江西省萍乡市莲花县莲花中学学年高二月考数学理word版.docx
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江西省萍乡市莲花县莲花中学学年高二月考数学理word版
数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.“
，
”的否定是（）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
2.已知
，其中
、
是实数，
是虚数单位，则复数
的共轭复数对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若
在
可导，且
，则
（）
A.
B.2C.
D.3
4.设三次函数
的导函数为
，函数
的图象的一部分如图所示，则（）
A.
的极大值为
，极小值为
B.
的极大值为
，极小值为
C.
的极大值为
，极小值为
D.
的极大值为
，极小值为
5.用反证法证明命题“已知
、
、
为非零实数，且
，
，求证
、
、
中至少有二个为正数”时，要做的假设是（）
A.
、
、
中至少有二个为负数B.
、
、
中至多有一个为负数
C.
、
、
中至多有二个为正数D.
、
、
中至多有二个为负
6.某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星.现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为
A.4B.8C.12D.24
7.下列几种推理中是演绎推理的序号为（）
A.由
，
，
，…猜想
B.半径为
的圆的面积
，单位圆的面积
C.猜想数列
，
，
，…的通项为
D.由平面直角坐标系中，圆的方程为
推测空间直角坐标系中球的方程为
8.平面内直角三角形两直角边长分别为
，则斜边长为
，直角顶点到斜边的距离为
．空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为
，类比推理可得底面积为
，则三棱锥顶点到底面的距离为
A.
B.
C.
D.
9.已知
，则
（）
A.1B.
C.
D.
10.若
，且m，n，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
11.某人射击一次命中目标的概率为
，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（）
A.
B.
C.
D.
12.设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
2、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13.若
，则
=．
14.设
是函数
的极值点，数列
，若
为不超过x的最大整数，则
=
15.在右图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n（
）行左起第3个数为______.
16.若存在一个实数t，使得
成立，则称t为函数
的一个不动点，设函数
（
，e为自然对数的底数），定义在
上的连续函数
满足
，且当
时，
，若存在
，且
为函数
一个不动点，则实数a的最小值为______.
三、解答题（本题共6题，满分70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：
a12＋a22≥
.
证明：
构造函数f（x）＝（x－a1）2＋（x－a2）2=2x2－2（a1＋a2）x＋（a12＋a22）=2x2－2x＋（a12＋a22）
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以Δ＝4－8（a
＋a
）≤0，从而得a12＋a22≥
.
（1）若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
18.（本小题满分12分）
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：
（Sn－1）2＝anSn.
（1）求S1，S2，S3；
（2）猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明．
19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，且
，
，
是
的中点，点
在侧棱
上运动.
（Ⅰ）当
是棱
的中点时，求证：
平面
；
（Ⅱ）当直线
与平面
所成的角的正切值为
时，求二面角
的余弦值.
20（本小题满分12分）
为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为“非健身族”，调查结果如下：
健身族
非健身族
合计
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100
（1）若居民每人每天的平均键身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健身时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？
（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过
的情况下认为“健身族”与“性别”有关？
参考公式：
，其中
.
参考数据：
P（
）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.321
3.840
5.024
6.635
21.（本小题满分12分）
已知函数
，其中a为常数.
（1）证明：
函数
的图象经过一个定点A，并求图象在A点处的切线方程；
（2）若
，求函数
在
上的值域
22.已知函数
，
.
（Ⅰ）当
时，方程
在区间
内有唯一实数解，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）对于区间
上的任意不相等的实数
、
，都有
成立，求
的取值范围.
理科数学参考答案.
1-12DDCDABBCCDBC
13.5/614.201815.
16.
17解
（1）若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，------------2分
求证：
a
＋a
＋…＋a
≥
.---------------------------5分
（2）构造函数f（x）＝（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2---------------7分
＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an）x＋a
＋a
＋…＋a
＝nx2－2x＋a
＋a
＋…＋a
，---------------------------------------9分
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以Δ＝4－4n（a
＋a
＋…＋a
）≤0，--------------11分
从而证得：
a
＋a
＋…＋a
≥
.-----------------------12分
18解：
（1）由（S1－1）2＝S
，得S1＝
；---------1分
由（S2－1）2＝（S2－S1）S2，得S2＝
；----------------3分
由（S3－1）2＝（S3－S2）S3，得S3＝
.------------------5分
（2）猜想：
Sn＝
.----------------6分
证明：
①当n＝1时，显然成立；-----------------7分
②假设当n＝k（k≥1且k∈N*）时，Sk＝
成立．--------------9分
则当n＝k＋1时，由（Sk＋1－1）2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝
＝
＝
.---------------11分
从而n＝k＋1时，猜想也成立．
综合①②得结论成立．-------------12分
19.（Ⅰ）证：
取线段
的中点
，连接
、
，
∵
，
，∴
，
，
又
为
的中点，∴
，
，
∴四边形
是平行四边形.
∴
，
又
，
，
∴
平面
；
（Ⅱ）解：
∵
、
、
两两垂直，∴以
为原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，
∵在三棱柱
中，侧棱
底面
，
∴可得
为直线
与平面
所成的角，
设
，
，得
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
设
的法向量为
，则
，
可取
，
又平面
的法向量为
，
.
∵二面角
为钝角，
∴二面角
的余弦值为
.
20.【解析】
（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时，
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，
因为1.15小时
分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；
（2）由联立表可得，
，
所以能在犯错误概率不超过
的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
21.【解析】
（1）因为
，
所以
，所以函数
的图像经过一个定点
，
因为
，所以切线的斜率
，
所以在A点处的切线方程为
，
即
；
（2）因为
，
，所以
，
故
，
则
，
由
得
或
，
当x变化时，
，
的变化情况如下表：
x
1
2
e
0
0
单调减
单调增
从而在
上，
有最小值，且最小值为
，
因为
，
，所以
，
因为
在
上单调减，
，
所以
，
所以
，所以最大值为
，
所以函数
在
上的值域为
.
22.（Ⅰ）解：
由
，得
，
设
，
，
则问题等价于
与
的图象在
上有唯一交点，
∵
，
∴
时，
，函数单调递增，
时，
，函数单调递减，
∵
，
且
时，
，
∴
.
（Ⅱ）解：
不妨设
，
当
时，
，
，
∴
可化为
，
∴
，
设
，即
，
∵
在
上单调递减，∴
恒成立，
即
在
上恒成立，
∵
，∴
，
当
时，
，
，
∴
可化为
，
∴
，
设
，即
，
∵
在
上单调递增，∴
恒成立，
即
在
上恒成立.
∴
，∴
，
综上所述：
或
.
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