高考题型精练
1.当x＝
＋1时，求y＝
x3－x2－x＋1的值.
解 由条件得x＝
＋1，所以x－1＝
，
构造x－1的因式，y＝
x3－x2－x＋1
＝
（x3－2x2－2x＋2）
＝
[x（x－1）2－3x＋2]
＝
（3x－3x＋2）＝1.
2.已知a，b，c为正数，求函数y＝
＋
的最小值.
解 构造向量a＝（x，a），b＝（c－x，b），则原函数就可化为y＝|a|＋|b|≥|a＋b|
＝
＝
，
∴ymin＝
.
3.求证：
－
≤
－2x≤
.
证明 令y＝
（y≥0），
则其图象是椭圆
＋
＝1的上半部分，设y－2x＝m，
于是只需证－
≤m≤
，
因m为直线y＝2x＋m在y轴上的截距，
由图可知：
当直线y＝2x＋m过点（
，0）时，
m有最小值m＝－
，
当直线y＝2x＋m与椭圆上半部分相切时，m有最大值.
由
得13x2＋4mx＋m2－4＝0.
令Δ＝4（52－9m2）＝0，
得m＝
或m＝－
（舍），
即m的最大值为
，故－
≤m≤
，
即－
≤
－2x≤
.
4.求函数y＝
＋
的最大值.
解 由根号下的式子看出x＋1－x＝1且0≤x≤1，
故可联想到三角函数关系并构造x＝sin2θ（0≤θ≤
），
所以y＝sinθ＋cosθ＝
sin（θ＋
），
当θ＝
，
即x＝
时，ymax＝
.
5.（2015·福建）已知函数f（x）＝lnx－
.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）证明：
当x＞1时，f（x）＜x－1；
（3）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x－1）.
（1）解 f′（x）＝
－x＋1＝
，x∈（0，＋∞）.
由f′（x）＞0得
解得0＜x＜
.
故f（x）的单调递增区间是
.
（2）证明 令F（x）＝f（x）－（x－1），x∈（0，＋∞），
则有F′（x）＝
.
当x∈（1，＋∞）时，F′（x）＜0，
所以F（x）在（1，＋∞）上单调递减，
故当x＞1时，F（x）＜F
（1）＝0，
即当x＞1时，f（x）＜x－1.
（3）解 由
（2）知，当k＝1时，不存在x0＞1满足题意.
当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x－1＜k（x－1），
则f（x）＜k（x－1），
从而不存在x0＞1满足题意.
当k＜1时，令G（x）＝f（x）－k（x－1），x∈（0，＋∞），
则有G′（x）＝
－x＋1－k＝
.
由G′（x）＝0得，－x2＋（1－k）x＋1＝0，
解得x1＝
＜0，
x2＝
＞1.
当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）内单调递增.
从而当x∈（1，x2）时，G（x）＞G
（1）＝0，
即f（x）＞k（x－1）.
综上，k的取值范围是（－∞，1）.
6.设a为实数，证明以
，
，
为边长可以构成一个三角形，且三角形的面积为定值.
解 由于
＝
，
＝
，
＝
.
构造合乎要求的几何图形如图所示：
AD＝DF＝BC＝a，
AB＝BE＝CD＝1，
∠DAB＝60°，
∠CBE＝120°，
于是AF＝2a，AE＝
，
EF＝
＝
，
AD＝a，AB＝1，
FC＝DB＝
＝
，
BC＝a，BE＝1，
CE＝
＝
.
所以以
，
，
为边长可以构成一个三角形，即△ECF.
则S△ECF＝SAECF－S△AEF
＝3S△ABD＋S△ABE＋S△BCE－S△AEF
＝3×
×a×1×sin60°＋
×1×1×sin120°＋
×a×1×sin120°－
×2a×
＝
.
7.椭圆C：
＋
＝1（a>b>0）的离心率为
，其左焦点到点P（2，1）的距离为
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：
y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左，右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：
直线l过定点，并求出该定点的坐标.
解
（1）∵左焦点（－c，0）到点P（2，1）的距离为
，
∴
＝
，解得c＝1.
又e＝
＝
，解得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴所求椭圆C的方程为
＋
＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得（3＋4k2）x2＋8mkx＋4（m2－3）＝0，
Δ＝64m2k2－16（3＋4k2）（m2－3）>0，
整理得3＋4k2>m2.
∴x1＋x2＝
，x1x2＝
，
y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2＝
.
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），
kAD·kBD＝－1，∴
·
＝－1，
∴y1y2＋x1x2－2（x1＋x2）＋4＝0，
∴
＋
＋
＋4＝0.
整理得7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－
.
且满足3＋4k2－m2>0.
当m＝－2k时，l：
y＝k（x－2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m＝－
时，l：
y＝k
，直线过定点
.
综上可知，直线l过定点，定点坐标为
.
8.已知函数f（x）＝lnx－a（x－1），a∈R.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x≥1时，f（x）≤
恒成立，求a的取值范围.
解
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝
.
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
若a＞0，则由f′（x）＝0，得x＝
，
当x∈（0，
）时，f′（x）＞0，
当x∈（
，＋∞）时，f′（x）＜0.
∴f（x）在（0，
）上单调递增，在（
，＋∞）上单调递减.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，
）上单调递增，在（
，＋∞）上单调递减.
（2）方法一 f（x）－
＝
，
令g（x）＝xlnx－a（x2－1）（x≥1），则
g′（x）＝lnx＋1－2ax，
令F（x）＝g′（x）＝lnx＋1－2ax，
则F′（x）＝
，
①若a≤0，F′（x）>0，g′（x）在[1，＋∞）上递增，
g′（x）≥g′
（1）＝1－2a>0，
∴g（x）在[1，＋∞）上递增，g（x）≥g
（1）＝0，
从而f（x）－
≥0，
不符合题意.
②若0，当x∈（1，
）时，F′（x）>0，
∴g′（x）在（1，
）上递增，
从而g′（x）>g′
（1）＝1－2a＞0，
∴g（x）在[1，＋∞）上递增，g（x）≥g
（1）＝0，
从而f（x）－
≥0，不符合题意.
③若a≥
，F′（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，
∴g′
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