届山东省济宁市高三第一次模拟考试理科数学试题Word版含答案.docx
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届山东省济宁市高三第一次模拟考试理科数学试题Word版含答案
2021届山东省济宁市高三第一次模拟考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，
，则
（）
A.
B．
C．
D．
2.若复数
（
为虚数单位），则
的共轭复数
（）
A．
B．
C．
D.
3.设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
4.已知命题
：
存在实数
，
，
；命题
：
（
且
）.则下列命题为真命题的是（）
A．
B．
C.
D．
5.执行下列程序框图，若输入的
等于
，则输出的结果是（）
A．
B．
C.
D．
6.将函数
的图象向右平移
个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则
的图象的一个对称中心为（）
A．
B．
C.
D．
7.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）
A．
B．
C.
D．
8.已知函数
是
上的奇函数，且
的图象关于
对称，当
时，
，则
的值为（）
A．
B．
C.
D．
9.已
知是
的外心，
，
，则
（）
A．
B．
C.
D．
10.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母
表示.我们可以通过设计下面的实验来估计
的值：
从区间
随机抽取
个实数对
，其中两数能与
构成钝角三角形三边的数对
共有
个.则用随机模拟的方法估计
的近似值为（）
A．
B．
C.
D．
11.如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）
A．
B．
C.
D．
12.在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且
，则
的最大值为（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.双曲线
的渐近线方程为．
14.观察下列各式：
照此规律，第
个等式可为．
15.在
的展开式中，含有
项的系数为．（用数字作答）
16.如图所示，已知
中，
，
是线段
上的一点，满足
，则
面积的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知
是等比数列，满足
，且
，
，
成等差数列，数列
满足
（1）求
和
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
.
18.如图，在以
，
，
，
，
为顶点的多面体中，
，面
为直角梯形，
，
，
，
，
，二面角
的大小为
.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
所成二面角（锐角）的大小；
19.为缓解某地区的用电问题，计划在该地区水库建一座至多安装
台发电机的水电站.为此搜集并整理了过去
年的水文数据，得如下表：
年入流量
年数
将年入流量
（年入流量：
一年内上游来水与库区降水之和，单位:
亿立方米）在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年得年入流量相互独立.
（1）求在未来
年中，至多
年的年入流量不低于
的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
的限制，并有如下关系：
年入流量
发电机最多可运行台数
已知某台发电机运行，则该台发电机年利润为
万元；某台发电机未运行，则该台发电机年亏损
万元，若水电站计划在该水库安装
台或
台发电机，你认为应安装
台还是
台发电机？
请说明理由.
20.已知抛物线
：
的
焦点为
，点
是直线
与抛物线
在第一象限内的交点，且
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）不过原点的直线
与抛物线
相交于两点
，
，与
轴相交于点
，过点
，
分别作抛物线
的切线，与
轴分别相交于两点
，
.判断直线
与直线
是否平行？
直线
与直线
是否垂直？
并说明理由.
21.已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若函数
在其定义域内有两个不同的极值点，记作
，
，且
，证明：
（
为自然对数的底数）.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）在极坐标系下，设曲线
与射线
和射线
分别交于
，
两点，求
的面积；
（2）在直角坐标系下，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
与曲线
相交于
，
两点，求
的值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
（其中
）
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若关于
的不等式
恒成立，求
的取值范围.
2021届山东省济宁市高三第一次模拟考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1-5：
BDBAC6-10:
CBDAD11、12：
CA
二、填空题
13.
或
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：
（1）设数列
的公比为
，则由条件得：
，又
则
，因为
，
解得：
，故
.
对于
，当
时，
；
当
时，由
得：
所以，
，可得：
，且
也适合，故
.
所以
，.
