平面三角形单元常应变单元matlab程序的编制.docx
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平面三角形单元常应变单元matlab程序的编制
平面三角形单元常应变单元matlab程序的编制
三角形常应变单元程序的编制与使用
有限元法是求解微分方程边值问题的一种通用数值方法,该方法是一种基于变分法(或变分里兹法)而发展起来的求解微分方程的数值计算方法,以计算机为手段,采用分片近似,进而逼近整体的研究思想求解物理问题。
有限元分析的基本步骤可归纳为三大步:
结构离散、单元分析和整体分析。
对于平面问题,结构离散常用的网格形状有三角形、矩形、任意四边形,以三个顶点为节点的三角形单元是最简单的平面单元,它较矩形或四边形对曲边边界有更好的适应性,而矩形或四边形单元较三节点三角形有更高的计算精度。
Matlab语言是进行矩阵运算的强大工具,因此,用Matlab语言编写有限元中平面问题的程序有优越性。
本章将详细介绍如何利用Matlab语言编制三角形常应变单元的计算程序,程序流程图见图1。
有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下:
1)整理原始数据,如材料性质、荷载条件、约束条件等,离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。
2)单元分析,建立单元刚度矩阵。
3)整体分析,建立总刚矩阵。
4)建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵
5)边界条件处理。
6)解方程,求出节点位移。
7)求出各单元的单元应力。
8)计算结果整理。
计算结果整理包括位移和应力两个方面;位移计算结果一般不需要特别的处理,利用计算出的节点位移分量,就可画出结构任意方向的位移云图;而应力解的
图1程序流程图
误差表现在单元内部不满足平衡方程,单元
与单元边界处应力一般不连续,在边界上应
力解一般与力的边界条件不相符合。
1.1程序说明
%*******************************************************************
%三角形常应变单元求解结构主程序
%*******************************************************************
●功能:
运用有限元法中三角形常应变单元解平面问题的计算主程序。
●基本思想:
单元结点按右手法则顺序编号。
●荷载类型:
可计算结点荷载。
●说明:
主程序的作用是通过赋值语句、读取和写入文件、函数调用等完成算法的全过程,即实现程序流程图的程序表达。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
1程序准备
formatshorte%设定输出类型
clearall%清除所有已定义变量
clc%清屏
●说明:
formatshorte-设定计算过程中显示在屏幕上的数字类型为短格式、科学计数法;
clearall-清除所有已定义变量,目的是在本程序的运行过程中,不会发生变量名相同等可能使计算出错的情况;
clc-清屏,使屏幕在本程序运行开始时
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
2全局变量定义
globalNNODENPIONNELEMNVFIXNFORCECOORDLNODSYOUNGPOISSTHICK
globalFORCEFIXED
globalBMATXDMATXSMATXAREA
globalASTIFASLODASDISP
globalFP1
●说明:
NNODE—单元结点数,NPION—总结点数,NELEM—单元数,NVFIX—受约束边界点数,NFORCE—结点力数,COORD—结构结点坐标数组,LNODS—单元定义数组,YOUNG—弹性模量,POISS—泊松比,THICK—厚度
FORCE—节点力数组(n,3)n:
受力节点数目,(n,1):
作用点,(n,2):
x方向,(n,3):
y方向;FIXED—约束信息数组(n,3)n:
受约束节点数目,(n,1):
约束点(n,2)与(n,3)分别为约束点x方向和y方向的约束情况,受约束为1否则为0
BMATX—单元应变矩阵(3*6),DMATX—单元弹性矩阵(3*3),SMATX—单元应力矩阵(3*6),AREA—单元面积
ASTIF—总体刚度矩阵,ASLOD—总体荷载向量,ASDISP—结点位移向量
FP1—数据文件指针
3打开文件
FP1=fopen('input.txt','rt');%打开输入数据文件存放初始数据
●说明:
FP1=fopen('input.txt','rt');-打开已存在的输入数据文件input.txt,且设置其为只读格式,使程序在执行过程中不能改变输入文件中的数值,并用文件句柄FP1来执行
FP2=fopen('output.txt','wt');-打开输出数据文件,该文件不存在时,通过此命令创建新文件,该文件存在时则将原有内容全部删除。
该文件设置为可写格式,可在程序执行过程中向输出文件写入数据。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
4读入程序控制信息
NPION=fscanf(FP1,'%d',1)%结点个数(结点编码总数)
NELEM=fscanf(FP1,'%d',1)%单元个数(单元编码总数)
NFORCE=fscanf(FP1,'%d',1)%结点荷载个数
NVFIX=fscanf(FP1,'%d',1)%
YOUNG=fscanf(FP1,'%e',1)%弹性模量
POISS=fscanf(FP1,'%f',1)%泊松比
THICK=fscanf(FP1,'%d',1)%厚度
LNODS=fscanf(FP1,'%d',[3,NELEM])'%单元定义数组(单元结点号)
●说明:
建立LNODS矩阵,该矩阵指出了每一单元的连接信息。
矩阵的每一行针对每一单元,共计NELEM;每一列相应为单元结点号(编码)、按逆时针顺序输入。
命令中,[3,NELEM]’表示读取NELEM行3列数据赋值给LNODS矩阵。
显然,LNODS(i,1:
3)依次表示i单元的i,j,k结点号。
COORD=fscanf(FP1,'%f',[2,NPION])'%结点坐标数组
●说明:
建立COORD矩阵,该矩阵用来存储各结点x,y方向的坐标值。
