小学几何五大模型.docx
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小学几何五大模型
鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。
对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。
一、鸟头模型的相关知识
1.定义：
两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。
这个模型就叫鸟头模型。
其中存在的比例关系就叫做共角定理。
2.
核心：
比例模型有：
、鸟头模型的原理剖析
三、鸟头模型的方法运用
鸟头模型解题四部曲：
第一步：
观察：
图中是否有鸟头模型第二步：
构造：
鸟头模型第三步：
假设：
线段长度或图形面积第四步：
转化：
将假设的未知数转化到鸟头模型中计算
例1：
如图，已知AD:
BD=2:
3，AE:
EC=3:
1，三角形ADE的面积是6平方厘米，求三角形ABC的面积?
第一步：
标条件
第二步：
确定等角位置A
小夹边AD×AE（小夹边指的是：
小三角形夹着等角A的两边）
大夹边AB×AC
第三步：
利用鸟头模型结论
S△ADE：
S△ABC=小夹边乘积:
大夹边乘积=（2×3）:
（5×4）=6:
20=3:
10
3:
10的意思是：
三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。
第四步：
先除后乘算面积
三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6÷3=2平方厘米/份;
所求三角形ABC的面积是10份，2×10=20平方厘米。
例2：
如图，已知BC：
CD=5:
2，AE:
EC=1:
1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形的面积?
第二步：
确定补角位置C
小夹边CD×CE（小夹边指的是：
小三角形夹着补角C的两边）
大夹边CA×CB
S△CDE：
S△ABC=小夹边乘积：
大夹边乘积=（2×1）:
（2×5）=2:
10=1:
5
1:
5的意思是：
三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。
第四步：
先除后乘算面积
三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，20÷5=4平方厘米/份;
所求三角形CDE的面积是1份，4×1=4平方厘米。
比例模型版块威力最大且最难掌握的就是风筝模型！
观察发现，可以用来算比值的都是这个角形！
所以应用风筝模型的时候，第一步是找叉叉。
命题老师最喜欢考的是标红的面积比，观察能力。
风筝模型命题很容易拉开难度，既可以出基础题，也可以作为爆难的华杯赛全国总决赛题目（2013年第18届华杯赛全国总决赛笔试二试第4题），所以筝模型是各大杯赛命题老师非常喜欢考察的知识点。
“风筝的骨架”，而能算的面积都是骨架连起来之后构成的三
“风筝的骨架”，第二步是把骨架连起来，即先找叉叉，再包
因为这种大块的面积比较隐蔽，适合考察同学们在图形中的
题目】沙漏模型
【小升初奥数专题】几何之五大模型（已更新完）
2015-12-1200:
00
几何五大模型
、五大模型简介
1）等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]：
S[sub]2[/sub]=a:
b；
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：
S[sub]2[/sub]=a:
b；
4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BC则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积
2）鸟头（共角）定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点
则有：
S[sub]△ABC[/sub]：
S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：
（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：
S[sub]△ABE[/sub]=AD：
AB、S[sub]△ABE[/sub]：
S[sub]△CBE[/sub]=AE：
CE，所以△ABE[/sub]：
（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：
AC
，因此S[sub]△ADE[/sub]：
S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：
S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：
S[sub]△ABC[/sub]）例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：
AD=5:
2，AE：
EC=3:
2，
△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
3）蝴蝶模型
1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线
AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形
2、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”：
）
例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三的对角线的比例关系。
4）相似模型
1、相似三角形：
形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：
平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！
例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少？
5）燕尾模型
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：
S[sub]△ABG[/sub]：
S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]：
S[sub]△CGE[/sub]=BE：
CES[sub]△BGA[/sub]：
S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]：
S[sub]△GCF[/sub]=AF：
CFS[sub]△AGC[/sub]：
S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]：
S[sub]△BGD[/sub]=AD：
BD
例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：
EC=2:
3，BD：
DC=1:
