高二上学期理科数学第五次调研试题和答案河北衡水中学.docx
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高二上学期理科数学第五次调研试题和答案河北衡水中学
衡水中学2013—2014学年度第一学期高二年级五调考试
数学试卷（理科）
第I卷选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意.）
1.当
时，复数
在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.已知
，
，
，…，若
（a,b
）,则（）
A、a=5,b=24B、a=6,b=24C、a=6,b=35D、a=5,b=35
3.某人进行了如下的“三段论”推理：
如果
，则
是函数
的极值点，因为函数
在
处的导数值
，所以
是函数
的极值点。
你认为以上推理的（）
A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确
4．设
是定义在正整数集上的函数,且
满足:
“当
成立时，总可推出
成立”，那么，下列命题总成立的是
A.若
成立，则
成立
B.若
成立，则当
时，均有
成立
C.若
成立，则
成立
D.若
成立，则当
时，均有
成立
5.已知结论:
“在正
中，
中点为
，若
内一点
到各边的距离都相等,则
”．若把该结论推广到空间，则有结论：
“在棱长都相等的四面体
中，若
的中心为
，四面体内部一点
到四面体各面的距离都相等，则
（）
A．1B．2C．3D．4
6.设定点
，
，动点
满足条件
＞
，则动点
的轨迹是（ ）.
A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段或不存在
7.下列说法：
①命题“存在
”的否定是“对任意的
”；
②关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围是
；
③函数
为奇函数的充要条件是
；
其中正确的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
8.函数
，
为f（x）的导函数，令a＝－
，b＝log32，则下列关系正确的是（ ）
A．f（a）>f（b）B．f（a）C．f（a）＝f（b）D．f（|a|）9.已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（－∞，0]时，恒有xf′（x）F（2x－1）的实数x的取值范围是（ ）
A.（－2,1）B.
C.
D.（－1,2）
10．设a>0,b>0.（）
A．若
则a>bB．若
则aC．若
则a>bD．若
则a11.已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
，点P在椭圆上.若P、
、
是一个直角三角形的三个顶点，则点P到
轴的距离为（）
A.
B.
C.
D.
或
12.已知
为定义在
上的可导函数，且
对于
恒成立，则（）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
13.若复数
是纯虚数，则m=.
14.过抛物线
的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则
＝
15.计算
=
16.椭圆中有如下结论：
椭圆
上斜率为1的弦的中点在直线
上，类比上述结论得到正确的结论为：
双曲线
上斜率为1的弦的中点在直线上
17.将正整数排成下表：
………………………….则数表中的2008出现在第行.
18.对于三次函数
给出定义：
设
是函数
的导数，
是函数
的导数，
若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，某同学经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
给定函数
，请你根据上面探究结果，计算
=.
三、解答题（共5个小题，每题12分,共60分）
19.用数学归纳法证明等式：
…
＝
对于一切
都成立．
20.如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
，
是线段
上的点，
是线段
上的点，且
（Ⅰ）当
时，证明
平面
；
（Ⅱ）是否存在实数
，使异面直线
与
所成的角为
？
若存在，试求出
的值；若不存在，请说明理由.
21.已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围．
22.已知曲线
都过点A（0，－1），且曲线所在的圆锥曲线的离心率为
.
（Ⅰ）求曲线和曲线
的方程；
（Ⅱ）设点B,C分别在曲线
，上，
分别为直线AB,AC的斜率,当
时，问直线BC是否过定点？
若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
23.已知函数
.
（1）判断函数f（x）在（0，
上单调性；
（2）若
恒成立,求整数
的最大值；
（3）求证：
.
2013-2014高二第一学期五调试题答案：
DCBDCDBADACA
13.2
14.
15.-1
16.
17.因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2．
因为442=1936，452=2025，所以2008出现在第45行上．
故答案为：
45．
18.2012
19.用数学归纳法证明等式：
…
＝
对于一切
都成立．
【答案】利用数学归纳法。
【解析】
试题分析：
（1）当n=1时，左边=
，右边=
，等式成立。
（2）假设n=k时，等式成立，即
…
=
，
那么n=k+1时，
……
=
20
21.已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围．
（1）当a＝2时，f（x）＝（－x2＋2x）ex，
∴f′（x）＝（－2x＋2）ex＋（－x2＋2x）ex＝（－x2＋2）ex.
令f′（x）＞0，即（－x2＋2）ex＞0，
∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－
＜x＜
.
∴函数f（x）的单调递增区间是（－
，
）．
（2）∵函数f（x）在（－1,1）上单调递增，
∴f′（x）≥0对x∈（－1,1）都成立．
∵f′（x）＝（－2x＋a）ex＋（－x2＋ax）ex
＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，
∴[－x2＋（a－2）x＋a]ex≥0对x∈（－1,1）都成立．
∵ex＞0，
∴－x2＋（a－2）x＋a≥0对x∈（－1,1）都成立．
即a≥
＝
＝x＋1－
对x∈（－1,1）都成立．
令y＝x＋1－
，则y′＝1＋
＞0，
∴y＝x＋1－
在（－1,1）上单调递增，
∴y＜1＋1－
＝
，∴a≥
.
22.（Ⅰ）由已知得
，
，
．……2分
所以曲线
的方程为
（
）．……3分
所以
．……8分
12分
11分
10分
23.已知函数
.
（2）若
恒成立,求整数
的最大值；
（3）求证：
.
解：
（1）
上是减函数4分
（2）
即h（x）的最小值大于k.
则
上单调递增,
又
存在唯一实根a,且满足
当
∴
故正整数k的最大值是3----9分
（3）由（Ⅱ）知
∴
令
则
∴ln（1＋1×2）＋ln（1＋2×3）＋…＋ln[1＋n（n＋1）]
∴（1＋1×2）（1＋2×3）…[1＋n（n＋1）]＞e2n－3
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