（2）因
由
（1）得
18.解：
（1）因为
，
，则
，
所以
为二面角
的平面角，即
，
在
中，
，
，
，所以
，
所以
，即
由
，
，且
，可知
平面
，
又
平面
，所以
，
又因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）解法一：
由
（1）知，
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
在
中，过点
作
，垂足为
，在
中，
作
，因为
，所以
，
如图，以
为原点，分别以
，
，
为
轴，
轴，轴
的正方向
建立空间直角坐标系.
由
，得
，
，
，
则
，
，
，
，
依题意
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
不妨设
，可得
，
设平面
的一个法向量为
，平面
与平面
所成的二面角为
，
所以
，所以
，
所以平面
与平面
所成二面角（锐角）为
.
解法二：
因为
，如图，以
为原点，分别为
，
为
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意可得
，
，
，
由
平面
知平面
平面
，又
，
，可得：
，
.
依题意
，
.设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，不妨设
，可得
，
由
平面
可知平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
所成二面角（锐角）为
所以
，于是
，
所以平面
与平面
所成二面角（锐角）为
.
【注：
几何法求解一样给分.提示：
延长
，
相交于点
，连接
，则
是平面
与平面
的交线.】
19.解：
（1）依题意：
，
，
，
所以入流量不低于
的概率为
由二项分布，在未来
年中，至多
年的年入流量不低于
的概率为：
（2）记水电站的总利润为
（单位：
万元）
①若安装
台发电机的情形:
②若安装
台发电机的情形：
因为
，故应安装
台发电机.
20.解：
（1）依题意，设点
.由
得：
①
又点
在抛物线
上，则
，得
②
联立①②解得：
，所以抛物线
的方程为
.
（2）由
（1）知抛物线
：
设直线
的方程
，则
.
设
，
，
由
得
，
则
，
.
由
得
，从而
，
所以过点
的切线方程为
，
令
，得点
，
同理可得
，
所以
，
所以
.
若
，则
，
解得
（
舍去）
所以，当
为焦点
时，
，此时
；当
不为焦点
时，
与
不垂直.
21.解：
（1）可知函数
的定义域为
，
且
令
，得
，其中判别式
.
①当
时，
，
，
在
上为增函数.
②当
时，
，
方程
的两根为
，
（i）当
时，
，
在
上为增函数
（ii）当
时，
，
在
上为增函数，在
上为减函数.
综上所述：
当
时，
的增区间为
，无减区间.
当
时，
的增区间为
，减区间为
另解：
可知函数
的定义域为
，
且
因为
，则
，所以
（1）当
时，
，所以
在
上为增函数；
（2）当
时，令
，得
，其中判别式
.
方程
的两根为
，
，
所以
在
上为增函数，在
上为减函数.
综上所述：
当
时，
的增区间为
，无减区间.
当
时，
的增区间为
.减区间为
（2）可知
，所以
因为
有两极值点
，
，所以
，
欲证
，等价于要证：
即
，
所以
，因为
，所以原式等价于要证明：
①.
由
，可得
，则有
②，
由①②原式等价于要证明：
，
令
，上式等价于要证
，
令
，
所以
因为
，所以
，所以
在
上单调递增，
因此当
时，
，即
.
所以原不等式成立，即
.
22.解：
（1）因为曲线
的参数方程为
（
为参数），
所以曲线
的极坐标方程为
，
分别代入
和
，可得点
，
对应的
，
，满足：
.
所以
.
又
，所以
的面积为
.
（2）曲线
的直角坐标方程为
.
将
的参数方程代入曲线
的普通方程得
.
设
，
两点对应的参数为
，
，则
，
，
所以
.
23.解：
（1）当
时，函数
，
则不等式为
，
①当
时，原不等式为
，解得：
；
②当
时，原不等式为
，解得：
.此时不等式无解；
③当
时，原不等式为
，解得：
，
原不等式的解集为
.
方法二：
当
时，函数
，画出函数
的图象，如图：
结合图象可得原不等式的解集为
.
（2）不等式
即为
，
即关于
的不等式
恒成立.
而
，
所以
，
解得
或
，
解得
或
.
所以
的取值范围是
.
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