从FP1文件中读取全部结点个数NPOIN的坐标值,从1开始按顺序读取。
COORD(i,1:
2)表示第i个结点的x,y坐标。
FORCE=fscanf(FP1,'%f',[3,NFORCE])'%结点力数组
●说明:
(n,3)n:
受力结点数目,(n,1):
作用点,(n,2):
x方向,(n,3):
y方向
FIXED=fscanf(FP1,'%d',[3,inf])'%约束信息数组
●说明:
(n,3)n:
受约束节点数目,(n,1):
约束点(n,2)与(n,3)分别为约束点x方向和y
方向的约束情况,受约束为1否则为0
●总体说明:
从输入文件FP1中读入结点个数,单元个数,结点荷载个数,受约束边界点数,弹性模量,泊松比,厚度,单元定义数组,结点坐标数组,结点力数组,约束信息数组;
程序中弹性模量仅输入了一个值,表明本程序仅能求解一种材料构成的结构,如:
钢筋混凝土结构、钢结构,不能求解钢筋混凝土-钢组合结构。
infinite
采用了命令fscanf,其中:
’%d’表示读入整数格式,’%f'’表示读入浮点数;1表示读取1个数,[A,B]形式表示读A行B列数组,[A,B]’表示将[A,B]转置,inf表示正无穷。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
5调用子程生成单刚,组成总刚并加入约束信息
ASSEMBLE()
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
6调用子程生成荷载向量
FORMLOAD()
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
7计算结点位移向量
ASDISP=ASTIF\ASLOD'
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
8调用子程计算单元应力
WRITESTRESS()
%*******************************************************************
9关闭输出数据文件
fclose(FP2);
%*******************************************************************读取ASSEMBLE子程%*******************************************************************
functionASSEMBLE()
%所引用的全局变量:
globalNPIONNELEMNVFIXLNODSASTIFTHICK
globalBMATXSMATXAREAFIXED
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%计算单刚并生成总刚
ASTIF(1:
2*NPION,1:
2*NPION)=0;%张成特定大小总刚矩阵并置0
●说明:
Arraystiffness
建立单元刚度矩阵ASTIF,该矩阵的行列数均为2*NPION,NPION表示结点数,每个结点有两个方向的力和位移。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NELEM
FORMSMATX(i)%调用应力子程序
ESTIF=BMATX'*SMATX*THICK*AREA;%求解单元刚度矩阵
a=LNODS(i,:
);%临时向量,用来记录当前单元的节点编号
forj=1:
3
fork=1:
3
ASTIF((a(j)*2-1):
a(j)*2,(a(k)*2-1):
a(k)*2)=ASTIF((a(j)*2-1):
a(j)*2,(a(k)*2-1):
a(k)*2)+ESTIF(j*2-1:
j*2,k*2-1:
k*2);
%跟据节点编号对应关系将单元刚度分块叠加到总刚矩阵中
end
end
end
●说明:
FORMSMATX(i)调用应力子程序,提取i单元的应力矩阵SMATX;
a=LNODS(i,:
)记录i单元的三个结点编号;
for…end循环语句表示行从1到3循环,列从1到3循环,将单刚中的元素叠加至总刚中:
ASTIF((a(j)*2-1):
a(j)*2,(a(k)*2-1):
a(k)*2)表示总刚中第a(j)*2-1到:
a(j)*2行,第a(k)*2-1到a(k)*2列的元素由单刚中第j*2-1到j*2行,第k*2-1到k*2列的元素叠加而得,a(j)*2即将单元中的位移编码对应到整体的位移编码。
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%将约束信息加入总刚(置0置1法)
NUM=1;%计数器(当前已分析的节点数)
NVFIX:
受约束边界点数
i=0;%计数器(当前已处理的约束数)
tmp(NVFIX)=0;%临时存被约束的序号
whileiforj=-1:
0
ifFIXED(NUM,j+3)==1%若发现约束
temporary
i=i+1;%计数器自增
tmp(i)=FIXED(NUM)*2+j;%求约束序号
end
end
NUM=NUM+1;
end
●说明:
tmp(NVFIX)=0,形成一个元素值均为0的一行,NVFIX列的行向量,
执行while语句,首先判断i是否小于控制数据NVFIX,若小于则往下进行,若不小于则退出。
执行for语句,FIXED(NUM,j+3)表示约束信息数组中第NUM行,第j+3列的元素,j从-1到0,即j+3表示2到3列,即约束信息数组中描述结点x和y方向受约束的情况,判断FIXED(NUM,j+3)若等于1,则约束数自增,若不等于1则跳出。
FIXED(NUM)表示FIXED(NUM,1),tmp(i)=FIXED(NUM)*2+j计算整体约束序号,将序号放入tmp行向量中的i列。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NVFIX
ASTIF(1:
2*NPION,tmp(i))=0;%将一约束序号处的总刚列向量清0
ASTIF(tmp(i),1:
2*NPION)=0;%.将一约束序号处的总刚行向量清0
ASTIF(tmp(i),tmp(i))=1;%将行列交叉处的元素置为1
end
●说明:
后处理法中置0置1法,设
(包括
),则将总刚中的主元素
Kjj换为1,j行和j列的其他元素均改为零。
%*******************************************************************
