连续时间信号与系统的频谱分析.docx

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连续时间信号与系统的频谱分析

理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个或几个频段内频率响应为常数而在其它频段内频率响应等于零理想滤波器可分为低通高通带通带阻滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带passband完全不允许信号通过的频段称为阻带stopband连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通高通带通带阻各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来理想低通的频率特性●的低频段内传输信号无失真●为截止频率称为理想低通滤波器的通频带简称频带即时理想低通的冲激响应波形1．比较输入输出可见严重失真2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统几点认识当经过理想低通时以上的频率成分都衰减为0所以失真信号频带无限宽而理想低通的通频带系统频带有限的系统为全通网络可以无失真传输原因从ht看t0时已有值理想低通的阶跃响应激励系统响应1下限为02奇偶性奇函数正弦积分3最大值出现在最小值出现在阶跃响应波形2．阶跃响应的上升时间tr与网络的截止频率B带宽成反比B是将角频率折合为频率的滤波器带宽截止频率几点认识1．上升时间输出由最小值到最大值所经历的时间信号的抽样与恢复在日常生活中常可以看到用离散时间信号表示连续时间信号的例子如的照片电视屏幕的画面电影胶片等等这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系在一定条件下可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不丢失原来信号所包含的信息一幅新闻照片局部放大后的图片另一幅新闻照片局部放大后的图片在什么条件下一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号本课研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要包括抽样在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为抽样是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示对一维连续时间信号采样的例子　　在没有任何条件限制的情况下从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号　此外对同一个连续时间信号当采样间隔不同时也会得到不同的样本序列利用开关信号pt从连续信号ft中抽取一系列离散样本值的过程引例信号数字处理开关信号需解决的问题FjPj如何进行抽样冲激序列抽样s2m有限带宽信号采样的数学模型在时域在频域冲激串采样理想采样为采样间隔可见在时域对连续时间信号进行冲激串采样就相当于在频域将连续时间信号的频谱以为周期进行延拓在频域由于所以1当s2m时Fsj是Fj在不同s倍数上的重复与再现幅值为原值的1Ts讨论采样周期变化对频谱的影响2当s2m时Fsj中出现Fj的叠加与混合Overlap现象要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号就意味着要能够从中不失真地分离出这就要求在周期性延拓时不能发生频谱的混叠为此必须要求1必须是带限的最高频率分量为2采样间隔周期不能是任意的必须保证采样频率其中为采样频率在满足上述要求时可以通过理想低通滤波器从中不失真地分离出Nyquist抽样定理对带限于最高频率的连续时间信号如果以的频率进行理想采样则可以唯一的由其样本来确定在工程实际应用中理想滤波器是不可能实现的而非理想滤波器一定有过渡带因此实际采样时必须大于即从fst中恢复ft要求理想低通滤波器信号恢复信号ft的恢复实现理想低通滤波器当s2m时Fsj含有Fj完整频谱s2m理想冲激序列抽样傅里叶生平生于1768年3月21日1807年提出任何周期信号都可用正弦函数级数表示1829年狄里赫利为他证明拉格朗日的反对发表1822年首次发表热的分析理论中方法2利用时域卷积定理周期T利用冲激函数的抽样性质功率谱周期信号平均功率直流基波及各次谐波分量有效值的平方和也就是说时域和频域的能量是守恒的绘成的线状图形表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况称为功率谱系数能量谱调制与解调在通信系统中信号从发射端传输到接收端为实现信号的传输往往要进行调制和解调高频信号容易以电磁波形式辐射出去多路信号的传输频分复用相关课程中讲解调制与解调的侧重点不同信号与系统应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理通信原理研究不同的调制方式对系统性能的影响通信电子电路调制／解调电路的分析调制原理一般的通信系统总是由以下环节组成在通信系统中调制与解调是一种基本的技术调制是指用一个信号去控制另一个信号的某一个参量的过程被控制的信号称为载波CarrierWave变换器发送系统信道接收系统变换器消息信号信号消息调制解调控制信号称为调制信号也称为基带信号调制的分类按载波正弦型信号作为载波调幅AM调频FM调相PM脉冲串或一组数字信号作为载波连续性模拟连续调制数字调制模拟调制是数字调制的基础幅度调制振幅调制调制信号已调信号载波信号载波角频率频谱结构解调将已调信号恢复成原来的调制信号的过程本地载波与发送端载波同频同相频谱调制信号载波信号抑制载波调幅调幅解调利用包络检波器解调频分复用复用在一个信道上传输多路信号频分复用FDM时分复用TDM频分复用就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制frequencydivisionmultiply调制将各信号搬移到不同的频率范围复用收信端复用收信端收信端带通滤波器分开各路信号解调频分复用解调分析先利用一个带通滤波器滤出附近的分量再同步解调再使用低通滤波器完成解调连续时间系统的频域分析则根据卷积定理有傅里叶变换形式的系统函数设频率响应特性系统函数的物理意义系统可以看作是一个信号处理器激励Fj响应Hj·Fj对于不同的频率有不同的加权作用这也是信号分解求响应再叠加的过程对信号各频率分量进行加权系统增益系统相移频率响应的求法1用微分方程表征的系统例对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应例2以方框图描述的系统互联系统的级联并联H1jH2jH1jH2j反馈联结信号的无失真传输失真线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成●幅度失真由于频谱的模改变而引起的失真●相位失真由于频谱的相位改变引起的失真各频率分量产生的相移不与频率成正比使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化信号经系统传输要受到系统函数的加权输出波形发生了变化与输入波形不同则产生失真●线性系统的失真幅度相位变化不产生新的频率成分●非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分对系统的不同用途有不同的要求●无失真传输●利用失真波形变换无失真传输条件幅度可以比例增加可以有时移波形形状不变激励为响应为称为不失真频谱图几点认识●要求幅度为与频率无关的常数K系统的通频带为无限宽●相位特性与成正比是一条过原点的负斜率直线●不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数相位特性为什么与频率成正比关系只有相位与频率成正比方能保证各谐波有相同的迟延时间在延迟后各次谐波叠加方能不失真延迟时间td是相位特性的斜率群时延或称群延时在满足信号传输不产生相位失真的情况下系统的群时延特性应为常数理想滤波器1频率成形滤波器2频率选择性滤波器滤波通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波滤波器可分为两大类持续时间短变化快信号在频域高频分量增加频带展宽各分量的幅度下降a倍此例说明信号的持续时间与信号占有频带成反比有时为加速信号的传递要将信号持续时间压缩则要以展开频带为代价2a1时域压缩频域扩展a倍时移特性幅度频谱无变化只影响相位频谱时移加尺度变换则例求图a所示三脉冲信号的频谱解jj因为脉冲个数增多频谱包络不变带宽不变j例方法一先标度变换再时延方法二先时延再标度变换相同j证明频移特性则说明应用通信中调制与解调频分复用已知矩形调幅信号解因为例已知矩形脉冲的频谱j频谱图卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用则则时域卷积定理的证明因此所以卷积定义交换积分次序时移性质求系统的响应将时域求响应转化为频域求响应应用用时域卷积定理求频谱密度函数例j则一般情况微分性质时域微分性质频域微分性质或推广求三角函数的频谱密度函数．例分析解例解例解时域积分性质也可以记作则例1求单位阶跃函数的傅里叶变换解解则频域积分周期信号的傅里叶变换周期信号非周期信号周期信号的傅里叶变换如何求与傅里叶级数的关系j傅里叶级数离散谱由欧拉公式由频移性质正弦信号的傅里叶变换同理已知由傅里叶级数的指数形式出发其傅氏变换用定义一般周期信号的傅里叶变换设一般周期信号的周期如何由求比较式12周期单位冲激序列的傅里叶变换频谱周期矩形脉冲序列的傅氏变换方法1指数形式的谱系数频谱及其特点1包络线形状抽样函数3离散谱谐波性5不变时不变时周期性矩形脉冲信号的频谱特征1离散性2谐波性3收敛性考查周期和脉冲宽度改变时频谱的变化当不变改变时随使占空比减小谱线间隔变小幅度下降但频谱包络的形状不变包络主瓣内包含的谐波分量数增加2当改变不变时随使占空比减小谱线间隔不变幅度下降频谱的包络改变包络主瓣变宽主瓣内包含的谐波数量也增加非周期信号的频谱分析－傅里叶变换在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号对非周期信号应该如何进行分解什么是非周期信号的频谱表示就是这一部分要解决的问题

