届高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理11081147.docx

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届高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理11081147

培优点十九圆锥曲线综合

1．直线过定点

例1：

已知中心在原点，焦点在

轴上的椭圆

的离心率为

，过左焦点

且垂直于

轴的直线交椭圆

于

，

两点，且

．

（1）求

的方程；

（2）若直线

是圆

上的点

处的切线，点

是直线

上任一点，过点

作椭圆

的切线

，

，切点分别为

，

，设切线的斜率都存在．求证：

直线

过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】

（1）

；

（2）证明见解析，

．

【解析】

（1）由已知，设椭圆

的方程为

，

因为

，不妨设点

，代入椭圆方程得

，

又因为

，所以

，

，所以

，

，

所以

的方程为

．

（2）依题设，得直线

的方程为

，即

，

设

，

，

，

由切线

的斜率存在，设其方程为

，

联立

得，

，

由相切得

，

化简得

，即

，

因为方程只有一解，所以

，所以切线

的方程为

，

即

，同理，切线

的方程为

，

又因为两切线都经过点

，所以

，所以直线

的方程为

，

又

，所以直线

的方程可化为

，

即

，令

，得

，

所以直线

恒过定点

．

2．面积问题

例2：

已知椭圆

的左、右焦点分别为

、

，焦距为4，直线

与椭圆相交于

、

两点，

关于直线

的对称点

在椭圆上．斜率为

的直线

与线段

相交于点

，与椭圆相交于

、

两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形

面积的取值范围．

【答案】

（1）

；

（2）

．

【解析】

（1）由椭圆焦距为4，设

，

，连结

，设

，

则

，又

，得

，

，

，

解得

，

，所以椭圆方程为

．

（2）设直线

方程：

，

、

，

由

，得

，所以

，

由

（1）知直线

：

，代入椭圆得

，

，得

，由直线

与线段

相交于点

，得

，

，

而

与

，知

，

，

由

，得

，所以

，

四边形

面积的取值范围

．

3．参数的值与范围

例3：

已知抛物线

的焦点

，点

在抛物线

上，过焦点

的直线

交抛物线

于

，

两点．

（1）求抛物线

的方程以及

的值；

（2）记抛物线

的准线与

轴交于点

，若

，

，求

的值．

【答案】

（1）

，

；

（2）

．

【解析】

（1）

抛物线

的焦点

，

，则

，抛物线方程为

；

点

在抛物线

上，

．

（2）依题意，

，设

，设

、

，

联立方程

，消去

，得

．

所以

①，且

，

又

，则

，即

，

代入①得

，消去

得

，

，则

，

，

则

，

当

，解得

，故

．

4．弦长类问题

例4：

已知椭圆

的左右顶点是双曲线

的顶点，且椭圆

的上顶点到双曲线

的渐近线的距离为

．

（1）求椭圆

的方程；

（2）若直线

与

相交于

，

两点，与

相交于

，

两点，且

，求

的取值范围．

【答案】

（1）

；

（2）

．

【解析】

（1）由题意可知：

，又椭圆

的上顶点为

，

双曲线

的渐近线为：

，

由点到直线的距离公式有：

，∴椭圆方程

．

（2）易知直线

的斜率存在，设直线

的方程为

，代入

，消去

并整理得：

，

要与

相交于两点，则应有：

，

设

，

，

则有：

，

．

又

．

又：

，所以有：

，

，②

将

，代入

，消去

并整理得：

，

要有两交点，则

．③

由①②③有

．

设

、

．有

，

，

．

将

代入有

．

，令

，

，

令

，

．

所以

在

内恒成立，故函数

在

内单调递增，

故

．

5．存在性问题

例5：

已知椭圆

的左、右焦点分别为

，

，点

在椭圆

上．

（1）求椭圆

的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线

，使得当直线

与椭圆

有两个不同交点

，

时，能在直线

上找到一点

，在椭圆

上找到一点

，满足

？

若存在，求出直线

的方程；若不存在，说明理由．

【答案】

（1）

；

（2）不存在，见解析．

【解析】

（1）设椭圆

的焦距为

，则

，

∵

在椭圆

上，∴

，

∴

，

，故椭圆

的方程为

．

（2）假设这样的直线存在，设直线

