第四章曲线运动学生用.docx

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第四章曲线运动学生用

2012高考物理、曲线运动

知识网络：

运动的合成与分解平抛物体的运动

一、曲线运动

1．曲线运动的条件：

质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。

当物体受到的合力为恒力（大小恒定、方向不变）时，物体作匀变速曲线运动，如平抛运动。

当物体受到的合力大小恒定而方向总跟速度的方向垂直，则物体将做匀速率圆周运动．（这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．）

如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．

2．曲线运动的特点：

曲线运动的速度方向一定改变，所以是变速运动。

需要重点掌握的两种情况：

一是加速度大小、方向均不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动，另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动。

二、运动的合成与分解

1．从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。

重点是判断合运动和分运动，这里分两种情况介绍。

一种是研究对象被另一个运动物体所牵连，这个牵连指的是相互作用的牵连，如船在水上航行，水也在流动着。

船对地的运动为船对静水的运动与水对地的运动的合运动。

一般地，物体的实际运动就是合运动。

第二种情况是物体间没有相互作用力的牵连，只是由于参照物的变换带来了运动的合成问题。

如两辆车的运动，甲车以v甲＝8m／s的速度向东运动，乙车以v乙＝8m／s的速度向北运动。

求甲车相对于乙车的运动速度v甲对乙。

2．求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

3．合运动与分运动的特征：

①等时性：

合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

②独立性：

一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。

4．物体的运动状态是由初速度状态（v0）和受力情况（F合）决定的，这是处理复杂运动的力和运动的观点.思路是：

（1）存在中间牵连参照物问题：

如人在自动扶梯上行走，可将人对地运动转化为人对梯和梯对地的两个分运动处理。

（2）匀变速曲线运动问题：

可根据初速度（v0）和受力情况建立直角坐标系，将复杂运动转化为坐标轴上的简单运动来处理。

如平抛运动、带电粒子在匀强电场中的偏转、带电粒子在重力场和电场中的曲线运动等都可以利用这种方法处理。

5．运动的性质和轨迹

物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？

决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。

常见的类型有：

⑴a=0：

匀速直线运动或静止。

⑵a恒定：

性质为匀变速运动，分为：

①v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线运动；③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。

）

⑶a变化：

性质为变加速运动。

如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

6．过河问题

如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：

①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即

，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为

也与v1无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程为d；当v1＞v2时，最短路程程为

（如右图所示）。

7．连带运动问题

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。

由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：

把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

【例1】如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2

【例2】两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。

上面分别穿有一个小球。

小球a、b间用一细直棒相连如图。

当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb

三、平抛运动

当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。

其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。

平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。

广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。

1、平抛运动基本规律

①速度：

，

合速度

方向：

tanθ=

②位移x=voty=

合位移大小：

s=

方向：

tanα=

③时间由y=

得t=

（由下落的高度y决定）

④竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

2．应用举例

（1）方格问题

【例3】平抛小球的闪光照片如图。

已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，

求：

v0、g、vc

（2）临界问题

典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？

【例4】已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：

水平扣球速度v的取值范围。

【例5】如图所示，长斜面OA的倾角为θ，放在水平地面上，现从顶点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球在飞行过程中离斜面的最大距离s是多少？

（3）一个有用的推论

平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：

设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量vx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t，

，所以有

【例6】从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E/为______J。

四、曲线运动的一般研究方法

研究曲线运动的一般方法就是正交分解法。

将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。

一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。

【例7】如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，oy表示竖直向上方向。

该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。

一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。

它达到的最高点位置如图中M点所示。

求：

⑴小球在M点时的动能E1。

⑵在图上标出小球落回x轴时的位置N。

⑶小球到达N点时的动能E2。

五、综合例析

【例8】如图所示，为一平抛物体运动的闪光照片示意图，照片与实际大小相比缩小10倍.对照片中小球位置进行测量得：

1与4闪光点竖直距离为1.5cm，4与7闪光点竖直距离为2.5cm，各闪光点之间水平距离均为0.5cm.则

（1）小球抛出时的速度大小为多少?

（2）验证小球抛出点是否在闪光点1处，若不在，则抛出点距闪光点1的实际水平距离和竖直距离分别为多少?

