十特征值与特征向量典型题.docx
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十特征值与特征向量典型题
特征值与特征向量典型题
1、特征值与特征向量
1.（95,八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为人1=一1,九2=知=1,对应于&i的特征向量为「（0,1,1）T，求A
【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个
线性无关特征向量J,提3后，由公式
A（"1,良，9=3-1%，以2,&匕3）；可解出A=（乳1&1,喝馈，，g）（亳1，&，J）_1
【详解】设对应于入2=秘=1的特征向量为匚=（X1,X2X）T，根据A为实对称矩阵的假设知次=0,即X2+X3=0,解得乌=（1,0,0）T,V=（0,1,-1）T
于是由A（1,2,3）=（W"2‘2"33）
A=（，1"22,'33）（1,2,3）」
有
一01
01
一0101
」一1
0
。
1
=-10
1
101
=0
0
-1
-10
一1一
J0一1一
：
°
-1
0」
2.（98,填4题，3分）设A为n阶矩阵，A#0,a*为A的伴随矩阵，E为n
阶单位矩阵，若A有特征值舄，贝U（A*）2+E必有特征值（四）2+1
k
【分析】本题从特征值、特征向量的定义Ax=^x,x#0进行推导即可
【详解】设Ax=^x（x#0）,贝UA’x=【xn|AA^xu^xjx。
。
）
AA|A
ttrt*R'rI7-*99*9.9
ljIIaII{Ai>/a\/Il\匕r/a\fiL.ir/II\匕xi_tc
艮I」Ax=—x从nt（A）x=（—）x[（A）+E]x=[（—）+1]x,x。
0
Aj/u/u
可见（A*）2+E必有特征值（因）2十1
/u
n【
3.（99,填4题,3分）设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是n,0,…，0
故矩阵A的n个特征值是
n.1
因此本题应填n,0,…,0
【分析】因为r（A）=1,所以帼E—A=7『-£az
兀E-
-A
—
Z-1
-1
-1…
1…
-1
-1
=
"n
兀—n
1…
-1
-1
-1
一1…
舄一1
兀—n
一1…
兀一1
1
_1…
-1
—
:
九一n
0
0
=
（；
八一n）
匚n-1
0
0…
/.
【详解】因为
重）
n和0（n-1
阵A*有一个特征值舄，属于扁的一个特征向量为口=（-1,-1,1）T，求a、b、c和端的
【分析】利用AA*=|AE,把A%=扁口转化为%A=小是本题的关键
【详解】根据题设有E
待,又AAA=AE=-E于是AA*a=A"=M0A,即
故a=c=2,因化匕a=2,b=—3,c=2,扁=1
的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵
【分析】可先求出A*,P」，进而确定B=P」A*P及B+2E,再按通常方法确定其特
征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值
与特征向量，最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量
【详解1】经计算可得
一5
_2
-21
一0
1
-11
一7
0
01
*
A=
-2
5
-21
P」
1
0
01
B=
=P」A*P=
-2
5
-4
-2
-2
5一
0
0
1一
-
-2
-2
3」
900
从而B+2E=|-27-4
IL-2-25
S9
0
0
舄E-（B+2E）=
2
舄-7
4
2
2
"5
_2-
c-9）2C-3）
故B+2E的特征值为气=提=9，勾=3
当\=\=9时，解（9E-A）x=0,得线性无关的特征向量为
一-1]--21
3=1『2=0所以属于特征值A1=%2=9的所有特征向量为
一。
」-1」
-1-2
k^^k^^k1pk2|oI，其中k1,k2是不全为零的任意常数
-0」-1」
当勾=3时，解（3E-A）x=0,得线性无关的特征向量为
【详解2】设A的特征值为兀，对应特征向量为n,即A6
Pj
=（，-1）2（，-7）
-1-1
苴可取为■=1|,%=0
2」J」
一1〕
^3=I
JJ
一-1]一0]
=1,P*3=1
njj
9,3
由于A=7.0,所以赤孝0；又因A*A=AE,故有A*=回。
B（P^^PaAP（P^^-a（P^）,
于是有
（B2E）pi=（—2）Pj
因此，四+2为B+2E的特征值，对应
九一3-2-2
由于舄E—A=-2Z-3-2
-2-2兀—3
故A的特征值为成1=｝吃=1』.3=7
当&=1时，对应的线性无关特征向
当勾=7时，对应的一个特征向量为
由pn00」，得pf=1/pf
■00dm」
因此，B+2E的三个特征值分别为9,
对应于特征值9的全部特征向量为
一1]一-们
kU*+k2P^2=临T也1,其中k1,k2是不全为零的任意常数；
一。
」JJ
0
对应与特征值3的全部特征向量为k3P知3=k3〔1,其中k3为非零的任意常数
Jj
6.（06,（21）题,9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3,向量％=（一低,—1）T,
口2=（0,T,1）T是线性方程组Ax=。
的两个解
（I）求A的特征值与特征向量
（n）求正交矩阵Q和对角矩阵a,使qtaq=a
【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与
实对称矩阵的已知条件求解
【详解】（I）因为％,%是齐次方程组Ax=0的两个解，即
A：
1=0：
1,A：
2=0：
2
所以0是A的一个特征值，%%是对应的两个特征向量，又％,0（2线性无关，故特征值0的代数重数至少是2
已知A各行元素之和均为3,取％=（1,19"则A"3=^3,说明3是A的另一个特征值，％是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵,故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为kM+k舟2（k1,k2为不全为零的任意
实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为橱咔（k3为任意非零实数）
（H）令"一."一.（「2,-1）」101J--.
