秋季学期新人教A版高中必修四143 正切函数的性质与图象导学案.docx

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秋季学期新人教A版高中必修四143正切函数的性质与图象导学案

1.4.3　正切函数的性质与图象

[学习目标]　1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．

知识点一　正切函数的图象

1．正切函数的图象：

2．正切函数的图象叫做正切曲线．

3．正切函数的图象特征：

正切曲线是被相互平行的直线x＝

＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．

思考　我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y＝tanx，x∈[－

，

]的简图吗？

怎样画．

答案　能．找三个关键点：

（

，1），（0,0），（－

，－1），两条平行线：

x＝

，x＝－

.

知识点二　正切函数图象的性质

1．函数y＝tanx（x∈R且x≠kπ＋

，k∈Z）的图象与性质见下表：

解析式

y＝tanx

图象

定义域

{x|x∈R，且x≠kπ＋

，k∈Z}

值域

R

周期

π

奇偶性

奇

单调性

在开区间

（k∈Z）内都是增函数

2.函数y＝tanωx（ω≠0）的最小正周期是

.

思考　正切函数图象是否具有对称性？

如果具有对称性，请指出其对称特征．

答案　具有对称性，为中心对称，对称中心为（

，0），k∈Z.

题型一　正切函数的定义域

例1　

（1）函数y＝tan（sinx）的定义域为，值域为．

答案　R　[tan（－1），tan1]

解析　因为－1≤sinx≤1，

所以tan（－1）≤tan（sinx）≤tan1，

所以y＝tan（sinx）的定义域为R，

值域为[tan（－1），tan1]．

（2）求函数y＝tan（2x－

）的定义域．

解　由2x－

≠

＋kπ，k∈Z得，x≠

π＋

kπ，

所以y＝tan（2x－

）的定义域为{x|x≠

＋

kπ，k∈Z}．

反思与感悟　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．

跟踪训练1　求函数y＝

＋lg（1－tanx）的定义域．

解　由题意得

即－1≤tanx<1.

在

内，满足上述不等式的x的取值范围是

.

又y＝tanx的周期为π，

所以所求x的范围是[kπ－

，kπ＋

）（k∈Z）

即函数定义域是

（k∈Z）．

题型二　求正切函数的单调区间

例2　求函数y＝tan

的单调区间及最小正周期．

解　y＝tan

＝－tan

，

由kπ－

<

x－

（k∈Z），

得2kπ－

π，k∈Z，

∴函数y＝tan

的单调递减区间是

，k∈Z.

周期T＝

＝2π.

反思与感悟　y＝tan（ωx＋φ）（ω>0）的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－

＋kπ<ωx＋φ<

＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．

跟踪训练2　求函数y＝tan

的单调区间．

解　∵y＝tanx在x∈

（k∈Z）上是增函数，∴－

＋kπ<2x－

<

＋kπ，k∈Z.

即－

＋

＋

，k∈Z.

∴函数y＝tan

的单调递增区间是

（k∈Z）．

题型三　正切函数图象性质的应用

例3　

（1）函数y＝tan（2x＋

）的最小正周期是（　　）

A．πB．2πC.

D.

答案　C

解析　最小正周期为T＝

＝

.

（2）画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．

解　由y＝|tanx|得，

y＝

其图象如图：

由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数．

函数y＝|tanx|的周期T＝π，

函数y＝|tanx|的单调递增区间[kπ，kπ＋

）（k∈Z），

单调递减区间为（kπ－

，kπ）（k∈Z）．

反思与感悟　1.可用“三点两线法”作正切函数的简图：

“三点”是指点（－

，－1），（0,0），（

，1），“两线”是指直线x＝－

，x＝

.为了画出函数图象，有时需对给出的函数式进行变形化简，在变形、化简过程中一定要注意等价变形．

2．一般地，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为T＝

.

跟踪训练3　

（1）下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是（0，

）上的增函数的是（　　）

A．y＝tanxB．y＝cosx

C．y＝tan

D．y＝|sinx|

答案　A

解析　由于y＝tanx与y＝tan

是奇函数，但是只有y＝tanx的周期为π，y＝cosx与y＝|sinx|是偶函数．

（2）画出f（x）＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间，周期性，奇偶性．

解　f（x）＝tan|x|化为

f（x）＝

根据y＝tanx的图象，作出f（x）＝tan|x|的图象，如图所示，

由图象知，f（x）不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，

），（kπ＋

，kπ＋

π）（k∈N）；单调减区间为（－

，0]，（kπ－

π，kπ－

）（k＝0，－1，－2，…）．

与三角函数相关的函数零点问题

例4　当x∈（－

π，

π）时，确定方程tanx－sinx＝0的根的个数．

分析　tanx－sinx＝0的根即为tanx＝sinx的根，也就是y＝tanx与y＝sinx交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．

解　在同一平面直角坐标系内画出y＝tanx与y＝sinx在（－

，

）上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．

点评　数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．

1．下列说法正确的是（　　）

A．正切函数在整个定义域内是增函数

B．正切函数在整个定义域内是减函数

C．函数y＝3tan

的图象关于y轴对称

D．若x是第一象限角，则y＝tanx是增函数

答案　C

解析　由正切函数性质可知A、B、D均不正确，

又y＝3tan

＝3tan|x|为偶函数，

故其图象关于y轴对称，故选C.

