有关

3.如图ＤE是△ABＣ的中位线,F是ＤE的中点,ＣF的延长线交AＢ于点G,则AG:

GD等于（　　）

Ａ.2：

1B．3：

１ﻩﻩC.３:

2ﻩD.4:

3

4.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E,F，G分别是AB,ＣD,AC的中点，若∠DAC=20°，∠ＡCB=66°,则∠FＥG等于（　）

A．47°ﻩﻩB.46°ﻩﻩC.1１.5°ﻩD．2３°

5.如图，M是△AＢC的边BC的中点，ＡN平分∠BAC,且BN⊥AＮ，垂足为N，且AB=6，BC=10,MＮ＝1.5,则△ABＣ的周长是（　）

ﻩA．28ﻩﻩB.32ﻩC．1８ﻩＤ.25

6.如图,在△ABC中，D、E、F分别为BＣ、AＣ、AB的中点,AＨ⊥BＣ于点H,FD=8ｃm，则HE的值为（　）

A.20cmﻩB．16cmﻩＣ.１2cmD.8ｃm

7.已知：

如图所示，在△AＢC中，点Ｄ,E，Ｆ分别为BＣ,AD，CE的中点,且S△ＡBC=４cｍ２,则阴影部分的面积为＿_＿＿_____　cm2．

8.如下图，已知BＥ、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥ＢE于E点,AD⊥DC于D点．求证:

（１）DE∥ＢＣ;（２）

．

9.如图，已知四边形

中，对角线

和

相交于点

，

、

分别是

、

的中点，

、

分别交

、

于

、

。

求证:

是等腰三角形。

10.已知：

如图，在四边形ＡＢCD中,AD＝BC,Ｍ、N分别是AB、CD的中点，ＡＤ、ＢC的延长线交MN于E、F.

求证:

∠DEN＝∠F.

课下练习

1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

ﻩA.平行四边形ﻩＢ．正八边形ﻩﻩC.等腰梯形D．等边三角形

2.下面的说法中，正确的是（　）

Ａ．对角分别相等的四边形是平行四边形ﻩﻩB.两边分别相等的四边形是平行四边形ﻩC．一组对边平行的四边形是平行四边形ﻩD.一组对边相等的四边形是平行四边形

3.根据下列条件，能作出平行四边形的是（）

ﻩA．两组对边的长分别是3和５

　Ｂ.相邻两边的长分别是3和5,且一条对角线长为９

　　　C．一边的长为７，两条对角线的长分别为6和8ﻩ

　D.一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5

4.如图,ＤE是△ABＣ的中位线,Ｍ是DE的中点,CＭ的延长线交AB于点Ｎ，则Ｓ△DＭN:

S四边形ＡNＭＥ等于（　）

A.1:

5B．1:

4ﻩＣ.２：

５ﻩD．2：

7

5.如图，已知矩形AＢCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RＰ的中点,当Ｐ在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是（　　）

Ａ．线段EF的长逐渐增大Ｂ．线段EF的长逐渐减小ﻩ

C.线段EF的长不改变ﻩ　D．线段EF的长不能确定

6.如图:

A1,Ｂ1,C1分别是BC，AC，AB的中点,Ａ2,B2，C2分别是B1C1，A1C１，A１Ｂ1的中点…这样延续下去．已知△ＡBC的周长是１,△Ａ１Ｂ1C1的周长是L1,△AＢC的周长是L2…AnＢnCn的周长是Ln，则Ｌn=　_＿___＿＿_＿　．

7.如图,在△ABC中，AB＝AＣ.Ｍ、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点,连接DN、EM.若AB=13cm,BC=１0cm,ＤE＝5cm,则图中阴影部分的面积为　　ｃm2．

8.如图,在矩形ABCD中,ＢC＝２0cm，Ｐ、Q、M、Ｎ分别从A、Ｂ、C、D出发，沿AD、BC、CB、ＤA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（ｘ≠0），则AＰ＝2ｘcm,CＭ=3ｘcｍ,DN＝x２ｃm,

（1）当x为何值时,点P、N重合;

（２）当ｘ为何值时,以Ｐ、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

9.如图，已知ＡD为△ABC的角平分线，ＡB

MＮ∥AD．

10.

（1）如图所示,BＤ，ＣE分别是△ＡBC的外角平分线，过点Ａ作AＦ⊥ＢD,ＡG⊥CE,垂足分别为Ｆ,G,连接FＧ,延长ＡF，ＡG，与直线BＣ分别交于点Ｍ、N，那么线段FG与△AＢC的周长之间存在的数量关系是什么？

　即:

ＦG＝　__　（AＢ+BC+AC）（直接写出结果即可）

（２）如图，若ＢＤ，CE分别是△ABC的内角平分线;其他条件不变,线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想，并给予证明.

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ＡＢＣ的外角平分线,其他条件不变，线段FG与△ＡBC三边又有怎样的数量关系?

直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：

线段ＦG与△ＡBC三边之间数量关系是　__＿__＿＿＿＿　.