1一1,2—2一--1一（一,0,）,3—3
（、，、）22
1了:
-"「.y
，而"±2±）T
Q和对角矩阵A
则n1?
2?
3是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵
_1_11
|VoV2寸3
21
Q=「nnni=_^0_1
QL1,2,3」厂0广，
I上1.764i屈
贝UQtAQ=Q」AQ=-L
2、相似矩阵与相似对角化
12-12
1.（97,七
（2）题），6分）已知匚=1是矩阵a=5a3的一个特征向量,
T一-1b-2_
（I）试确定参数a,b及特征向量。
所对应的特征值
（II）问A能否相似于对角阵？
说明理由
【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问题，A能
否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量
【详解1（I）由题设，有A、麟，即
可见舄=-1为A的三重根，但秩r（-E-A）=2，从而九=-1对应的线性无关特征向量
只有3-r（-E-A）=1个，故A不可对角化
（2）验证％=",七='Ti式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征
'DJ）
值;
【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关
系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求
矩阵的n次籍，可利用对角化得到
【详解】
（1）由题意，得
5
yn）
21
Xn1=—Xn-（—Xn
9
.2
'9
2、
Xn十
yn
/、
/、
10
5
即
Xn+
—
10
5
Xn
1工3
X士一
Xn
yn
Mb
1_
3
*
10
5
<10
5J
6
31
yn1=匚（匚Xnyn）
56
56
里_2、可见A=10513
而5>
4-1.
⑵因为仃列式|（*=11=5湘可见官2线性无关
一砂…
又A-==2,故1为A得特征向量，且相应的特征值*1=1
妇
_1
A^=2为A的特征向量，且相应的特征值灼=】
122
12}
一,,一一、，〜一*（4-1?
因此只要计算An即可令PW”％、
L11）
则由P〔AP="、有A=P"、P=
'3.（01,十题，8分）已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,Ax线性
无关，且满足Ax=3Ax-2A2x
（1）记P=（x,Ax,A2x），求2阶矩阵B,使A=PBP」；
（2）计算行列式A+E
【分析】第一问实际上是求A的相似矩阵，但这里x,Ax,A2x不一定是特征向量,
所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想，即将
A=PBP，改写成AAPR从而确定出B;在第二问中，根据第一问中确定的B,
由A与B相似，可知A+E与B+E也相似，而相似矩阵有相同的行列式，于是
由于x,Ax,A2x线性无关，所以
0,同理A有特征值—3和1,从而
对于本题而言，第二问还有另外一种解法：
由A3x+2A2x-3Ax=0有
（A3+2A2—3A）x=0,即A[（A—E）（A3E）x彳，（A-E）（A+3E）对，0因此，A有一个特征值为
A+E=Y
【详解】
（1）
方法
因为Ax=Ax
2
A（Ax）=A2x
于是综合上述三式有
A（x,Ax,A2x）=（Ax,A2x,A3x）=（Ax,A2x,3Ax-2A2x）000
000
=（x,Ax,A2x）103
01-2
000
也即A=PBP」，其中B=103
01-2_
a3
b3，则有AAPB得（Ax,A2x,A3x）=（x,Ax,A2x）§炫b3
C3」gC2
2
Ax=a〔x0AxCiAx,A22
Ax=a?
xb?
AxC2Ax,32
Ax=a3xb3AxC3Ax,
将A3x=3Ax-2A2x代入③式得3Ax-2A2x=a3x+b3Ax+c3A2x
由于x,Ax,A2x线性无关，故由①式可得％=弓=0,^=1；
由②式可得a?