%读取FORMSMATX子程
%*******************************************************************
functionFORMSMATX(ELEMENT)%计算应力矩阵
%引用所需的全局变量
globalNPIONNELEMCOORDLNODSYOUNGPOISS
globalBMATXDMATXSMATXAREA
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
%生成弹性矩阵D
a=YOUNG/(1-POISS^2);
DMATX(1,1)=1*a;
DMATX(1,2)=POISS*a;
DMATX(2,1)=POISS*a;
DMATX(2,2)=1*a;
DMATX(3,3)=(1-POISS)*a/2;
●说明:
平面应力问题的弹性矩阵
其中,E为弹性模量,
为泊松比。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
i=ELEMENT;%i为当前所计算的单元号
%计算当前单元的面积
AREA=det([1COORD(LNODS(i,1),1)COORD(LNODS(i,1),2);...
1COORD(LNODS(i,2),1)COORD(LNODS(i,2),2);...
1COORD(LNODS(i,3),1)COORD(LNODS(i,3),2);])/2;
●说明:
det表示求矩阵行列式的值,
,其中
分别表示一个三角形单元的三个节点坐标。
MATLAB中若一行中无法写下一个完整的命令,则可以在行尾加入3个连续的英文句号,表示命令余下的部分在下一行出现。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------%生成应变矩阵B
forj=0:
2
b(j+1)=、COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),2)-COORD(LNODS(i,(rem((j+2),3))+1),2);
c(j+1)=
-COORD(LNODS(i,(rem((j+1),3))+1),1)+COORD(LNODS(i,(rem((j+2),3))+1),1);
end
BMATX=[b
(1)0b
(2)0b(3)0;...
0c
(1)0c
(2)0c(3);...
c
(1)b
(1)c
(2)b
(2)c(3)b(3)]/(2*AREA);
●说明:
应变矩阵
rem表示求余函数,rem(x,y)命令返回的是x-n.*y,当y
0时,n=fix(x./y),其中fix为最近的整数取整。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
SMATX=DMATX*BMATX;%求应力矩阵S=D*B
%*******************************************************************
%读取FORMLOAD子程
%*******************************************************************
functionFORMLOAD()%本子程生成荷载向量
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%所需引用的全局变量
globalASLODNPIONNFORCEFORCE
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
ASLOD(1:
2*NPION)=0;%张成特定大小的0向量
●说明:
ASLOD为总体荷载向量,每个结点有x,y两个方向的结点力。
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NFORCE
ASLOD((FORCE(i,1)*2-1):
FORCE(i,1)*2)=FORCE(i,2:
3);
end
●说明:
FORCE(i,1)为作用点,FORCE(i,2:
3)为x,y方向的结点力。
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%将有约束处的荷载置为0
NUM=1;
i=0;
tmp(NVFIX)=0;
whileiforj=-1:
0
ifFIXED(NUM,j+3)==1
i=i+1;
tmp(i)=FIXED(NUM)*2+j;
end
end
NUM=NUM+1;
end
fori=1:
NVFIX
ASLOD(tmp(i))=0;
end
●说明:
置0置1法,同上。
%*******************************************************************
ASDISP=ASTIF\ASLOD'%计算结点位移向量
%*******************************************************************
%读取WRITESTRESS子程
%*******************************************************************
functionWRITESTRESS()
%求解内力,即两个方向的正应力与一个剪应力(
)
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%所引用的全局变量
globalNELEMNPIONSMATXASDISPLNODS
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
ELEDISP(1:
6)=0;%当前单元的结点位移向量
●说明:
ELEDIS为单元的结点位移
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NELEM
forj=1:
3
ELEDISP(j*2-1:
j*2)=ASDISP(LNODS(i,j)*2-1:
LNODS(i,j)*2);
end
FORMSMATX(i)%%%调用子程求应力矩阵
i
STRESS=SMATX*ELEDISP'%求内力
end
●说明:
通过循环,依次从结构位移列阵中对号,赋值给第i个单元的单元位移向量ELEDISP。
%----------------------