在时域可以看到如果一个周期信号的周期趋于无穷大则周期信号将演变成一个非周期信号反过来任何非周期信号如果进行周期性延拓就一定能形成一个周期信号我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限从而考查连续时间傅立叶级数在T趋于无穷大时的变化就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法非周期信号ft可看成是周期T→∞时的周期信号前已指出当周期T趋近于无穷大时谱线间隔趋近于无穷小从而信号的频谱变为连续频谱各频率分量的幅度也趋近于无穷小不过这些无穷小量之间仍有差别从傅里叶级数到傅里叶变换为了描述非周期信号的频谱特性引入频谱密度的概念00-2Tw1频谱密度函数简称频谱函数单位频带上的频谱值2T1nw-jtdtetf时有界函数频谱密度函数的表示称为傅立叶变换一般为复信号可表示为幅度频谱反变换由复指数形式的傅里叶级数傅里叶变换对两个关系欧拉公式傅里叶变换的表示实信号偶分量奇分量实部虚部实部虚部模相位偶函数奇分量为零奇函数偶分量为零为实函数只有相位为虚函数只有相位傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号幅度频谱相位频谱频谱图幅度频谱相位频谱频宽单边指数信号频谱图幅度频谱相位频谱双边指数函数结论实偶信号的傅立叶变换是实偶函数此时可以用一幅图表示信号的频谱对此例有10单位阶跃信号单位冲激函数这表明中包括了所有的频率成分且所有频率分量的幅度相位都相同因此系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性才在信号与系统分析中具有如此重要的意义01傅里叶变换的性质线性性质对称性质例例尺度变换性质jj证明综合上述两种情况因为10a1时域扩展频带压缩2a1时域压缩频域扩展a倍可以看出jj10a1时域扩展频带压缩脉冲持续时间增加a倍变化慢了信号在频域的频带压缩a倍高频分量减少幅度上升a倍北京邮电大学电子工程学院20023连续时间信号与系统的频谱分析频域分析　　从本章开始由时域转入变换域分析首先讨论傅里叶变换傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的这方面的问题也称为傅里叶分析频域分析将信号进行正交分解分解为三角函数或复指数函数的组合　　频域分析将时间变量变换成频率变量揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系从而导出了信号的频谱带宽以及滤波调制和频分复用等重要概念　任何科学理论科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的其中有争论还有人为之献出了生命历史的经验告诉我们要想在科学的领域有所建树必须倾心尽力为之奋斗今天我们将要学习的傅立叶分析法也经历了曲折漫长的发展过程刚刚发布这一理论时有人反对也有人认为不可思议但在今天这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用1768年生于法国1807年提出任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示拉格朗日反对发表1822年首次发表热的分析理论1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶生平17681830发展历史1822年法国数学家傅里叶JFourier1768-1830在研究热传导理论时发表了热的分析理论提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理奠定了傅里叶级数的理论基础泊松Poisson高斯Guass等人把这一成果应用到电学中去得到广泛应用19世纪末人们制作出用于工程实际的电容器进入20世纪以后谐振电路滤波器正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中傅里叶变换法具有很多的优点FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论引出傅里叶变换建立信号频谱的概念通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究初步掌握傅里叶分析方法的应用对于周期信号而言在进行频谱分析时可以利用傅里叶级数也可以利用傅里叶变换傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式本章最后研究抽样信号的傅里叶变换引入抽样定理周期信号的频谱分析

傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数是一个完备的正交函数集t在一个周期内n01由积分可知三角函数集在满足狄氏条件时可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数其系数级数形式周期信号ft周期为T基波角频率为Dirichlet条件在任何周期内信号绝对可积在任何有限区间内只有有限个极值点且极值为有限值在任何有限区间内只有有限个第一类间断点因此信号绝对可积就保证了的存在其它形式余弦形式函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数1．偶函数信号波形相对于纵轴是对称的傅里叶级数中不含有正弦项只含直流项和余弦项频谱函数为实函数2．奇函数傅里叶级数中无余弦分量频谱函数为虚函数3．奇谐函数ft的傅氏级数偶次谐波为零即n246时n135时若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转此时波形并不发生变化4．偶谐函数n246时n135时ft的傅氏级数奇次谐波为零只有偶次谐波分量波形移动与原波形重合称为偶谐函数信号频谱的概念幅度频率特性和相位频率特性从广义上说信号的某种特征量随信号频率变化的关系称为信号的频谱所画出的图形称为信号的频谱图周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值相位随频率的变化关系即将和的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图分别称为幅度频谱图和相位频谱图因为n≥0所以称这种频谱为单边谱周期信号频谱具有离散性谐波性收敛性指数函数形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数含义比较明确但运算常感不便因而经常采用指数形式的傅里叶级数可从三角形式推出利用cosxejxe–jx2上式中第三项的n用–n代换则上式写为令则说明相频特性幅频特性和相频特性幅频特性同样可画和的关系称为双边谱若为实数也可直接画1周期信号ft的傅里叶级数有两种形式三角形式指数形式总结2两种频谱图的关系单边频谱双边频谱关系wjwnnF指数函数形式●幅频谱为偶函数●相频谱为奇函数●wjwnnA三角函数形式3三个性质4引入负频率注意冲激函数序列的频谱不满足收敛性收敛性谐波性频率只出现在nω1处唯一性ft的谱线唯一确定信号的基频和周期请画出其幅度谱和相位谱例化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角形式的傅里叶级数的谱系数化为指数形式整理指数形式的傅里叶级数的系数谱线指数形式的频谱图三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图

周期性矩形脉冲信号的频谱E0T1-T1是个偶函数北京邮电大学电子工程学院20023傅里叶生平生于1768年3月21日1807年提出任何周期信号都可用正弦函数级数表示1829年狄里赫利为他证明拉格朗日的反对发表1822年首次发表热的分析理论中

对于双边频谱负频率只有数学意义而无物理意义为什么引入负频率