的方程为

，

设

，

，

，

，

的中点为

，

由

，消去

，得

，

∴

，且

，故

且

，

由

，知四边形

为平行四边形，

而

为线段

的中点，因此

为线段

的中点，

∴

，得

，

又

，可得

，∴点

不在椭圆上，

故不存在满足题意的直线

．

一、解答题

1．已知动圆

过点

并且与圆

相外切，动圆圆心

的轨迹为

．

（1）求曲线

的轨迹方程；

（2）过点

的直线

与轨迹

交于

、

两点，设直线

，设点

，直线

交

于

，求证：

直线

经过定点．

【答案】

（1）

；

（2）见解析．

【解析】

（1）由已知

，

，

轨迹

为双曲线的右支，

，

，

，

曲线

标准方程

．

（2）由对称性可知，直线

必过

轴的定点，

当直线

的斜率不存在时，

，

，

，知直线

经过点

，

当直线

的斜率存在时，不妨设直线

，

，

，

直线

，当

时，

，

，

得

，

，

，

下面证明直线

经过点

，即证

，即

，

即

，由

，

，

整理得，

，即

即证

经过点

，直线

过定点

．

2．已知点

在椭圆

上，设

，

分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点

到直线

的距离为

．

（1）求椭圆

的方程；

（2）设

为椭圆

在第一象限内一点，直线

，

分别交

轴、

轴于

，

两点，求四边形

的面积．

【答案】

（1）

；

（2）

．

【解析】

（1）因为椭圆

经过点

，有

，

由等面积法，可得原点

到直线

的距离为

，

联立两方程解得

，

，所以椭圆

的方程为

．

（2）设点

，则

，即

．

直线

，令

，得

．

从而有

，同理，可得

．

所以四边形的面积为

．

所以四边形

的面积为

．

3．已知点

为圆

的圆心，

是圆上的动点，点

在圆的半径

上，且有点

和

上的点

，满足

，

．

（1）当点

在圆上运动时，判断

点的轨迹是什么？

并求出其方程；

（2）若斜率为

的直线

与圆

相切，与

（1）中所求点

的轨迹交于不同的两点

，

，且

（其中

是坐标原点），求

的取值范围．

【答案】

（1）是以点

，

为焦点，焦距为2，长轴长为

的椭圆，

；

（2）

．

【解析】

（1）由题意

是线段

的垂直平分线，

所以

，

所以点

的轨迹是以点

，

为焦点，焦距为2，长轴长为

的椭圆，

∴

，

，

，

故点

的轨迹方程是

．

（2）设直线

：

，

，

，

直线

与圆

相切，得

，即

，

联立

，消去

得：

，

，得

，

，

，

∴

，

所以

，得

，

∴

，解得

或

，

故所求范围为

．

4．已知椭圆

的焦距为

，离心率为

，圆

，

，

是椭圆的左右顶点，

是圆

的任意一条直径，

面积的最大值为2．

（1）求椭圆

及圆

的方程；

（2）若

为圆

的任意一条切线，

与椭圆

交于两点

，

，求

的取值范围．

【答案】

（1）

，

；

（2）

．

【解析】

（1）设

点到

轴距离为

，则

，易知当线段

在

轴时，

，

，

，

，

，

，

，

所以椭圆方程为

，圆的方程为

．

（2）当直线

的斜率不存在时，直线

的方程为

，此时

；

设直线

方程为：

，直线为圆的切线，

，

，

直线与椭圆联立，

，得

，

判别式

，由韦达定理得：

，

所以弦长

，令

，

所以

；

综上，

，

5．如图，己知

、

是椭圆

的左、右焦点，直线

经过左焦点

，且与椭圆

交

，

两点，

的周长为

．

（1）求椭圆

的标准方程；

（2）是否存在直线

，使得

为等腰直角三角形？

若存在，求出直线

的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）

；

（2）不存在，见解析．

【解析】

（1）设椭圆

的半焦距为

，因为直线

与

轴的交点为

，故

．

又

的周长为

，即

，故

，所以，

．

因此，椭圆

的标准方程为

．

（2）不存在．理由如下：

先用反证法证明

不可能为底边，即

．

由题意知

，设

，

，假设

，则

，

又

，

，代入上式，消去

，

得：

．

因为直线

斜率存在，所以直线

不垂直于

轴，所以

，故

．

（与

，

，

矛盾）

联立方程

，得：

，所以

矛盾．

故

．

再证明

不可能为等腰直角三角形的直角腰．

假设

为等腰直角三角形，不妨设

为直角顶点．

设

，则

，在

中，由勾股定理得：

，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．