2．函数f（x）＝tan（x＋

）的单调递增区间为（　　）

A．（kπ－

，kπ＋

），k∈Z

B．（kπ，（k＋1）π），k∈Z

C．（kπ－

，kπ＋

），k∈Z

D．（kπ－

，kπ＋

），k∈Z

答案　C

3．在下列函数中同时满足：

①在

上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（　　）

A．y＝tanxB．y＝cosx

C．y＝tan

D．y＝－tanx

答案　C

4．方程tan

＝

在区间[0,2π）上的解的个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

答案　B

解析　由tan

＝

解得2x＋

＝

＋kπ（k∈Z），∴x＝

（k∈Z），又x∈[0,2π），∴x＝0，

，π，

.故选B.

5．函数y＝3tan

的对称中心的坐标是．

答案　

（k∈Z）

解析　由x＋

＝

（k∈Z），得x＝

－

（k∈Z）．

∴对称中心坐标为

（k∈Z）．

1．正切函数的图象

正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋

，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．

作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－

，x＝

，然后描出三个点（0,0），（

，1），（－

，－1），用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．

2．正切函数的性质

（1）正切函数y＝tanx的定义域是

，

值域是R.

（2）正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan（ωx＋φ）（Aω≠0）的最小正周期为T＝

.

（3）正切函数在每个开区间

（k∈Z）上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．

（4）正切函数在每个单独的区间（－

＋kπ，

＋kπ）（k∈Z）内都是增函数，但在整个定义域内不是，例如，180°>30°，但tan180°＝0

.

一、选择题

1．函数y＝tan

，x∈R且x≠

π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是（　　）

A．（0,0）B.

C.

D．（π，0）

答案　C

2．函数f（x）＝lg（tanx＋

）为（　　）

A．奇函数

B．既是奇函数又是偶函数

C．偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

答案　A

解析　∵

>|tanx|≥－tanx，

∴其定义域为{x|x≠kπ＋

，k∈Z}关于原点对称，

又f（－x）＋f（x）＝lg（－tanx＋

）＋lg（tanx＋

）＝lg1＝0，

∴f（x）为奇函数，故选A.

3．函数y＝tan

在一个周期内的图象是（　　）

答案　A

4．函数f（x）＝tanωx（ω>0）的图象的相邻两支曲线截直线y＝

所得线段长为

，则f

的值是（　　）

A．0B．1C．－1D.

答案　A

解析　由题意，得T＝

＝

，∴ω＝4.

∴f（x）＝tan4x，f

＝tanπ＝0.

5．函数y＝lg（1＋tanx）的定义域是（　　）

A．（kπ－

，kπ＋

）（k∈Z）

B．（kπ－

，kπ＋

）（k∈Z）

C．（kπ－

，kπ＋

）（k∈Z）

D．（kπ－

，kπ＋

）（k∈Z）

答案　C

解析　由题意得1＋tanx>0，即tanx>－1，

由正切函数的图象得kπ－

（k∈Z）．

6．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间

内的图象是（　　）

答案　D

解析　当

当x＝π时，y＝0；当π

时，

tanx>sinx，y＝2sinx．故选D.

二、填空题

7．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是．

答案　（2kπ－

，2kπ）（k∈Z）和（2kπ＋π，2kπ＋

）（k∈Z）

解析　由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时为单调递增的区间为（2kπ－

，2kπ）（k∈Z）和（2kπ＋π，2kπ＋

）（k∈Z）．

8．函数y＝3tan（ωx＋

）的最小正周期是

，则ω＝.

答案　±2

解析　T＝

＝

，∴ω＝±2.

9．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈

的值域为．

答案　[－4,4]

解析　∵－

≤x≤

，

∴－1≤tanx≤1.

令tanx＝t，则t∈[－1,1]．

∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5.

∴当t＝－1，即x＝－

时，ymin＝－4，

当t＝1，即x＝

时，ymax＝4.

故所求函数的值域为[－4,4]．

10．已知函数y＝tanωx在（－

，

）是减函数，则ω的取值范围是．

答案　[－1,0）

解析　∵y＝tanωx在（－

，

）内是减函数，

∴ω<0且T＝

≥π.

∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.

三、解答题

11．判断函数f（x）＝lg

的奇偶性．

解　由

>0得tanx>1或tanx<－1.

∴函数定义域为（kπ－

，kπ－

）∪（kπ＋

，kπ＋

）（k∈Z）关于原点对称．

f（－x）＋f（x）＝lg

＋lg

＝lg（

·

）＝lg1＝0.

∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数．

12．求函数y＝tan（

－

）的定义域、