=C2=0尬=1；由④式可得a3=0,b3=0,C3=-2
000
故B=103
01_2一
方法三：
将A3x=3Ax-2A2x改写成A（A2x-Ax）=-3（A2x-Ax）
故力7为A得特征值，A2x-Ax为属于一3得特征向量；
同理可得兀2=1也是A得特征值，A2x-3Ax为对应于特征值1得特征向量;
也=0也是A的特征值，A2x+2Ax-3x为对应于特征值0的特征向量
00-300-3
令Q=（x,Ax,A2x）-132=P-132
■111一J11一
j
-300-3
2PAP-132
1--111
1
-300-3
2B-132
-300
角方阵：
Q*AQ=010
000
所以
1111
100
A+E|=B+E|=113=V
01-1
4.（02,十题，8分）设A,B为同阶方阵
（1）如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等
（2）举一个二阶方阵的例子说明
（1）的逆命题不成立
（3）当A,B均为实对称矩阵时，试证
（1）的逆命题成立
【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要条件而非充分条件；两实对称方阵相似的充要条件第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁，在第二
问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当a为二重特征时,相似，故危1'必与a0'相似
<0方口b
【详解】
（1）若A,B相似，则存在可逆矩阵P,使得P^BP=B,故
人E-B=
LE—P」AP
=P」（AE—A）P
—
P-1AE—A||P|=&E—A
（2）令a/10〕B='11】则
I。
VL。
1
—A=|舄E—B=（舄一1）2
但AB不相似，否则，存在可逆矩阵P,使b=p"ap=p」p=e,矛盾
（3）由A,B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A,B的特征多项式相等，记特征多项式的根为"…，如，则有
「&11
A：
气，B：
七；即存在可逆矩阵P,Q使I,
「扁1
P^AP=\=Q」BQ；于是成。
^尸入仲。
""）=B
故AB为相似矩阵
12-3
5.（04,21题，9分）设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根，求a的
.1。
5_
值，并讨论A是否可相似对角化
【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量,确定A是否可相似对角化即可
【详解】A的特征多项式为
Z-1
-2
3
Z-22
-九
0
—
1
-4
3
—
1君
-4
3
-1
-CL
Z-5
-1
-CL
Z-5
1
-1
0
1
0
0
=
：
（「2）
1
兀一4
3
=0-2）
1
兀—4
3
-1
-0（赤
-5
-1
-0（
「5
，E-A
2
（'*一2）（*183艺）
当舄=2是特征方程的二重根，则有4—16+18+3a=0,解得a=一2
1-23
当口=书时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E—A=1-23的秩为1
-12-3_
故舄=2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化
若赤=2不是特征方程的二重根，则8兀+18+初为完全平方，从而18+3a=16,解得-
3
-1
3-23
当口=皇时A的特征值为2,2,4,矩阵4E-A=103的秩为2,故人=4
3
12
.—I——I
—3―
对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化
3、二次型的标准型
1.（96,九题，8分）已知二次型f（x,x2,x3）=5x12+5x；+cx；-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩
为2
（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；
（2）指出方程f&x2，x3）=1表示何种二次曲面
【分析】本题考查二次型矩阵，属常规题型。
在解答之前，需认真审题，抓住
字眼，这是解题的关键
【详解】
（1）此二次型对应矩阵为
5-13
A=—15-3
3-3c
因秩（A）=2,故|A|=0,由此解得c=3,容易验证，此时A的秩的确为2
九-51-3
又由|AE—A|=1九—53=九（兀—4）（^—9）
-33Z-c
所求特征值为、=0"2=4"3=9
（2）由特征值可知f（x，X2，X3）=1表示椭圆柱面
2.（98,十题，6分）已知二次曲面方程x+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以经
■xl「勺
过正交变换y=Pn化为椭圆柱面方程n2+4^=4,求a,b的值和正交矩阵P
;J广J
【分析】本题表示曲面的二次型是相似的，他们对应的矩阵也是相似的，相似
矩阵由相同的特征多项式，由此可解出a和b,进而可求出特征值对应的特征向
量，将他们单位化后，这些相互正交的单位向量构成矩阵P,本题a,b也可以根
据两个等式|A=|B|,1+a+1=0+1+4求得
1b1000
【详解】由题设知，矩阵A=ba1与B=010相似，于是有
111一_004_
次E—A=—B
禹一1
_b
-1
X
0
0
即
-b
人—a
-1
—
0
人—1
0
解得a=3,b=1
-1
_1
九一1
0
0
人—4
解（4E—A）x=0,得属于特征值七=4的特征向量为叫=（1,2,1）丁
将"203单位化得
_-_（101）^_-_（111）T—21）T
1T：
i一（20,P2一|：
2一（3、.3\3），3一|：
3一"召代项）
3.（02,填4题,
人_a_2
jW|*E-A=-2兀-a
_2—2
3分）已知实二次型f（x,x2,x3）=a（x；+x；+x2）+4x1x2+4x1x3+4x2x3
经正交变换x=Py可化标准型f=6y12，贝Ua=2
【分析】把题设中二次型经正交变换化为标准型，因为前后二次型所对应矩阵既是合同的又是相似的，根据这两个矩阵相似，可知到特征值相同，特征多项式相同，从而可确定待求的参数
【详解1】二次型
f（x1,x2,x3）=a（x12x；x；）4x1x24x1x34x2x3
-a22〕
所对应矩阵为A=2a2
N2aj
600
标准型f=6y；所对应矩阵为B=000
■000」
根据题设知A,B为相似矩阵，所以A,B的特征值相同，可见A的三个特征值为6,0,0.
