完整版七年级数学知识点梳理.docx

完整版七年级数学知识点梳理.docx

《完整版七年级数学知识点梳理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版七年级数学知识点梳理.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版七年级数学知识点梳理

第一章代数初步知识

1.代数式：

用运算符号“＋－×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式）

2.列代数式的几个注意事项：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×

应写成

a；

（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成

的形式；

（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

3.几个重要的代数式：

（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：

a2-b2；a与b差的平方是：

（a-b）2；

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：

10a+b,则三位整数是：

100a+10b+c；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：

5m+n；偶数是：

2n，奇数是：

2n+1；三个连续整数是：

n-1、n、n+1；

（4）若b＞0，则正数是:

a2+b，负数是：

-a2-b，非负数是：

a2，非正数是：

-a2.

第二章有理数

2.1知识框架

2.2有理数和无理数

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2.2.1有理数

（1）凡能写成

形式的数，都是有理数。

正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

注意：

0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；

（2）有理数的分类:

A、

B、

2.2.2无理数

无理数：

无限不循环小数称为无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键点，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如

等（注:

开根号后续将会学到）；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如

+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

2.2.3补充

整数：

正整数，0和负整数。

正整数和0统称自然数。

能被2整除的整数称为偶数，被2除余1的整数叫作奇数。

分数：

可以写成两个整数之比的不是整数的数，叫做分数。

分数都可以转化为有限小数或循环小数。

反之，有限小数或循环小数都可以转化为分数。

实数：

有理数和无理数统称为实数。

实数与有理数和无理数之间的关系可见下图：

2.3数轴

2.3.1数轴：

规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

数轴上的点和实数的对应关系：

数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。

2.3.2比较大小（补充）

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；

（3）正数大于一切负数；

（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；

（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0。

常用比较方法：

（1）数轴比较：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：

设a、b是实数，

（3）求商比较法：

设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：

设a、b是两负实数，则

。

（5）平方法：

设a、b是两负实数，则

。

2.4绝对值和相反数

2.4.1绝对值

绝对值：

在数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

设数轴上原点为O，点A表示的数为a，则

，

设数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则

一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值为0。

反过来，绝对值等于它本身的数为非负数（正数或0），绝对值等于它的相反数为非正数（负数或0）。

绝对值可表示为：

或

2.4.2相反数

相反数：

符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

在数轴上互为相反数的两个数表示的点，分居在原点两侧，并且到原点的距离相等。

相反数等于本身的数只有0。

如果a+b=0a、b互为相反数。

2.5有理数运算

2.5.1有理数加减法法则：

加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：

a+b=b+a

（2）加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）

2.5.2有理数乘除法法则：

有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：

ab=ba；

（2）乘法的结合律：

（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：

a（b+c）=ab+ac.

除法法则：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

注意：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何不等于0的数都等于0，

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（3）乘积为1的两个数互为倒数。

0没有倒数，倒数等于本身的数是±1.

（4）0不能做除数，也不能做分母。

2.5.3乘方

求相同因数的乘积的运算，叫作乘方。

相同因数叫作底数，因数的个数叫作指数，乘方的结果叫作幂。

平方等于本身的是0或1，

立方等于本身的数是0，±1.

平方等于64的数是±8.

立方等于64的数是4。

正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。

注意：

当n为正奇数时:

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时:

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n

2.5.4科学记数法

设

＞10，则N=a×

（其中1≤

＜10，n为正整数，n=N的整数位数—1）。

注：

有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字。

有理数的运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的。

无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

第三章代数式

3.1知识框架

3.2知识梳理

3.2.1代数式

代数式：

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

单项式：

像x、7、

，这种数与字母的积叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

单项式的系数：

单项式中的数字因数叫单项式的系数。

注意：

单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如

，这种表示就是错误的，应写成

。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如

是6次单项式。

多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

注意：

（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。

3.2.2同类项

同类项：

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

合并同类项：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

合并同类项的依据是乘法分配律。

去括号法则：

（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。

（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。

整式的加减：

实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。

第四章一元一次方程

4.1知识框架

4.2知识梳理

4.2.1知识点解释

方程：

含有未知数的等式叫做方程。

方程的解:

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

一元一次方程:

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

解一元一次方程的一般步骤:

整理方程——去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1（检验方程的解）。

4.2.2一元一次方程运用

列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:

…………多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：

“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法:

…………多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：

距离=速度·时间

；

（2）工程问题：

工作量=工效·工时

；

（3）比率问题：

部分=全体·比率

；

（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：

售价=定价·折·

，利润=售价-成本，

；

（6）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2（a+b），S长方形=ab，C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π（R2-r2）,V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=

πR2h.

