全国高中数学联赛一试试题高中课件精选.docx
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全国高中数学联赛一试试题高中课件精选
2013年全国高中数学联赛一试试题
1．填空题：
本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合
，集合
，则集合B中所有元素的和为
2.在平面直角坐标系
中，点A、B在抛物线
上，满足
，F是抛物线的焦点，则
=
3.在
中，已知
，则
的值为
4.已知正三棱锥
的底面边长为1，高为
，则其内切球半径为
5.设a、b为实数，函数
满足：
对任意
，有
，则
的最大值为
6.从
中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为
7.若实数x，y满足
，则
的取值范围是
8.已知数列
共有9项，其中
，且对每个
均有
，则这样的数列的个数为
二．解答题：
本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列
满足
这里
.
证明：
存在常数
使得
10.（本题满分20分）在平面直角坐标系
中，椭圆的方程为
，
分别为椭圆的左、右顶点，
分别为椭圆的左右焦点，
为椭圆上不同于
和
的任意一点.若平面中有两个点
满足
试确定线段
的长度与
的大小关系，并给出证明。
11.（本题满分20分）设函数
，求所有的正实数对
，使得对任意实数
均有
2013年全国高中数学联合竞赛加试试题
1．（本题满分40分）如图，AB是圆
的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆
分别项交于点C、D.求证：
（解题时请将图画在答卷纸上）
2．（本题满分40分）给定正整数u、v.数列
的定义如下：
，对整数
，
记
.证明：
数列
中有无穷多项是完全平方数。
3．（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中
为给定的整数.每道题的得分规则是：
若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得x分，未答对的学生得0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为
，求
的最大可能值。
4．（本题满分50分）设
为大于1的整数，
.证明：
存在2k个不被n整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。
5．
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。
2.如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次.
1．填空题：
本大题共8小题，没小题8分，共64分.
1.答案：
-5
【解答】易知
.当
时，
，有
；
而当
时，
，有
.因此，根据B的定义可知
.
所以，集合B中所有元素的和为-5.
2.答案：
2
【解答】点F的坐标为（1,0）.设
，则
，故
=
即
，故
=
=2
3.答案：
11
【解答】由于
，所以
，故
4.答案：
【解答】如图，设球心O在面ABC与面ABP内的摄影分别为H和K，AB中点为M，内切球半径为r,则P、K、M共线，
，
且
=
于是
解得：
5.答案：
【解答】易知
，则
当
即
时，
，故
的最大值为
6.答案
【解答】设
取自
.若
互不相邻，则
由此可知从
中取5个互不相邻的数的选法与从
中取5个不同的数的选法相同，即
种.所以从
中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻的概率为：
7.答案：
【解答】令
，此时
，且条件中等式化为
，从而
满足方程：
如图所示，在
平面内，点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆在
的部分，即点O与弧
的并集，因此
，从而
8.答案：
491.
【解答】令
，则对每个符合条件的数列
，有
且
（
）①
反之，由符合条件①的8项数列
可能唯一确定一个符合题设条件的9项数列
。
记符合条件①的数列
的个数为N，显然
中有偶数个
，即
个
；继而有
个2，
个1.当给定k时，
的取法有
种，易见k的可能值只有：
所以
因此，根据对应原理，符合条件的数列
的个数为491.
2．解答题：
本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.【解答】当
时，
等价于
对常数
，用数学归纳法证明：
时结论显然成立.又
对
，假设
，则由式①可知
=
所以，由归纳法可知上式成立。
10.【解答】令
，则
，
，
，
.设
，
，其中
，
.由
可知：
①
②
将①、②相减得：
，即
，将其代入①可得：
故
，于是
根据
同理可得
因此
由于
，故
（其中等号成立的充分必要条件是
，即点P的坐标是
）
11.【解答】已知条件可以转化为：
对任意实数
，有
①
先寻求a、b所满足的必要条件，在①中令
得：
即对任意的实数x，有：
由于
，故
可以取到任意大的值，因此必有
，即：
在①式中再令
，得：
，即对任意实数x,有
②
将②式的左边记作为
，显然
（否则，由
可知
，此时
，其中
，故
可取到负值，矛盾），于是
=
对一切实数x成立，从而必有：
，即
进一步考虑到
，再根据
，可得：
至此，求得
满足的必要条件如下：
③
下面证明，对满足③的任意实数对
以及任意实数
，总有①成立，即：
对任意
取非负值。
事实上，在③式成立时，有
再结合
，可得：
=
=
综上所述，所求的正实数对
全体为
2013年全国高中数学联赛加试试题参考答案及评分标准
1．
【证明】连接
.由于
从而
=
①
同理可得：
②
另一方面，由于
故将①②两式相乘可得：
，即
③
由托勒密定理
④
由③④得：
即：
2．【证明】对正整数
，有
=
=
所以
=
=
=
设
，其中k是非负整数，q是奇数.取
，其中
为满足
的任意正整数，此时
，注意到q是奇数，故：
所以，
是完全平方数.由于
有无穷多个，故数列
中有无穷多项是完全平方数。
3．【解答】
对任意的
设第
题没有答对者有
人，则第k答对者有
人，由得分规则知，这
个人在第k题均得到
分.设
个学生的得分和为S，则有
因为每一个人在第k道题上至多得
分，故
由于
，故有
，所以
=
由柯西不等式可得：
于是
=
另一方面，若有一个学生全部答对，其他
个学生全部答错，则
综上所述，
的最大值为
四．【证明】
先考虑
为2的幂的情形。
设
，则
.取
个
及
个1，显然这些数字均不被n整除.将2k个数任意分成两组，则总有一组中含有2个
，他们的和为
，被n整除。
现在设n不是2的幂，取2k个数为
因为n不是2的幂，故上述2k个数均不被n整除。
若可将这些分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n整除。
不妨设1在第一组，由于-1+1=0，被n整除，故两个-1必须在第二组；因为（-1）+（-1）+2=0，被n整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组。
现在归纳假设
均在第一组，而
均在第二组，这里
，由于
，被n整除，故
在第一组，从而
在第二组，故由归纳法可知，
在第一组，
在第二组。
最后，由于
被n整除，故
在第一组。
因此
中若干个数的和，特别地，因为
，故在第一组中有若干个数的和为n，当然被n整除，矛盾！
因此，将前述2k个整数任意分成2组，则总有一组中有若干个数之和被n整除。
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