（空气阻力不计，g＝10m/s2）

【例9】柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到着地为止这一过程的运动可以看作平抛运动。

记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三副运动照片如图2所示，相邻两次曝光时间间隔相等，均为Δt，已知汽车的长度为l，则

A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度的大小

B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经到达的最大高度

C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度的大小和汽车曾经到达的最大高度

D．从右边一幅照片可推算出汽车的水平分速度的大小

六、针对练习

1．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是

A．大小相等，方向相同B．大小不等，方向不同

C．大小相等，方向不同D．大小不等，方向相同

2．从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出．第一次初速度为v1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v2，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α2，若v1＞v2，则

A．α1＞α2B．α1=α2C．α1＜α2D．无法确定

3．小球从空中以某一初速度水平抛出，落地前1s时刻，速度方向与水平方向夹30°角，落地时速度方向与水平方向夹60°角，g＝10m/s2，求小球在空中运动时间及抛出的初速度。

4．如图所示，飞机离地面高度为H＝500m，水平飞行速度为v1＝100m/s，追击一辆速度为v2＝20m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？

（g=10m/s2）

5．飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，高度为2000m。

在飞行过程中释放一枚炸弹，经过30s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声。

假设此爆炸向空间各个方向的传播速度都为330m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，求该飞机的飞行速度v？

6．　如图所示，点光源S距墙MN的水平距离为L，现从O处以水平速度v0平抛一小球P，P在墙上形成的影是P'，在球做平抛运动过程中，其影P'的运动速度是多大？

7．在离地面高为h，离竖直光滑墙的水平距离为s1处，有一小球以v0的速度向墙水平抛出，如图所示。

小球与墙碰撞后落地，不计碰撞过程中的能量损失，也不考虑碰撞的时间，则落地点到墙的距离s2为多少？

8．如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ。

一物块沿斜面上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求物块入射的初速度为多少？

圆周运动

一、描述圆周运动物理量：

1、线速度

（1）大小：

v=

（s是t时间内通过的弧长）

（2）方向：

沿圆周的切线方向，时刻变化

（3）物理意义：

描述质点沿圆周运动的快慢

2、角速度：

（1）大小：

=

（

是t时间内半径转过的圆心角）

（2）方向：

沿圆周的切线方向，时刻变化

（3）物理意义：

描述质点绕圆心转动的快慢

3、周期T、频率f：

作圆周运动的物体运动一周所用的时间,叫周期；单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫频率。

即周期的倒数。

4、

、

、

、

的关系

v=

=r=2

rf

点评：

、

、

，若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v还和r有关。

5、向心加速度a：

（1）大小：

a=

2f2r

（2）方向：

总指向圆心，时刻变化

（3）物理意义：

描述线速度方向改变的快慢。

【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

【例2】如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。

当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。

自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。

求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。

（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）

二、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）

1．向心力

（1）大小：

（2）方向：

总指向圆心，时刻变化

点评：

“向心力”是一种效果力。

任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。

“向心力”不一定是物体所受合外力。

做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。

做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。

2．处理方法：

一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。

分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：

Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用

等各种形式）。

如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。

如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况。

3．处理圆周运动动力学问题的一般步骤：

（1）确定研究对象，进行受力分析；

（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；

（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。

4．几个特例

（1）圆锥摆

圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。

其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，

向心力的方向水平。

也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。

【例3】小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。

（小球的半径远小于R。

）

（2）竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类

这类问题的特点是：

由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

①弹力只可能向下，如绳拉球。

这种情况下有

即

，否则不能通过最高点。

②

弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有：

，否则车将离开桥面，做平抛运动。

③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。

这种情况下，速度大小v可以取任意值。

但可以进一步讨论：

①当

时物体受到的弹力必然是向下的；当

时物体受到的弹力必然是向上的；当

时物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小F

mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：

F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。

【例4】如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=mg，求这时小球的瞬时速度大小。

【例5】如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。

已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，sBC=2R。

若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？

三、综合应用例析

【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）

【例7】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．

【例8】如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：

（1）小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?

（2）小球落地点C与B点水平距离s是多少?

【例9】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.

四、针对练习：

1．如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。

要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为

A.

B.

C.

D.

2．由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力

A.相等B.前者一定稍大于后者

C.前者一定稍小于后者D.均可能为零

3．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图

（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图

（2）中的

4．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过

A．

B．

C．

D．

5．如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于

A．ωRB．ωHC．R

D．R

6．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是

A．a处为拉力，b处为拉力

B．a处为拉力，b处为推力

C．a处为推力，b处为拉力

D．a处为推力，b处为推力

7．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？