第五章走进图形世界

5.1知识框架

5.2知识梳理

5.2.1投影

投影的定义：

用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：

由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

中心投影：

由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

5.2.3视图

当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：

在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：

在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

第六章平面图形

6.1线段、射线、直线

几何图形：

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：

有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：

有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：

线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：

面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：

包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：

几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

直线的概念:

一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

射线的概念:

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。

这个点叫做射线的端点。

线段的概念:

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。

这两个点叫做线段的端点。

点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示。

一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。

一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。

注意：

（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。

（2）直线和射线无长度，线段有长度。

（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。

（4）点和直线的位置关系有线面两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

直线的性质

（1）直线公理：

经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。

它可以简单地说成：

过两点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

线段的性质

（1）线段公理：

所有连接两点的线中，线段最短。

也可简单说成：

两点之间线段最短。

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

6.2角

角的相关概念

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。

角的表示

角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：

①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：

用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

角的度量

角的度量有如下规定：

把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。

把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°=60’1’=60”

角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较

（3）角可以参与运算。

角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

邻补角：

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

对顶角：

一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

同位角、内错角、同旁内角：

同位角：

∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：

∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：

∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.3相交线

垂线：

两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

垂线的性质：

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

命题：

判断一件事情的语句叫命题。

平移：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

对应点：

平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

垂线的性质：

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

6.4平行线

平行线：

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

相交或平行。

注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

平行公理：

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：

性质1：

两直线平行，同位角相等。

性质2：

两直线平行，内错角相等。

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：

判定1：

同位角相等，两直线平行。

判定2：

内错角相等，两直线平行。

判定3：

同旁内角相等，两直线平行。

三线八角的基本性质（同位角，内错角，同旁内角）

1、同位角相等两直线平行

2、内错角相等两直线平行

3、同旁内角互补两直线平行

4、两直线平行同位角相等

5、两直线平行内错角相等

6、两直线平行同旁内角互补

6.5平移

平移：

在平面内，将某个图形沿某个方向一动一定距离

平移性质：

（1）平移不改变图形形状、大小

（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等

对应线段平行或在同一直线上且相等

对应角相等

6.6三角形

1.三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：

三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7.多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8.多边形的内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9.多边形的外角：

多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10.多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11.正多边形：

在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

12.平面镶嵌：

用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

13.公式与性质

三角形的内角和：

三角形的内角和为180°

14.三角形的性质

三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边。

推论：

三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：

三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：

在同一个三角形中：

等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

15.三角形外角的性质：

性质1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

16.三角形的分类

三角形按边分类：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按边分类：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：

等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

17.多边形内角和公式：

n边形的内角和等于（n-2）·180°

18.多边形的外角和：

多边形的内角和为360°。

19.多边形对角线的条数：

（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n边形共有

条对角线。

（1）外角：

三角形一边与另一边延长线组成的角叫三角形外角

（2）三角形内角和为180°

直角三角形两锐角互余

N边形内角和为（n－2）×180°

N边形外角和为360°

第七章幂的运算

同底数幂的乘法法则:

同底数幂相乘，底数不变，指数相加

（m,n都是正数）

幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘

（m,n都是正数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘

同底数幂的除法法则:

同底数幂相除,底数不变,指数相减,即

（a≠0,m、n都是正数,且m>n）.

在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即

如

（-2.50=1）,则00无意义.

③任何不等于0的数的-p次幂（p是正整数）,等于这个数的p的次幂的倒数,即

（a≠0,p是正整数）,而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的;当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如

④运算要注意运算顺序。

幂的运算性质：

①aman=am+n;

②am÷an=am-n;

③（am）n=amn;

④（ab）n=anbn;

⑤

第八章整式乘法与因式分解

8.1整式的乘法

整式的乘法法则：

（1）单项式乘法法则:

单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘:

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）．多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（4）乘法公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

（a+b）2=a2+2ab+b2;

（5）因式分解方法：

1.提公因式法；2.平方差公式、完全平方公式

8.2整式的除法

1.单项式除法单项式:

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连