2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形
二、五大模型经典例题详解
（1）等积变换模型
例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=
（2）鸟头（共角）定理模型
例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边
例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求△FGS的面积
（3）蝴蝶模型
例1、如图，正六边形面积为
1，那么阴影部分面积为多少？
例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积
4）相似模型
例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。
例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积
例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5
5）燕尾模型
例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积
例2、如图，在△
ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍？
ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若△ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积
DCF的面积
三、巩固练习
2、如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积
1、如图，在角MON的两边上分别有A、C、E、B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，求△
3、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？
如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA，求四边形ABCD的面积
边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF，求三角形AGE的面积。
如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米。
现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
8、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形BGHF的面积
10、如图，在四边形ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，求平行四边形BODC的面积
9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E、F分别是AB、BC的中点，AF与CE交于点G，求四边形AGCD的面积
四、巩固练习详解
lx如
在角・0N的两边上分gq有A、CxE、BxD、F六个点，并且△OAB.△
ABC.△BCD、ACDE.ZkDEF的面积都等于1,求△DCF的面和。
【详解赵个題我们可以用等积变换来解，由于三角形OCD的面积是可以求岀的,所以只要求岀OD,DF就能求岀ADCF的面积。
11O
因为OD:
DF=SgQ：
SaEF=4:
l,所以=^5^=Ax3=1o
444
2x如下图，ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果AADE的面积为4平方厘米,求三角形CDF的面积。
【详解】如图所示，连接AF、CE,因为平行四边形对边平行，所以根据同底等高知，Sg=S皿、Sg=Sg°同理，根据AC、EF平行，所以Sg=Sg°所以，Sg=SqE=4平方厘米。
3、如下图，在三角形ABC中，BB=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC,求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？
【详解】根据鸟头模型的性质有：
Sk%賈S沁詁x£s遊电Sgc
AC339
4s如图，四边形EFGH的面积是66平方米，E从AB.CB=BFsDC二CG、HI匸DA,求四边形ABCD的面和。
【详解】如图连接BD,由鸟头模型知證^翳弋寺即
S^cg=$立cd；冋理可付S:
aHE=2S3Q;所以S皿g+Ssr=
连接AC同理可得，S^+SaG=；所以%GEF3H=*即
Sr护仙3=66*5=13.2（半万米）。
5、边长为1的正方形ABCD中，BB2EC、FODF,求三角形AGE的面积。
6、如图，方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为
【详解】连接EF,显然四边形ADEF和BCEF都是梯形于是三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面和等于三角形EFH的面积；所以四边形EGFH的面积为11+23=34
J如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BE20毫米，高AD=80毫米。
现在要把它加工成—NE方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【详解】仔细观察我们会发现，图中有五个金字塔模型，我们利用与已知边又关
根据题意列方程：
越务务+务“即命討解得—,即正方形的边长为48毫米。
根据沙漏模型知.EG：
GC=BE：
CD=1:
2,所以S*吕S“
现将AB、DF延长交于点M,其中BM二AB。
由沙漏模型可得，BI：
DC=IF：
FD=BF：
FC=1:
1,而根据金字塔模型知：
EH：
HC=EM：
CD=（AaB+AB）：
CD=3:
2,即HC二^CE。
2<
而CF二技,所以》哪=卜2*=加沁、S应二X,毎xBC=30。
所以'T^aBCE=~^^BCE=—X30=14（平方厘米）。
9s如图，正方形ABCD的边长是12J1米・E、F分别是AB.BC的中点，AF与CE交于点G,求四边形AGCD的面积。
S“gb-Sngc=BF:
CF=1:
1、Sng:
=AE:
BE=1:
1,即S^ge-1份、
份。
因此整个正方形ABCD就是：
（1+1+1）X2=6（份）。
四边形AGCD占：
3+1=4
（份人所以SCc,^=122-6x4=96（平方厘米）。
10s如图，在四边形ABCD中，AB=3BExAD=3AF,四边形AEOF的面和是12,求平行四边形B0DC的面和。
【详解】如图，连接AO、BD。
根据燕尾模型知，Sgo：
Sao=AF:
DF=\:
2、
S^od：
S^do=AE:
BE=2-A.设S遊。
二1份，我们可以将各个三角形所占份数标
记岀来，如图所示，所以B0DC=25^^^=2x12=24o
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