_2
一、，-_2
-2=[A—（a+4）][次一（a—2）]
A—a
可见a+4=6,a-2=0，故有a=2
【详解2】由A,B为相似矩阵知，对应特征多项式相同，即
，E—A=|，E—B
兀一a
-2
-2
「6
0
0
于是有
-2
%-a
-2
=
0
X
0
-2
-2
M_a
0
0
即[，一04）][--（a一2）]2=?
；3-62
3-3a23（a2-4^-（a4）（a-2）2-6，2
比较同次籍的系数知a=2
4.（05,20题,9分）已知二次型f（x,x2,x3）=（1-a）*2+（1-a）x；+2x2+2（1+a）x1x2的
秩为2
（I）求a的值；
（H）求正交变换x=Qy,把f（xi,x2,x3）化成标准型;
（HI）求方程f（xi,x2,x3）=0的解
【分析】（I）根据二次型的秩为2,可知对应矩阵的行列式为0,从而可求a的
值；（H）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到
所需的标准型；（m）利用第二步的结果，通过标准型求解即可
11-a1a0I
【详解】（I）二次型矩阵A=1+a1-a0,由二次型的秩为2知
■002_
1-a1+a0
A=1+a1-a0=2,得a=0002
禹—1—10
（丑）由人E—A=—1兀一10=，-（危一2）2=0
00"2
知矩阵A的特征值是2,2,0
对九=2,由（2E—A）x=0,
1-101-10
-110t000
得特征向量：
1=（1,1,0）T,「2=（0,0,1）T
000000
「-1-1011
-1-10T00
-00-2_-00
得特征向量：
^（1^1,0）T由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有
1TT1
丫1=而（1,1,0），&=（0,0,1）,?
1=注（1,—1,0）
22
f（冷网乂）=2y〔2y2
（HI）方程f（x1,x2,x3）=x12•x；•2xf2x1x2=（x1x2）22x3=0
即=°所以方程的解是k（1,-1,0）T
2x3=0
4、正定矩阵1.（99,H^一题，6分）设A为m阶实对称矩阵且正定，B为n^n实矩阵，bt为
B的转置矩阵，试证：
btab为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B）=n
【分析】本题的证法很多，例如，利用秩的定义和性质可证必要性；充分行的
证明可用特征值法
【详解】必要性.设btab为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量x#0,有xT（BTAB）x》0，即（Bx）TBA（Bx）>0，于是，Bx#0,因此，Bx=0只有零解，故有
r（B）=n
充分性.因（BTAB）T=btatb=btab，故btab为实对称矩阵。
若r（B）=n，贝线性方
程组Bx=0只有零解，从而对任意的实n维列向量x.0,有
xT（BTA）&x（Bx（>A泪故BTAB为正定矩阵
【答】应选（A）
【分析】本题通过实对称矩阵相似与合同的充要条件，运用计算便知：
A有特征
值4,0,0,0;
B有特征值4,0,0,0.可见A：
B，而且A与B的秩都是1,正惯指数也都是1,所以A与B合同
交矩阵Q使得
40
_1t00
QAQ=QAQ=00
100
【详解】因为A是实对称矩阵，且其特征值为：
舄1=4,灼=%=舄4=0,故存在正
00
00
0000_
可见，A与B既合同又相似
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